1、高中数学 必修 1 知识点第一章 集合与函数概念【 1.1.1 】集合的含义与表示( 1 )集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 .( 2)常用数集及其记法N 表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R表示实数集 .(3)集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一 .( 4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 .列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 .描述法： x | x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素 .图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .( 5)
2、集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集 . 含有无限个元素的集合叫做无限集 . 不含有任何元素的集合叫做空集 ( ).(6)子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图A B (1)A A子集 (或 A 中的任一元素都属 (2) A A(B) B AB A) 于 若(若) A(A) B(B)且(且) 则(则) A(A) B(C) 或A B ( 1 ) A ( A 为非空子集)A B ，且 B 中至真子集 B A少有一元素不属于 A(或 B A ) (2)若 A B 且 B C ，则 A CA 中的任一元素都属集合 (1)A BA B 于 B ，B 中的任一元素 A(B)相等 (2)B
3、 A都属于 A( 7)已知集合 A有 n(n 1) 个元素， 则它有 2n 个子集， 它有 2n 1个真子集， 有 2n 1个非空子集， 它有 2n 2非空真子集 .(8)交集、并集、补集名称交集并集记号A BA B意义 x | x A , 且x B x | x A , 或x B( 1 ) A( 2 ) A( 3) A A( 1 ) A( 2 ) A( 3) A AABBABB性质AABAAAB示意图AABB补集 eU A x | xU ,且xA1 A (eU A) 2 A (eU A) U痧U (A B ) ( U A) (?U B)痧U (A B ) ( U A) (?U B )【补充知识
4、】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法( 1)含绝对值的不等式的解法不等式 解集| x | a(a 0) x | a x a| x | a(a 0) x | x a 或 x a把 ax b 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | x | a ，| ax b | c ,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解( 2)一元二次不等式的解法 判别式2b4ac000二次函数y ax2 bx c(a 0)O的图象2ax一元二次方程bx c 0(a 0)的根x1,2b b2 4ac2a(其中 x1 x2 )b2ax1 x2无实根2ax2axbx c 0(a的解集bx c 0
5、(a的解集b x | xR2a0) x | x x1 或 x x20) x | x1 x x2【 1.2.1 】函数的概念 ( 1)函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数f ( x) 和它对应，那么这样的对应(包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作f : A B 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数( 2)区间的概念及表示法设 a , b 是两个实数，且 a b ，满足 a x b
6、的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 a , b ；满足 a x b 的实数 x 的 集合叫做开区间，记做 (a, b) ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a , b) ，(a, b ；满足 x a , x a , x b , x b 的实数 x 的集合分别记做 a , ),( a , ),( , b,( , b) 注意： 对于集合 x | a x b 与区间 (a , b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须 a b ( 3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f ( x) 是整式时，定义域是全体实数 f ( x) 是分式函数时，定
7、义域是使分母不为零的一切实数 f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 y tan x 中， x k (k Z ) 2零(负)指数幂的底数不能为零若 f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f ( x) 的定义域为 a, b ，其复合函数 f g( x) 的定义域应由不等式a g( x) b 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确
8、定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义( 4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数 就是函数的最小(大)值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方 法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数 y f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x2 b( y)x c( y) 0 ，则在
9、a( y) 0时，由于 x , y 为实数，故必须有 b2 ( y) 4a( y) c( y) 0 ，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【 1.2.2 】函数的表示法( 5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变
10、量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系(6)映射的概念设 A 、 B 是两个集合， 如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素， 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射，记作 f : A B 给定一个集合 A到集合 B 的映射，且 a A, b B 如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象【 1.3.1 】单调性与最大(小)值( 1)函数的单调性定义及判定方法函数的定义 图象 判定方法性 质如果对
11、于属于定义域 I 内某 ( 1)利用定义的(个)值(区) x(间)上1、 x(的)任2,当(意) x(两)x(自)变2时，(量) 都 y y=f(X) f(x2 ) 调(2)性利用已知函数的有 f(x1 )f(x 2) ， 那 么 就 说 ( 3) 利用函数图象 (在f(x) 在这个区间上是 增 函数 f(x1 ) 某个区间图o x 1 x2 x 象上升为增)函数的 ( 4)利用复合函数单调性 ( 1)利用定义如果对于属于定义域 I 内某 y y=f(X) ( 2)利用已知函数的个区间上的任意两个自变量 单调性的值 x 1 、 x2 ，当 x1 f(x 2) ， 那 么 就 说 f(x2 )
12、某个区间图f(x) 在这个区间上是 减函数 o x1 x 2 x 象下降为减)( 4)利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一 个增函数为减函数对于复合函数 y f g( x) ，令 u g( x) ，若 y f (u) 为增， u g (x) 为增， 则 y f g (x) 为增； 若 y f (u)y为减， u g( x) 为减， 则 y f g( x) 为增； 若 y f (u) 为增， u g (x)为减， 则 y f g (x) 为 减 ； 若y f (u) 为减， u g( x) 为增，则 y f g(
13、x) 为减x( 2)打“ ”函数 f ( x) x a ( a 0) 的图象与性质f ( x) 分别在 ( , a 、 a , ) 上为增函数，分别在 a , 0) 、xo(0, a 上为减函数；(3)最大(小)值定义一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ( 1 )对于任意的 x I ，都有 f ( x) M ；( 2)存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) M 那么，我们称 M 是函数 f ( x) 的最大值，记作 fmax ( x) M 一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足： ( 1 )对于任意的 x I ，都有
14、 f ( x) m ；( 2)存在x0 I ，使得 f ( x0 ) m 那么，我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值，记作 f max ( x) m 【 1.3.2 】奇偶性( 4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义 图象 判定方法性 质如果对于函数 f(x) 定义域内 ( 1)利用定义(要先任意一个 x ，都有 f( x)= 判断定义域是否关于f(x) ,那么函数 f(x) 叫做 奇函 原点对称)数 ( 2)利用图象(图象关于原点对称)函数的奇偶性 如果对于函数 f(x) 定义域内 ( 1)利用定义(要先任意一个 x，都有 f( x)=f(x) , 判断定义域是否关于那么函数 f(x
15、) 叫做 偶函数 原点对称)( 2)利用图象(图象 关于 y 轴对称)若函数 f ( x) 为奇函数，且在 x 0 处有定义，则 f (0) 0 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ，两个偶函数(或奇函数)的积(或商) 是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数( 1)作图利用描点法作图：确定函数的定义域；讨论函数的性质(奇偶性、单调性)补充知识函数的图象化解函数解析式；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数
16、、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换y f (x)伸缩变换y f (x)h 0,左移 h个单位 h 0,右移 | h|个单位y f (x h) y f (x)1,伸 1,缩0y f ( x)k 0,上移 k个单位 k 0,下移 | k |个单位y f ( x) ky f (x)0 A 1,缩A 1,伸y Af (x)对称变换yf (x)x轴 y f ( x) y f ( x) y轴 yf ( x)yyf (x)f (x)原点 y f ( x) y f ( x) 直线 y x保留 y轴右边图象，(去掉)并作其关于(y轴左边图象) y轴对称图象 y f (| x |)y f
17、 1 ( x)y f (x)保留 x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y | f ( x) |( 2)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章 基本初等函数 ( )( 1)根式的概念如果 xn a , a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 n a表
18、示； 当 n 是偶数时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示， 负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a 0 a (a 0)根式的性质： ( n a)n a ；当 n 为奇数时， n an a ；当 n 为偶数时， n an | a | a (a 0) ( 2)分数指数幂的概念m正数的正分数指数幂的意义是： a nm正数的负分数指数幂的意义是： a nn a m ( ama( 1 ) n0, m, n N ,
19、 且 nan ( 1 ) (am 0, m, n1) 0 的正分数指数幂等于 0N , 且 n 1) 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数(3)分数指数幂的运算性质 ar as a r s (a (ab) r( 4)指数函数函数名称ar br ( a定义0, r , s R)0, b 0, r R) ( ar )s a rs ( a 0, r , s R)指数函数函数 y ax ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数y y a xxy aya 1 0 a 1图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况a变化对 图象的影响R(0, )图象过定点 (0,1) ，即当
20、 x 0 时， y 1非奇非偶在xxxaaa在第一象限内，aR上是增函数1 ( x 0)1 ( x 0)1 ( x 0)越大图象越高；在第二象限内，在 R上是减函数xxxaaa1 ( x 1 (x1 (x0)0)0)a越大图象越低 2.2 对数函数( 1)对数的定义若 ax N ( a 0,且a 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x负数和零没有对数对数式与指数式的互化： x log a N ax N ( a 0, a 1, N( 2)几个重要的对数恒等式loga 1 0 ， log a a 1 ， log a ab b (3)常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 lo
21、g 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N (其中( 4)对数的运算性质 如果 a 0, a 1,M 0, N 0 ，那么加法： log a M log a N log a ( MN ) 减法： log a M数乘： nlog a M log a M n (n R) a log a N Nlog a N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数0) e2.71828) Mlog a N log aNa log b M n( 5)对数函数 函数 名称定义bn log a M ( blog b a0, n R) 换底公式： log a N log b N (b 0, 且b 1)对数函数
22、函数 y log a x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数a 1 0 a 1y x 1 y loga x y x 1 y loga x图象O(1,0)xO(1,0)x定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况a变化对 图象的影响(6) 反函数的概念(0, )R图象过定点 (1,0) ，即当 x 1 时， y 0非奇非偶在 (0,log a x log a x log a x在第一象限内，a) 上是增函数0 (x 1)0 (x 1)0 (0 x 1)越大图象越靠低；在第四象限内，a在 (0, ) 上是减函数log a x 0 ( x 1) log a x 0 ( x 1) log a x
23、0 (0 x 1)越大图象越靠高设函数 y f ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 y f ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) 如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x ( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x ( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数，记作 x( 7)反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式f 1 ( y) ，习惯上改写成 yy f ( x) 中反解出 x将 x f 1 ( y) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域(8)反函数的性质x ( y) 表示 x 是 y 的函数，函数f
24、1 ( x) f 1 ( y) ；x原函数 y f ( x) 与反函数 y f 1 ( x) 的图象关于直线 y x 对称函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 ( x) 的值域、定义域若 P(a , b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则 P (b, a) 在反函数 y f 1 ( x) 的图象上一般地，函数 y f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数( 1)幂函数的定义一般地，函数 y( 2)幂函数的图象2.3 幂函数x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数(3)幂函数的性质图象分布： 幂函数图象分布在第一、 二、 三象限， 第四象限无图象 幂函数是
25、偶函数时， 图象分布在第一、 二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1)单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在 0, ) 上为增函数如果 0，则幂函数的图象在 (0, ) 上为 减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当q若 p 为奇数 q 为奇数时，则 yp 为奇数 q 为偶数时，则 yx p 是奇函数，若qp是非奇非偶函数ypq (其中 p, q 互质， p 和 q Z ) ，qx 是偶函数，若 p 为偶数 q 为奇数时，则p图象特征：幂函数 y x , x (0, ) ，当 1 时，若 0 x 1 ，其图象在直线 y x 下方，若 x 1 ，其图象在直线y x 上方，当 1 时，若 0 x 1，其图象在直线 y x 上方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 下方补充知识二次函数( 1)二次函数解析式的三种形式一般式： f ( x) ax2 bx c
