1、x xD DC CB BA AE EF FA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1z zy yE1绥化七中高二数学组绥化七中高二数学组 赵忠杰赵忠杰 选自新课标人教版选修选自新课标人教版选修2-1第三章第一节第三章第一节一一 教材分析教材分析 四四 教学流程教学流程 三三 方法手段方法手段 二二 教学目标教学目标 空间向量的夹角空间向量的夹角教学设计教学设计由由平面向量的数量积公式、夹角公平面向量的数量积公式、夹角公式，到空间向量的坐标表示式，到空间向量的坐标表示,空间向空间向量的数量积及空间向量的夹角，再量的数量积及空间向量的夹角，再到异面直线所成的角，直线与平面到异面直线所成的角，
2、直线与平面所成的角和平面与平面所成的角。所成的角和平面与平面所成的角。空间向量的夹角公式，用空间向空间向量的夹角公式，用空间向量求立体几何中异面直线的夹角。量求立体几何中异面直线的夹角。一、教材分析一、教材分析1.1.教材内容：教材内容：2.2.知识线索：知识线索：由空间向量的夹角问题，转化为立由空间向量的夹角问题，转化为立体几何中线线角、线面角、面面角体几何中线线角、线面角、面面角问题。问题。一、教材分析一、教材分析以以空间向量计算为基础，以夹角为空间向量计算为基础，以夹角为主线把夹角公式分离出来，对线线主线把夹角公式分离出来，对线线角、线面角、面面角及垂直问题重角、线面角、面面角及垂直问题
3、重新整合。新整合。3.问题框架：问题框架：4.重组教材：重组教材：重点重点 空间向量夹角公式及其坐标表示；选择恰当方空间向量夹角公式及其坐标表示；选择恰当方法求两异面直线的夹角法求两异面直线的夹角.关键关键 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间 向量的坐标向量的坐标,将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题.难点难点 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角 之间的区别；构建恰当的之间的区别；构建恰当的空间直角坐标系，并正确求空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标出点的坐标及向量的坐标.5.5.重重点难
4、点：点难点：一、教材分析一、教材分析二、教学目标二、教学目标1.1.学情分析：学情分析：我班学生已掌握了平面向量、立体几何、我班学生已掌握了平面向量、立体几何、空间向量及运算等相关知识，初步具备了利用空间向量及运算等相关知识，初步具备了利用代数方法解决空间几何问题的能力和空间想象代数方法解决空间几何问题的能力和空间想象力，但处理线线角、线面角、面面角问题的能力，但处理线线角、线面角、面面角问题的能力还有所欠缺，因此应用向量法解决立体问题力还有所欠缺，因此应用向量法解决立体问题将是一个很好的途径。向量法不仅使一些问题将是一个很好的途径。向量法不仅使一些问题的解决变得简单，而且为研究问题带来了很大
5、的解决变得简单，而且为研究问题带来了很大方便。方便。知识与技能知识与技能:v 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；v 学生学会选择恰当的方法求异面直线的夹角学生学会选择恰当的方法求异面直线的夹角.情感态度价值观：情感态度价值观：v 提高提高学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；v 感受和体会感受和体会“学数学用数学学数学用数学”、“学会与会学学会与会学”的关系的关系.过程与方法：过程与方法：v 经历知识的发生、发展和形成过程，提高观察分析、经历知识的发生、发展和形成过程，提高观察分析、类比转化的能力；类比转化
6、的能力；v 学生通过用向量法解决空间角的问题，提高数形结合学生通过用向量法解决空间角的问题，提高数形结合 能力和分析问题、解决问题的能力能力和分析问题、解决问题的能力.二、教学目标二、教学目标2.2.三维目标三维目标教学方法教学方法：启发式讲解启发式讲解 互动式讨论互动式讨论 研究式探索研究式探索 反馈式评价反馈式评价教学手段教学手段：借助多媒体辅助教学借助多媒体辅助教学学习方法学习方法：自主探索自主探索 观察发现观察发现 类比猜想类比猜想 合作交流合作交流三、教学手段三、教学手段 以问题为载体以问题为载体 学生活动为主线学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知探索、类比、猜想、发现并
7、获得新知3.知识运用知识运用 4.小结作业小结作业 1.创设情境创设情境 2.建构数学建构数学 四、教学流程四、教学流程 C1EDCB1A1D1F1BA1.创设情境创设情境 情境：情境：如图如图,已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AE1=D1F1=AB ,求证求证 与与 垂直垂直.411DF411BE四、教学流程四、教学流程 问题问题1 1：如图，将如图，将E E1 1点在点在AAAA1 1、A A1 1B B1 1上移动，若移至上移动，若移至 A A1 1B B1 1的的E E1 1处，又将如何确定处，又将如何确定DFDF1 1与与BEBE1 1的夹角的夹角?1.创设情境
8、创设情境C1EDCB1A1D1F1BAB1C1E1DCA1D1F1BA四、教学流程四、教学流程 平面内两个向量的夹角平面内两个向量的夹角公式：公式：问题问题2 2：是否可以将上述夹角公式推广到空间是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式公式 的形式有什么变化？的形式有什么变化？已知平面内两个非零向量，已知平面内两个非零向量，121222221122 cos=a bx xy yaba bxyxy1122()()，axybxy2.建构数学建构数学四、教学流程四、教学流程 11222()()cos ，1，已知空间内两个非零向量，z，从而有axybxy za ba bab1212122222221122
9、12 cos=a bxxy yz zabxyzxyza b求下列两个向量夹角的余弦值求下列两个向量夹角的余弦值（1），（2）.(233)(100)a，b，(1 11)(101)a ，b，2.建构数学建构数学四、教学流程四、教学流程以问题为载体，以学生活动以问题为载体，以学生活动为主线，学生经历了知识的为主线，学生经历了知识的发生、发展和形成过程，提发生、发展和形成过程，提高观察分析、类比转化的能高观察分析、类比转化的能力；体现学生的主体地位。力；体现学生的主体地位。四、教学流程四、教学流程1.1.创设情境创设情境 2.2.建构数学建构数学 设计设计意图意图 A AD DC CB BD D1 1
10、C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1 例例1.1.如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求，求BEBE1 1与与DFDF1 1所成所成角角 的余弦值的余弦值.1 11 11 11BEDFAB4=3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 几何法几何法A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 13.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 x xz zy y 向量法向量法质疑：质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么
11、区别？如何转化为本题的几何结论区别？如何转化为本题的几何结论?A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1本题的几何结论：本题的几何结论：异面直线异面直线BEBE1 1与与DFDF1 1夹角的余夹角的余 弦值为弦值为 .1517 几何法几何法1115cosDF,BE17=11B15cosDF,E17=-3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 问题问题3：利用向量法求两条异面直线夹角利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？(1)恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得所对应点的坐标，空间
12、向量正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积；的坐标表示及其数量积；(3)代入空间向量的夹角公式，求得其余代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；弦值；(4)根据题意，转化为几何结论根据题意，转化为几何结论.3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 几何法几何法 向量法向量法 如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M是是AB的中点的中点,求对角线求对角线DB1与与CM所所成角的余弦值成角的余弦值.A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1M M练习一练习一3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 问题问题4：如何放置几何体
13、，可以构建恰当的空间如何放置几何体，可以构建恰当的空间 直角坐标系？直角坐标系？例例2.2.如图，在几何体如图，在几何体B B1 1-A-A1 1BCBC1 1中，已知中，已知E E、F F分别是分别是A A1 1B B 和和BCBC1 1的中点，的中点，BBBB1 1、BCBC1 1、BABA1 1两两垂直且相等，求异两两垂直且相等，求异面直线面直线B B1 1E E与与A A1 1F F的夹角的夹角.3.知识运用知识运用A1C1B1EFBxyzA1EFBC1B1四、教学流程四、教学流程四、教学流程四、教学流程3.知识运用知识运用设计设计意图意图通过用向量法解决空间角的问通过用向量法解决空间
14、角的问题，抓住重点，突破难点，学题，抓住重点，突破难点，学生从合作交流，探讨发现，自生从合作交流，探讨发现，自我完善中体会数形结合的魅力，我完善中体会数形结合的魅力，体会体会“学数学用数学学数学用数学”、“学学会与会学会与会学”的关系。的关系。1.设点设点O(0,0,0)、A(0,1,1)、B(1,1,1)、C(0,0,1)，异，异 面面直线直线OA与与BC夹角为夹角为，则则的值为的值为 （）A.60A.60B.120B.120D.240D.240C.-60C.-60 2.已 知 正 方 体已 知 正 方 体 A B C D-A1B1C1D1,请用恰当的方请用恰当的方法求异面直线法求异面直线A
15、C与与BD1所成的角所成的角.必做题：必做题：A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1练习二练习二3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 选做题：选做题：沿着正方体沿着正方体ABCD-A1B1C1D1对角面对角面A1BCD1去截正方体去截正方体,得到一个新的几何体得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E,F分别是分别是A1D1,D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线BE与与A1F所成的角所成的角A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1C CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E EF F练习三练习
16、三3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 鼓励学生选择不同的解题方法，提高学生鼓励学生选择不同的解题方法，提高学生 创新思维；创新思维；为学习能力不同的学生提供广阔的空间；为学习能力不同的学生提供广阔的空间；体现学生的主体地位，发展学生的个性；体现学生的主体地位，发展学生的个性；逐步养成分工协作的能力，提高善于分析，逐步养成分工协作的能力，提高善于分析，乐于探索的主动钻研精神乐于探索的主动钻研精神.设计意图设计意图3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程 值得注意的：值得注意的：将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；理解异面直线夹角与空间向量夹角
17、的区别；理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别；选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求 夹角的唯一途径，不是最佳途径夹角的唯一途径，不是最佳途径.反馈评价反馈评价3.知识运用知识运用四、教学流程四、教学流程（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示空间向量的夹角公式及其坐标表示;（2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别）异面直线的夹角与向量的夹角的区别;（3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹 角角.（4）掌握类比猜想的方法）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推将平面向量的夹角公式推 广到空间广到空间,将几何问题转化
18、为代数问题将几何问题转化为代数问题,提高类比提高类比 转化的能力转化的能力.4.小结作业小结作业四、教学流程四、教学流程通过小结，体现重点，完善知识体系通过小结，体现重点，完善知识体系设计设计意图意图 感受感受理解：理解：如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N分别是分别是AA1、BB1的中点，求直线的中点，求直线CM与与 D1N所成角的正弦值所成角的正弦值.A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1M MN N4.小结作业小结作业四、教学流程四、教学流程 思考思考运用：运用：已知正三棱柱已知正三棱柱(底底面为正三角形面为正三角形,侧棱
19、与侧棱与底面垂直底面垂直)ABC-A1B1C1中，底面边长为中，底面边长为2,求异面直求异面直线线AB1与与BC所成的角所成的角.A AC CB BC C1 1B B1 1A A1 1探究探究拓展：拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所利用向量法是否可以求直线与平面所成的角，二面角成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的点到平面的距离，两异面直线的距离等其它空间夹角或距离的问题距离等其它空间夹角或距离的问题?4.小结作业小结作业四、教学流程四、教学流程 应用领域 应用领域 课题引入课题引入 例例1 练习一练习一空间向量的夹角空间向量的夹角 夹角公式夹角公式 练习二练习二 例例2一般方法一般方法 几何法、向量法几何法、向量法 巩固作业巩固作业一般步骤一般步骤
