1、1第六章 保形映射 这一章,我们从复平面之间映射的角度来研究复变函数 保形映射,顾名思义是保持形状的映射.人们利用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、电磁学以及其他方面的许多重要问题，比如：1.网格的保形变换，用以计算船体表面积 2.茹可夫斯基变换，设计机翼，减小空气阻力，增加浮力2 z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t),atb表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.如果z(t0)0,at0b,则我们用z(t0)表示C在点z0=z(t0)处的z(t)的切线(把起点放取在z0.与z(t0)z(a)z(b)z(t0)曲线的概念3 事实上,如果通过
2、C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示ttzttz)()(00的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示ttzttztzt)()(lim)(0000的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.z(t0)4因此,我们有1)Arg z(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角Ox(z)z01C2C51.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一
3、点,且f(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z(t0)0,at0b.映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光滑曲线G:w=f z(t),atb.OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw00000000lim,limzzwfzArg fzzD D DD0()000000elimlimlimlimeeiiizzzzzwwwwwfzzzzzz D D D DDDDDD6 根据复合函数求导法连锁规则,有w(t0)=f(z0)z(t0)0.因此,在G上点w0处也有切线存在,且切
4、线正向与u轴正向的夹角是Arg w(t0)=Arg f(z0)+Arg z(t0).若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角,则1)导数f(z0)0的辐角Arg f(z0)是曲线C经过w=f(z)映射 后在z0处的转动角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw0000.即Arg f(z0)=Arg w(t0)Arg z(t0)72)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个
5、角度Arg f(z0).OxyOuv(z)(w)z0w08相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G211222121a93)称为C在z0的伸缩率.上式表明|f(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射w=f(z)在点z0处沿曲线C的伸缩率,它与曲线 C 的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率不变性.上式可视为 000f zf zfzzz01,fz0表示从z
6、出发的任一无穷小距离伸长；01,fz0表示从z 出发的任一无穷小距离缩短；01,fz0表示从z 出发的任一无穷小距离不变。00000|()|limlimzzzwwwfzzzzD DD102.保形映射的概念定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一对一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是保形的,或称w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是保形的,就称w=f(z)是区域D内的保形映射.仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保形映射。例如 是第二类保形映射。w z
7、11定理一 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且 f(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均 为|f(z0)|而与其形状和方向无关.12在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的几何意义.13定理二 如果函数w=f(z)在 z0
8、解析,且 f(z0)0,则映射w=f(z)在 z0 是保形的,而且Arg f(z0)表示这个映射在 z0的转动角,|f(z0)|表示伸缩率.如果解析函数w=f(z)在 D内是一一的,且处处有f(z)0,则映射w=f(z)是 D内的保形映射.保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一点保角，在每一点具有伸缩率不变性。例如函数 在 不是保形的；zwe04Imz在 是保形的。0 Im2z14几个初等函数所构成的保形映射1.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是1d,dnwnzzd0.dwz因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处保形.,nnw z
9、iirzrewenrr 圆周圆周；射线射线。映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍.15O(z)0O(w)n0w=zn(z)(w)OOn2上岸下岸w=zn002)n000角形域:角形域:n(由单值性可知002特别，沿实轴剪开的w平面:2.n16例1 求w=z2把角形域0arg z/4映射成何区域2:0wzz注意在处就不是保角映射412(1)2 2z2 2,4ifiiei在处的伸缩率是旋转角是170002:00()nnnnn根式函数z=w于是w=z 和z=w的映射特点是扩大与缩小角形域。O(z)0O(w)n0nz=wnz=wnz=wn0nz=w18
10、2.指数函数 w=e z由于在z平面内w=e z 0。所以,由 w=e z所构成的映射是0y2上的保形映射.设z=x+iy,w=r e i,则w=e z=e x+iy=r e i 推出 r=e x：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；（x0 单位圆周,x0 单位圆外）=y：z平面上水平直线y映射成w平面上射线。19aiOxy(z)arg w=auOv(w)2iOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw20 带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa.特别是带形域0Im(z)2 映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w
11、|0映射成单位圆|w|1且满 足w(2i)=0,arg w(2i)=0的分式线性映射.2.2iziwezi24()e,(2)iiw zzi故有(2).4iiwiearg(2)0,.22wi从而得所求的映射为2.2ziwizi解：由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.3)得56例3 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线 性映射.x1y(z)OOuv(w)1aa157解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平 面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与1|1(0).,1,0,.zwwzwzwaaaa 点 对称于单位圆
12、周的点应该被映射成平面上的无穷远点 即与对称的点 因此当时而当时满足这些条件的分式线性映射具有如下的形式,111zzkzzkzzkwaaaaaaaakk其中58由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1上的点z=1代入上式,得|,1|1|1|11|aaaa又因wk所以|k|=1,即k=ei.这里是任意实数.因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是e.(|1)(6.3.5)1izwzaaa59.1eee1ee|aaaaiiiiiw 反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z
13、|=1上的点z=ei(为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射.21211 1111422 22e,ee12311122iiizzzzwwzz解 由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w2i|2且满足条件w(2i)=2i,arg w(2i)/2的分式线性映射.2221ee(2)2e,2224iiiziwiziwizizii解 容易看出,映射=(w2i)/2将|w2i|2映射成|0映射成|1且满足(2i)=0的映射易知为62arg(2)arg(2e)
14、arg(4).arg(2),0.222222(1).222iwiiwiwizizwizizi 由得于是所求映射为或2i(z)O()2i(w)izziw22)1(2iziz22w=2(i+)63O(z)ab(w)Oi()Otbaw=e()iz ab aweO(s)b-asz a tis例5 求把带形域aRe(z)0 的一个 映射.O(t)(b-a)i64 现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周 的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆 周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直
15、线所 围成的区域;(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.65x1ii1C1C2y(z)O66解 所设的两个圆弧的交点为i与i,且相互正交.交点i映射成无穷远点,i映射成原点.因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于/2.22)21()21(1212,121iiiwzC对应点是与正实轴的交点取此点在第三象限的分角线C1上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.67映射的角形区如图所示x1ii1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)6800Re00argImzzRzz例7求映为的分式线性映射。0;.zRzRwzRwwkzR
16、 解令01111zwwkk 再取 w1 zRR0.zRwzR 69例8 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域0arg w0+a的一个映射.a0(w)O1C1C2a(z)Oii70aO()a0(w)O1C1C2a(z)Oiiizizi0eiwizizewi)2(0171解 令C1,C2的交点z=i与z=i分别映射成平面中的=0与=,将所给月牙域映射成平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:izizk其中k为待定的复常数.111111,.izkikkiiziiCzi 令。这样就把映射成 平面上的正实轴00()2,0arg.iiziziwieezizia根据保角性
17、 所给的月牙域映射成角形域由此得所求的映射为724 几个初等函数所构成的映射1.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是1d,dnwnzzd0.dwz因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处保形.,nnw ziirzrewenrr 圆周圆周；射线射线。映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍.73O(z)0O(w)n0w=zn(z)(w)OOn2上岸下岸w=zn002)n000角形域:角形域:n(由单值性可知002特别，沿实轴剪开的w平面:2.n740002:00()nnnnn根式函数z=w于是w=
18、z 和z=w的映射特点是扩大与缩小角形域。例1 求把角形域0arg z/4映射成单位圆|w|1 的 一个映射.解=z4将所给角形域0arg z0.又从上节的例2知,映射44|1.iwwiziwzi将上半平面映射成单位圆因此所求映射为75(z)O4O()1(w)z4iiwizizw4440arg01.4izzImwwi 7601210arg2zwz例 求映为单位园的一个映射.2222222201010arg0arg2Im01Im0Re01111.11zzzttststzizsiwwwsiziz 解：772.指数函数 w=e z由于在z平面内w=e z 0。所以,由 w=e z所构成的映射是0y2
19、上的保形映射.设z=x+iy,w=r e i,则w=e z=e x+iy=r e i 推出 r=e x：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；（x0单位圆周,x0 单位圆外）=y：z平面上水平直线y映射成w平面上射线。带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa.特别是带形域0Im(z)2 映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2.它们间的点是一一对应的.78aiOxy(z)arg w=auOv(w)2iOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw79由指数函数w=e z 所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(a)映射成角形域0arg wa.例4 求把带形域0Im(z)映射成单
20、位圆|w|1的 一个映射.w=e ziwieezziwi zi80例4 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。i zi z 1-1i t1-1i wtewt zwe 81例6 求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半 平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)aha a+hBCD82xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)aha a+hBCDO(z1)CB Dihh2CO BD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBDh+hz1=zaz2=z12z3=z2+h234zz w=z4+aahazw22)(83解 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左平移一个距离a:z1=za.第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z3平面.434,.zzz第四 通过映射便得到上半 平面8422:()wzaha把所有的映射复合起来就得到所求出映射44,:,.zawzaw最后 把 平面向右作一距离为 的平移便得到 平面中的上半平面
