1、第三章 变量与函数 二次函数 对应学生用书起始页码 页 考点一 二次函数的图象与性质 概念 一般地，形如 （， 为常数）的函数 叫做二次函数 二次函数的图象与性质 函数（） 图象 开口方向向上向下 对称轴直线 顶点坐标 ， () 最值 当 时， 有最 小 值 当 时， 有最 大 值 增 减 性 在对称 轴左侧 随 的增大而减小 随 的增大而增大 在对称 轴右侧 随 的增大而增大 随 的增大而减小 二次函数的另外两种表达方式： 顶点式 （） （）：顶点坐标为（，）；对称轴是 直线 ；当 时， 取最值 交点式 （）（）（）：抛物线与 轴的交点为 （，），（，）；对称轴是直线 二次函数解析式的求法
2、方法 ：待定系数法，每确定一个未知系数，就需要一个已知 点或条件；把已知点的坐标代入函数解析式，或者用已知条件列 出方程，求得该未知系数的值，写出函数解析式； 方法 ：平移图象法，在判断平移后的函数解析式时，可以用 平移规律“上加下减，左加右减”直接写出；也可以把二次函数解 析式化为顶点式，按照平移的方式，求出新函数的顶点坐标，用 顶点式写出新函数解析式 考点二 系数 、 的作用 决定抛物线开口方 向及大小 ，抛物线开口 向上 ； ，抛物线开口向下 、 决定抛物线对称轴 的位置(对称轴为 直线 ) ，对称轴为 轴 ； ，对称轴在 轴左侧； ，对称轴在 轴右侧 决定抛物线与 轴 交点的位置 ，抛
3、物线过 原点 ； ，抛物线与 轴交于正半轴； ，抛物线与 轴交于负半轴 决定抛物线与 轴 的交点个数 时，与 轴有唯一交点 （顶点）； 时，与 轴有两个不同 交点； 时，与 轴没有交点 特殊关系 当 时， 当 时， ，即当 时， ，即当 时， 考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系 （）二次函数 （）中，当 时， 的取值就 是一元二次方程 （）的解，即 （ ）的图象与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 （）的实数根 抛物线 （）与 轴交点的数量由 的 符号来确定 （）一元二次方程 （）的解就是直线 与 抛物线 （）的交点的横坐标；解的数量就是交点 的个数 （）
4、直线 与抛物线 （）的交点坐标 就是方程组 ， 的解 二次函数与一元二次不等式之间的关系 （）一元二次不等式 （）的解集就是抛物线 （）位于 轴上方的点的横坐标 的取值集合； 一元二次不等式 （）的解集就是抛物线 （）位于 轴下方的点的横坐标 的取值集合 （）一元二次不等式 （）的解集就是抛物线 （）在直线 上方的点的横坐标 的取值集 合；一元二次不等式 （）的解集就是抛物线 （）在直线 下方的点的横坐标 的取值集合 （）一元二次不等式 （）的解集就是抛 物线 （）在直线 上方的点的横坐标 的取值集合；一元二次不等式 （）的解集就 是抛物线 （）在直线 下方的点的横坐 标 的取值集合 年中考
5、年模拟 中考数学 对应学生用书起始页码 页 一、用待定系数法求二次函数解析式 若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式： （），利用待定系数法求得 ， 的值 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点 式：（） （），其中顶点坐标为（，），对称轴为直 线 若已知抛物线与 轴的交点的横坐标，则可采用交点式： （）（）（），其中与 轴的交点坐标为（，）， （，） 例 （ 广西百色， 分）经过 （，），（，）， （，）三点的抛物线的解析式是 解析 设抛物线的解析式为 （）（）（）， 把 （，）的坐标代入得，即 ， 则抛物线的解析式为 （）（） 答案 针对训练 （ 河南， 分）已知抛物线 经过（
6、，）和（，）两点，则 的值为（ ） 答案 解析 抛物线经过（，）和（，）两点， ， ， 解得 ， 故选 二、利用函数的图象和性质比较大小或判断字母的取值 范围 在比较几个点的纵坐标大小时，方法一是画出图象，标出 这几个点，由点的上下位置来判断；方法二是先判断这几个点是 否在对称轴的同一侧，不在同一侧的，按照抛物线的对称性，找 到对称点，然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小 在判断有关 、 的式子的符号时，主要从抛物线开口方 向、对称轴的位置、特殊点等几个方面判断 判断不等式的解集时，可以先观察函数图象的位置，确定 符合题意的自变量 的取值范围 例 （ 福建， 分）若二次函数 的 图象过不同
7、的五点 （，），（，），（，），（ ，）， （，），则 ，的大小关系是（ ） 解析 ， 抛物线的开口向上 抛物线过 （，）和 （，）， 抛物线的对称轴为直线 作出二次函数的大致图象，如图 由图可知 故选 答案 针对训练 （ 黑龙江齐齐哈尔， ， 分）如图，抛物线 （） 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点 在（，）和（，）之间，其部分图象如图 所示，则下列结论： ； ； ； （ 为实数）； 点 ， ()， ， () ， ， ()是该抛物线上的点，则 ，正确结论 的个数是（ ） 答案 解析 抛物线的对称轴为直线 ， ， 故正确； 抛物线与 轴的一个交点在（，）和（，）之 间， 由抛物线的对称性知，
8、抛物线与 轴的另一个交点在（， ）和（，）之间， 抛物线与 轴的交点在 轴的负半轴上，即 ，故正确；由知， 时 ，且 ，即 ，故正确；由函数图象知当 时，函数取得最大 值， ，即 （ 为实数），故错 误； 抛物线的开口向下，且对称轴为直线 ， 抛物线上的 点离对称轴的水平距离越小，函数值越大， ，故错 误故选 三、二次函数图象的平移规律 在判断平移后的函数图象时，用平移规律“上加下减，左加 右减”直接写出；给出两个二次函数，判断平移的方法时，要把二 次函数解析式化为顶点式，按照顶点坐标的变化写出平移方法 例 （ 江苏盐城， 分）如图，将函 数 （） 的图象沿 轴向上平移得 到一个新函数的图象，
9、其中点 （，）、（，） 平移后的对应点分别为点 、若曲线段 扫过的面积为 （图中的阴影部分），则新函数 的表达式是（ ） （） （） （） （） 解析 函数 （ ） 的图象过点 （，）， （，）， （） ， （）， ， ()，（，）， 过 作 轴，交 的延长线于点 ，则 ， ()， 曲线段 扫过的面积为 ， ， ， 第三章 变量与函数 即将函数 （） 的图象沿 轴向上平移 个单位 长度得到一个新函数的图象， 新函数的表达式是 （） 故选 答案 针对训练 （ 新疆乌鲁木齐， 分）把抛物线 向左平移 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 答案 解析 易知 （） ，则把原抛物线向左 平移 个单位长度后得到的抛物线的解析式为
