1、第八章 专题拓展 开放探究型 对应学生用书起始页码 页 题型特点 开放探究型试题的答案不唯一，解题的方向不确定，条件 （或结论）不止一种情况解答这类题目时，需要对问题全方位、 多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法解开放性的 题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜想出结论或条件，然 后进行严格证明 命题规律 开放探究型试题的知识覆盖面较广，综合性较强，灵活选择 方法的要求较高，题型新颖，构思精巧，通常要结合以下数学思 想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模 型等主要有三种形式：条件的开放与探究；结论的开放与探 究；解题策略的开放与探究 对应学生用书起始页码 页
2、题型一 条件开放型问题 条件开放型探究题的特征是缺少确定的条件，一般要求学 生将所缺的条件补充完整，并根据自己给出的条件进行解答 例 （ 河南， 分） 如图，在 中， ， 以 为直径的半圆 交 于点 ，点 是 ( 上 不与点 ， 重合的任意一点，连接 交 于点 ，连接 并 延长交 于点 （）求证：； （）填空： 若 ，且点 是 ( 的中点，则 的长为 ； 取 ( 的中点 ，当 的度数为 时，四边形 为菱形 解析 （）证明： ， 为半圆 的直径， ， （ 分） 和 都是 ( 所对的圆周角， （ 分） （） （ 分） （注：若填为 ，不扣分）（ 分） 详解：如图，过 作 于 ， 点 是 ( 的中点
3、， ， ， ， ， ，即 ， ， ，即（ ） ， 连接 ， 点 是 ( 的中点， ， ， ， ， 四边形 为菱形， ， ， 好题精练 （ 黑龙江齐齐哈尔， 分）如图，已知在 和 中， ， ，点 、 在同一条直线上，若使 ，则还需添加的一个条件是 （只填一 个即可） 答案 （或 或 或 ） 解析 由 可得 ， 又 ， 此时可选择的判定方法有“”“”或“” （）根据“”，可添加 （）根据“”，可添加 （）根据“”，可添加 或 本题属于条件开放题，属于中考常见类型，根 据隐含条件（ 为公共线段）把已知条件转化为一边一角对 应相等，所以可以根据“”“”或“”添加不同的条 件，需要注意的是不能根据“”添
4、加条件 （ 河南， 分）如图， 是 的直径， 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的切线交 于点 ， 连接 交 于点 （）求证：； （）连接 并延长，交 于点 填空： 当 的度数为 时，四边形 为菱形； 当 的度数为 时，四边形 为正方形 解析 （）证明：连接 是 的切线， ， ， （ 分） ， （ 分） （）（注：若填为 ，不扣分）（ 分） （注：若填为 ，不扣分）（ 分） 详解： 四边形 为菱形， 又由（）知 ， ， 为等边三角形， 又， ， 又 ， 四边形 为正方形， 为正方形 的对角线， ， ， 又 ， （） 题型二 运动型问题 在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关 系
5、的“变”与“不变”就运动对象而言，有点动、线动、面动；就运 动形式而言，有平移、旋转、翻折等动态几何问题常常集几何、代 数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活多变，动中 有静，动静结合，能够在运动变化中培养学生空间想象能力，综 合分析能力，是近几年中考命题的热点 解决动态几何问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究 图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变 量关系，特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关 图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型来 求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方 程模型求解 例 （ 吉林长春， 分） 如图，
6、在 中， ，点 从点 出发，沿 向终点 运 动，同时点 从点 出发，沿射线 运动，它们的速度均为每 秒 个单位长度，点 到达终点时，、 同时停止运动当点 不与点 、 重合时，过点 作 于点 ，连接 ，以 、 为邻边作设 与 重叠部分图形的面 积为 ，点 的运动时间为 秒 （） 的长为 ； 的长用含 的代数式表示为 （）当 为矩形时，求 的值； （）当 与 重叠部分图形为四边形时，求 与 之间的函数关系式； （）当过点 且平行于 的直线经过 一边中点 时，直接写出 的值 解析 （）； 详解：在 中， ， 由题可知 ， （）当 为矩形时， ， ， ， 由题意可知 ， ， 解得 ， 即当 为矩形时，
7、 （）当 与 重叠部分图形为四边形时，有两种 第八章 专题拓展 情况 第一种情况：如图 所示， 在 内部延长 交 于 点， 由（）可知 ， ， ， ， 在 内部， ， ， ， 又 （） ， 当 时， 与 重 叠 部分 图 形 为 ， 与 之间的函数关系式为 （） 第二种情况：如图 所示， 与 重叠部分图形 为梯形 此时 ，即 ，解得 ， 梯形 的面积 （） （）（ ） 综上所述：当 时，； 当 时， 图 图 （） 或 详解：当过点 且平行于 的直线经过 一边中点 时，有两种情况 第一种情况：如图 所示，设 与 交于点 ， 为 的中点，过点 作 于 ， ， ， ， （）， ， （） ， （） （
8、） （）， ， （） （）， 解得 第二种情况：如图 所示，设 与 交于点 ， 为 的中点，过点 作 于 ， ，四边形 为矩形， ， ， ，解得 点 的运动时间 （秒）的取值范围为 ，而 ， ， 与 均符合题意 综上所述：当 或 时，过点 且平行于 的直线经 过 一边中点 图 图 例 （ 吉林， 分）如图，在矩形 中， ， 两点分别从 ， 同时出发，点 沿折线 运动，在 上的速度是 ，在 上的速度是 ；点 在 上以 的速度向终点 运动过点 作 ，垂足为点 连接 ，以 ， 为邻边作 设运动时间为 （）， 与矩形 重叠部分的图形面 积为 （） （）当 时， ； （）求 关于 的函数解析式，并写出
9、的取值范围； （）直线 将矩形 的面积分成 两部分时，直接 写出 的值 备用图 解析 （） （ 分） （）当 时，如图，过点 作 于 由题意得 ， （ 分） 当 时，如图，过点 作 于 设 与 交于点 梯形 （） （） （ 分） 当 时，如图，过点 作 于 梯形 （） （） （） （ 分） （） 或 （ 分） 提示：由题意知 ，当 点在 上时， 矩形 ，如图，作 交 于点 ，设 与 的交点为 ， 则 ，由 可得 ， 而 ，由 可得 同理，当 点在 上时， 矩形 ，设 、 的交点为 ，如图，由 可得 ，又 ，且 ，所以 综上， 的值为 或 第（） 题，写自变量取值范围用“ ” 或 “”均不扣分；
10、 第（）题，结果正确，不画图或画图错误均不扣分 好题精练 （ 浙江温州， 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，正方形 的顶点 在第二象限内， 是 中点， 于点 ，连接 动点 在 上从点 向终点 匀速运动，同时，动点 在直线 上从某一点 向终点 匀速运动，它们同时到达终点 （）求点 的坐标和 的长； （） 设点 为（，），当 时，求点 的 坐标； （）根据（）的条件，当点 运动到 中点时，点 恰好与点 重合 延长 交直线 于点 ，当点 在线段 上时， 设 ，求 关于 的函数表达式； 当 与 的一边平行时，求所有满足条件的 的长 解析 （）令 ，则 ， ， 的坐标为（，）
11、令 ，则 ， ， 的坐标为（，） 在 中， 又 为 中点， （）如图 ，作 于点 ，则 ，记 与 轴的交点为 ， 图 ， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， 第八章 专题拓展 ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， ， ， 的坐标为（，） （） 动点 ， 同时做匀速直线运动， 关于 成一次函数关系，设 （）， 将 ， 和 ， 代入得 ， ， 解得 ， ， 当 时（如图 ）， 作 轴于点 ，则 图 ， 又 ， ， ， ， 当 时（如图 ），过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 易证， 图 ， ， () ， 易证， ， ()， 由图形可知 不可能与 平行 综上所述，当 与 的一边平行时， 的长
12、为 或 （ 吉林， 分）如图，在矩形 中， ， ， 为边 上一点，连接 动点 ， 从点 同 时出发，点 以 的速度沿 向终点 运动；点 以 的速度沿折线 向终点 运动设点 运动的时 间为 （），在运动过程中，点 ，点 经过的路线与线段 围 成的图形面积为 （） （） ， ； （）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； （）当 时，直接写出 的值 解析 （） ；（ 分） （）当 时，如图 图 过点 作 于点 ， ， ， 即 （ 分） 当 时，如图连接 ，过点 作 于点 图 （），（）， （）（） ，即 （ 分） 当 时，如图 图 （）， ， 四边形 （） （） ， 即 （ 分） （）
13、 或 （ 分） 提示：根据图，可列方程 ， 根据图，可列 方程 （） ， ，不符合题意，舍去根据图， 可列方程（） () ， 自变量取值含 或不含 均不扣分 （）过点 作 于点 当 时， ， ， 当 时，四边形 梯形 （） ， （）（） 当 时， 四边形 梯形 （） ， （） （ 天津， 分） 在平面直角坐标系中， 为原点，点 （，），点 在 轴的正半轴上， 矩形 的 顶点 ， 分别在 ， 上， （）如图 ，求点 的坐标； （）将矩形 沿 轴向右平移，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， 设 ，矩形 与 重叠部分的面积为 如图，当矩形 与 重叠部分为五边形时， ，分别与 相交于点 ，试用
14、含有 的式子表 示 ，并直接写出 的取值范围； 当 时，求 的取值范围（直接写出结果即 可） 解析 （）由点 （，），得 ， 又 ， ， 在矩形 中，有 ，得， 在 中， 由勾股定理，得 ， 点 的坐标为（， ） （）由平移知， ， 由 ，得， 在 中， 由勾股定理，得 ， ， 矩形 ， 矩形 ， ，其中 的取值范围是 提示：当 时， ， 时， ； 时， ， ，不在范 围内 当 时，如图， 第八章 专题拓展 根据勾股定理得 （）， （）， （） （） ， 当 时， ， 当 时，如图， 根据勾股定理得 （）， （） （） ， 当 时， （舍去）， ， 综上所述， 此题为动态几何问题，需按矩形 与
15、 重叠部分的形状变化分类讨论，若只画出其中一种情 况，则会因为考虑不全而产生错误 （ 辽宁大连， 分）定义：把函数 ：（ ）的图象绕点 （，）旋转 ，得到新函数 的图象，我 们称 是 关于点 的相关函数的图象的对称轴与 轴 交点坐标为（，） （）填空： 的值为 （用含 的代数式表示）； （）若 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，求 的解析式； （）当 时，的图象与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的右侧），与 轴相交于点 把线段 绕原点 逆时针 旋转 ，得到它的对应线段 若线段 与 的图 象有公共点，结合函数图象，求 的取值范围 解析 （） 详解：函数 图象的对称轴为直线 ，故 的
16、图象的对称 轴与 轴的交点为（，），点（，）关于 （，）对称的点为 （，）， （） ， ：（） ，对称轴为直线 ，顶点坐标为（，）， 当 时， () ，无实根 当 时， () ，不符合题意 当 时， （ ） ，解得 ，（舍）， 综上所述， 的解析式为 （） ，即 （） ， 的解析式为 （） ， 令（） ，得 或， （，），（，），易知 （，）， 则 （，），（，） 当 时，由，解得 ，故 的取值范围为 当 时， ， ， 解得 ； ， ， 解得 ； ， ， 无解 综上所述， 的取值范围为 或 或 题型三 存在性问题 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问 题，这类问题的知识覆盖面较广，
17、综合性较强，题意构思非常精 巧，解题方法灵活，解题的一般思路是：假设存在推理论证 得出结论若能导出合理的结果，则做出“存在”的判断；若导出 矛盾，则做出不存在的判断 例 （ 重庆 卷， 分）如图，在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 的左侧），交 轴于点 ，点 为抛物线的顶点，对称轴与 轴交于点 （）连接 ，点 是线段 上一动点（点 不与端点 ， 重合），过点 作 ，交抛物线于点 （点 在对称轴的 右侧），过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 点 是线段 上一动点，当 取得最大值时，求 的最 小值； （）在（）中，当 取得最大值， 取得最小 值时，把点 向上平移 个单位得到点
18、，连接 ，把 绕 点 顺时针旋转一定的角度 （），得到，其 中边 交坐标轴于点 ，在旋转过程中，是否存在一点 ，使得 ？ 若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐 标；若不存在，请说明理由 备用图 解析 （） 点 ，（点 在点 的左侧）是抛物线 与 轴的交点，点 是抛物线的顶点， 点 （，），点 （，），点 （，） 可求得直线 的表达式是 点 在抛物线 上， 可设点 的坐标为（，）， 则点 的坐标为（，） （）（） 根据已知条件，可得 ， （） 当 时， 取得最大值，此时，点 （，）， （ 分） 如图，以 为斜边，以 的长为直角边，作 ，当 点 ， 在一条直线上时， 取得最小值， 此时， ，过
19、点 作 轴，垂足为 点 ， 在一条直线上， 则 在 中， ， ， 的最小值为 （ 分） （）满足条件的点 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， （ 分） 详解：由（）可得点 ， 把点 向上平移 个单位得到点 ， 点 （，） 在 中， ， ，取 的中点 ，连 接 ， 则 ，此时， 把 绕点 顺时针旋转一定的角度 （）， 得到，其中边 交坐标轴于点 如图 当 点落在 轴的负半轴上时， ， ，过点 作 轴于点 ，且，则 ， ，解得 在 中，根据勾股定理可得 点 的坐标为 ， ； 如图 当 点落在 轴的正半轴上时，同理可得 ， 如图 第八章 专题拓展 当 点落在 轴的正半轴上时，同理可得 ， 如图 当 点 落 在轴 的 负 半 轴 上 时， 同 理 可 得 ， 综上所述，所有满足条件的点 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， 好题精练 （ 四川成都， 分）如图 ，在 中， ， ，点 为 边上的动点（点 不与点 ， 重合）以 为顶点作 ，射线 交 边于点 ，过点 作 交射线 于点 ，连接 （）求证：； （）当 时（如图 ），求 的长； （）点 在 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 ？ 若存在，求出此时 的长；若不存在，请说明 理由 解析 （）证明： ， ， （）过点 作 于点 在 中，设 ，则 ， 由勾股定理，得 （） （） ， ， 又 ， 又 ， ， （） 点在
