1、3.3.2两点间的距离公式及其应用两点间的距离公式：,ABCDABxxCDyy111222(,),(,)P x yP xyy它们坐标分别是 、，Ax（，0）0Bx（，）0Cy（，）0Dy（，）探究：那么|AB|、|CD|怎样求？x（1）如果A、B是 轴上两点，C、D是 轴上两点，(2)已知，试求两点间的距离。若12yyxoy1221PPxx222(,)P xy2x1x111(,)P x y若12xxxoy1221PPyy2y1y212(,)P x y111(,)P x y分别向y轴和x轴作垂线 ，垂足分别为12MPN12与P112200NyMx，直线相交于点Q。12MPN12与P在平面直角坐标
2、系中，从点 111222(,),(,)P x yP xy若1212,xx yyOx1P2Py1M2N1N2MQ2221212PPPQQP如图12Rt PPQ中，为了计算其长度，过点1P向x轴作垂线，垂足为 110Mx，过点220,Ny，2P向y轴作垂线，垂足为Ox1P2Py1M2N1N2MQ于是有1122121221,PQM MxxQPN Nyy222122121PPxxyy所以22122121()()PPxxyy所以两点 间的距离为111222(,),(,)P x yP xy特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离22OPxy(1,2),(2,7),ABP|PAPB|PA例3 已知
3、点在轴上求一点 ，使，并求的值。2222102207xx解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且 解：设所求点为P（x,0），于是2225411xxxx 22PAPB由 得22(1 1)(02)2 2PA x即证明：如图所示，以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系.ABCDxy例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。则A(0，0)。设B(，0)，D(，)，由平行四边形性质得点C的坐标为(，)，(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)因为2222222,ABaC
4、DADBCbc222222(),()ACabcBDabc所以22222222()ABCDADBCabc222222()ACBDabc所以2222ABCDADBC22ACBD因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。练习(1):求下列两点间的距离答案：(1)8(2)3(3)2 10(4)13(1)(6,0),(2,0)(2)(0,4),(0,1)(3)(6,0),(0,2)(4)(2,1),(5,1)ABCDPQMN8 a：已知点A（a,-5）与B（0,10）间的距离是17，求练习（2）a的值。答案：直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴上的一个动点，求点
5、P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其最小值。p思路：以y轴为对称轴，做B的对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时，PA+PB=PA+PB1=AB1;取P以外任意一点P，此时，PA+PB=PA+PB1AB1。直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其最小值。解：(1)因为点P在y轴上，所以，以y轴为对称轴，做B的对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时，PA+PB=PA+PB1=AB1易求得，点P（0，）11-2 133(2)|PA|+|PB|=|AB1|=2 13 直角坐
6、标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明理由，并求其最大值。思路：以x轴为对称轴，做A的对称点A1，连接AB1与x轴交与点M,M就是所求点。此时，MB-MA=MB-MA1=BA1;取M以外任意一点M，此时，A1、B、M构成了三角形 A1BM，显然MB-MA=MB+AA1BA1。M 例5.直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？22222()(1)1(3)+4=(1)-(3)+0-2(,0)f xxxxxP xAB 2解：（0 1）（）即将函数式转化为求动点到两定点
7、（1,1）、(3,2)的距离之和的最小值。22()(1)1(3)+4f xxx 例6.求的最小值。mxymxmym 1 12 212123.3.已已知知两两直直线线：（3 3）45 345 3，：2 2（5 5）8.8.当当 为为何何值值时时，与与：（1 1）相相交交？（2 2）平平行行？（3 3）垂垂直直？llllAxByABMAB2.2.设设点点 在在 轴轴上上，点点 在在 轴轴上上，线线段段的的中中点点坐坐标标是是（2 2，1 1），求求线线段段的的长长度度.1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0 平行的直线l的方程xy1 1、1 15 55
8、 5-1 16 60 0；答答案案题22222、2、由由意意知知：A（A（4，4，0）0）、B（B（0，0，2）2）所所以以AB（AB（4 0）4 0）（0 2）0 2）2 5.2 5.7时，两直线平行.7时，两直线平行.当当舍去.舍去.1时，两直线重合，故1时，两直线重合，故当当7 71或1或所以所以0 08 8）（5）（5（2）（3（2）（37时两直线相交.7时两直线相交.1且1且即：即：7 71且1且所以所以0 07）7）1）（1）（即：（即：（0 08 8）（5）（5（3（3(1)(1)3、3、mmmmmmmmmmmmmm1.方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系时，两条直线相交，交点坐标为当1122ABAB1221211212211221(,)BCB CA CACABA BABA B当111222ABCABC时，两直线平行；当 时，两条直线重合.111222ABCABC2.两点间的距离为22122121()()PPxxyy
