1、 1958 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1甲、求二项式 5 )21 (x+展开式中 3 x的系数 奎屯 王新敞 新疆 解：设求的项为 .802 , 32)2( 3333 54 551 xxCT rxCxCT rrrrr r = = + 今 乙、求证. sin8 8sin 4cos2coscos x x xxx= 证：xxx4cos4sin28sin= xxxx xxx 4cos2coscossin8 4cos2cos2sin4= . sin8 8sin 4cos2coscos x x xxx= 丙、设 AB，AC 为一个圆的两弦，D 为 AB 的中点，E
2、 为 AC 的中点， 作直线 DE 交 AB 于 M，交 AC 于 N，求证：AM=AN 奎屯 王新敞 新疆 证：联结 AD 与 AE（如图） AMN=DAM+MDA， ANM=EAN+NEA， 又AD=DB，DAB=AED， AE=EC，ADE=EAC， AMN=ANM， AM=AN. 丁、求证正四面体 ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直 奎屯 王新敞 新疆 A D E M N B C 证：因 ABCD 是正四面体， 各个面都是等边三角形， 过 A 作 AEBC，联结 DE， 则 DEBC， BC 垂直平面 AED， 而 AD 在此平面内， BCAD 同理可证 ABDC，ACDB
3、 奎屯 王新敞 新疆 戊、求解.cos3sinxx = 解：,cos3sinxx = ).( 3 , 3 为整数kkx tgx += = 2解方程组 =+ =+ )2(9 1 22 ) 1 (412 1 y yx yx y x vyxu y x yx y x =+=+ =+ 12, 1 , 8) 12() 1 ( )2(: 设 式变形为由解 则原方程变形为 =+ =+ )4(8 )3(4 22 vu vu 解方程组，可得. 2, 2=vu D C A E B 将vu,的值代回所设，可得 = = = = = = = =+ =+ =+ =+ . 2 1 , 6 ; 1 , 3 . 6, 3),5(
4、 . 2 1 , 1 , 01, 1 1 2)5()6( )6(412 )5(4 1 , 212 2 1 2 2 1 1 21 21 2 y x y x xx yy yy y y yx y x yx y x 由检验可知 代入 即得 得两边平方 都是原方程组的解 奎屯 王新敞 新疆 3设有二同心圆，半径为 R，r(Rr） ，今由圆心 O 作半径交大圆 于 A，交小圆于 A ，由 A 作直线 AD 垂直大圆的直径 BC，并交 BC 于 D;由 A作直线 AE 垂直 AD，并交 AD 于 E，已知OAD= ，求 OE 的长 奎屯 王新敞 新疆 解：在直角OAD 中， OD=Rsin，AD=Rcos
5、在直角AAE 中， AE=（R-r）cos DE=AD-AE =Rcos- （R-r） cos=rcos. OE= .cossin 222222 +=+rRDEOD A AE B O D C 4已知三角形 ABC，求作圆经过 A 及 AB 中点 M，并与 BC 直线相 切 奎屯 王新敞 新疆 已知：M 为ABC 的 AB 的中点. 求作：一个经过 A、M 两点且与 BC 直线相切的圆. 分析： 设O 即为合于要求的圆 （如 图）因O 经过 A、M 两点且与直线 BC 相切于点 P，这样，BP 为O 的 切线，BA 为O 的割线，所以，应 有 BP 2=BMBA 而 BM，BA 均为已知，因此，
6、BP 的 长度可以作出，由此可得点 P，于是过 A、M、P 三点就可确定所求之 圆 奎屯 王新敞 新疆 作法：1）作线段 ABM ， 使 AB=AB，BM=BM 2）以 AM为直径作半圆 3）过 B作 AM的垂线 BP交半圆于点 P 4）在ABC 的边 BC 上截取 BP=BP 5）经过 A、M、P 三点作O 即为所求 奎屯 王新敞 新疆 证明：由作图可知 BP 2= AB BM ，AB=AB， BM=BM，所以 BP 2=BMBA，即 BP 为O 的切线，BMA 为其割线， 且O 经过 A、M、P 三点，故O 适合所要求的条件 奎屯 王新敞 新疆 C P O A B M P A B M 5已
7、知直角三角形的斜边为 2，斜边上的高为 2 3 ，求证此直角 三角形的两个锐角是下列三角方程的根 0 4 3 sin 2 31 sin 2 =+ + xx 证：设 AD=k（如图） AB=2，DB=2-k. 由 CD 2=ADDB， . 2 1 2 3 , 0 4 3 2 ),2() 2 3 ( 2 2 或=+ = kkk kk 在直角ACD 中， 当 2 3 = kAD时，, 3 3 2 3 2 3 = AD CD tgAA=30 0，B=600. 当 2 1 = kAD时，, 3 2 1 2 3 = AD CD tgAA=60 0，B=300. 总之，两锐角一为 30 0，一为 600. 当 x=30 0时，代入原方程中得 ; 0 4 3 2 1 2 31 ) 2 1 ( 4 3 30sin 2 31 30sin 22 =+ + =+ + 当 x=60 0时，代入原方程中得 . 0 4 3 2 3 2 31 ) 2 3 ( 4 3 60sin 2 31 60sin 22 =+ + =+ + 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根 奎屯 王新敞 新疆 C A D B
