1、 1985 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共八道大题，满分 120 分 奎屯 王新敞 新疆第九题是附加题，满分 10 分，不计入总分 奎屯 王新敞 新疆 一 （本题满分一 （本题满分 15 分分）本题共有本题共有 5 小题，每小题都给出代号为小题，每小题都给出代号为 A，B， C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号 写在题后的圆括号内，选对的得写在题后的圆括号内，选对的得 3 分、不选，选错或者选出的代号超分、不选，选错或者选出的代号超 过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律
2、得过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得 0 分分 奎屯 王新敞 新疆 （1）如果正方体 ABCD-ABCD的棱长为a，那么四面体 A-ABD 的体积是 （ D ) 6 (D) 4 (C) 3 (B) 2 )( 3333 aaaa A （2）= 4 5 1xtgx是的 （ A ） （A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要的条件 （3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间) 2 , 0( 上的增函数又 是以为周期的偶函数？ （ B ） （A）).( 2 Rxxy= （B）)( |sin|Rxxy= （C）)(2cosRxxy= （D）)( 2sin Rx
3、ey x = (4)极坐标方程)0(sin=aa的图象是 （ C ） (A) O X 2 a （5）用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比 20000 大，并且百 位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有 （ B ） （A）96 个 （B）78 个 （C）72 个 （D）64 个 二 （本题满分二 （本题满分 2020 分）本题共分）本题共 5 5 小题，每一个小题满分小题，每一个小题满分 4 4 分分 奎屯 王新敞 新疆只要求 只要求 直接写出结果）直接写出结果） 集 奎屯 王新敞 新疆 （1）求方程1) 6 sin(2= +x解 答： ., 6 1) 1(|Zkkxx k +
4、= （2）设1|a，求 )arccos(arccosaa+的值 奎屯 王新敞 新疆 答： 奎屯 王新敞 新疆 （3）求曲线6416 2 +=xy的焦点 奎屯 王新敞 新疆 答： （0，0） （4）设(3x-1) 6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a0,求 a6+a5+a4+a3+a2 +a1+a0的值 奎屯 王新敞 新疆 (C) O X (B) O a X (D) a O X 2 a 答：64（或 2 6） （5）设函数 f(x)的定义域是0，1，求函数 f(x 2)的定义域 奎屯 王新敞 新疆 答：-1，1 三 （本题满分三 （本题满分 14
5、14 分）分） （1）解方程).12(log)1 (log)3(log)3(log 25. 0425. 04 +=+xxxx 解：由原对数方程得 , 3 12 log 3 12 log 1 3 log 425. 04 + + = + + = x x x x x x 1 )3)(1 ( ) 12)(3( , 0 3 12 1 3 log4= + + = + + xx xx x x x x 由此得到 解这个方程，得到 x1=0,x2=7. 检验：x=7 是增根，x=0 是原方程的根 奎屯 王新敞 新疆 （2）解不等式. 152+xx 解： + + + + + 1252 01 052 01 052
6、2 xxx x x x x 或 解得.2 2 5 |xx 四 （本题满分四 （本题满分 1515 分）分） 如图，设平面 AC 和 BD 相交于 BC，它们所成的一个二面角为 45 0， P 为平面 AC 内的一点，Q 为面 BD 内的一点 奎屯 王新敞 新疆已知直线 MQ 是直线 PQ 在 平面 BD 内的射影，并且 M 在 BC 上 奎屯 王新敞 新疆又设 PQ 与平面 BD 所成的角为， CMQ=（0 0900)，线段 PM 的长为 a，求线段 PQ 的长 奎屯 王新敞 新疆 解： 自点 P 作平面 BD 的垂 线，垂足为 R，由于直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内 的射影，所以
7、 R 在 MQ 上， 过 R 作 BC 的垂线，设垂足为 N， 则 PNBC 奎屯 王新敞 新疆（三垂线定理）因此PNR 是所给二面角的平面角，所以 PNR=45 0 由于直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影，所以PQR= 在 RtPNR 中，NR=PRctg45 0,所以 NR=PR 奎屯 王新敞 新疆 在 RtMNR 中，MR= = sin 1 sin 1 PRNR 奎屯 王新敞 新疆 在 RtPMR 中，) sin 1 1 ( sin 2 2 2 2 2222 += +=+=PR PR PRMRPRa 又已知 0 0900，所以 . sin1 sin 2 + = a PR 在
8、 RtPRQ 中，. sin1sin sin sin 1 2 + = = a PRPQ 故线段 PQ 的长为 + 2 sin1sin sina 奎屯 王新敞 新疆 五 （本题满分五 （本题满分 1515 分）分） 设 O 为复平面的原点，Z1和 Z2为复平面内的两动点，并且满足： （1） Z1和 Z2所对应的复数的辐角分别为定值和-) 2 0( ， （2）OZ1Z2的面积为定值 S 奎屯 王新敞 新疆 求OZ1Z2的重心 Z 所对应的复数的模的最小值 奎屯 王新敞 新疆 A P B N C 450 M R Q D 解：设 Z1,Z2和 Z 对应的复数分 别为 z1,z2和 z，其中 ).sin
9、( ),sin( 22 11 = += icorz icorz 由于 Z 是OZ1Z2的重心， 根据复 数加法的几何意义，则有 .sin)(cos)(3 212121 +=+=irrrrzzz 于是 += += += 2 21 2 21 22 21 2 21 22 21 22 21 22 21 2 cos4)( sin)(cos4cos)( sin)(cos)(|3| rrrr rrrrrr rrrrz 又知OZ1Z2的面积为定值 S 及) 2 0(02sin ，所以 . 3 2 |,| , 2sin 2 4)( 2sin cos8 )(|3| , 2sin 2 ,2sin 2 1 21 2
10、21 2 2 21 2 2121 = = += += = Sctgzz S rr Sctgrr S rrz S rrSrr 最小值 且最小时故当 由此 即 六 （本题满分六 （本题满分 1515 分）分） 已知两点 P（-2，2） ，Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为2 的线段 AB 在直线 L 上移动，如图 奎屯 王新敞 新疆求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方 程 奎屯 王新敞 新疆（要求把结果写成普通方程） 解：由于线段 AB 在直线 y=x 上移动，且 AB 的长2，所以可设点 A 和 B 分别是（a,a)和(a+1,a+1)，其中a为参数 奎屯 王新敞 新疆 Y Z
11、1 O - X Z2 于是可得：直线 PA 的方程是 ) 1 ()2()2( 2 2 2+ + =ax a a y 直线 QB 的方程是 )2() 1( 1 1 2 + =ax a a y 1.当,0, 1 1 2 2 时即 = + = + a a a a a 直线 PA 和 QB 平行，无交点 奎屯 王新敞 新疆 2当0a时，直线 PA 与 QB 相交，设交点为 M(x,y)，由（2）式得 . 2 63 2, 2 23 2, 2 2 1,) 1 2 1 (2 + = + + =+ + =+ + = yx xy a yx yx a yx x ax a y 将上述两式代入（1）式，得 (*)1
12、8 ) 1( 8 ) 1( 0822)2( 23 63 2 22 22 = + + =+ + = yx yxyxx yx xy y即整理得 当a=-2 或a=-1 时， 直线 PA 和 QB 仍然相交， 并且交点坐标也满足 （*） 式 奎屯 王新敞 新疆 所以（*）式即为所求动点的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 注注：考生没指出“a=0”及“a=-2 或a=-1”时的情形不扣分 奎屯 王新敞 新疆 七 （本题满分七 （本题满分 1414 分）分） 设)2 , 1( ) 1(3221=+=nnnan （1）证明不等式 2 ) 1( 2 ) 1( 2 + +n a nn n 对所有的正整数 n 都成
13、立 奎屯 王新敞 新疆 （2）设),2 , 1( ) 1( = + =n nn a b n n 用定义证明. 2 1 lim= n n b Y y=x Q P X B O A M 2 （1）证一：用数学归纳法 奎屯 王新敞 新疆略 奎屯 王新敞 新疆 证二：由不等式 2 12 2 ) 1( ) 1( + = + + kkk kkk对所有正整数 k 成立， 把它对 k 从 1 到 n（n1）求和，得到 2 12 2 5 2 3 21 + + n an n 又因, 2 ) 1( 21 + =+ nn n以及 . 2 ) 1( 2 ) 1( , 2 ) 1( )12(531 2 1 2 12 2 5
14、 2 3 2 2 + + + =+ + + n a nn n n n n 因此不等式 对所有的正整数 n 都成立 奎屯 王新敞 新疆 （2）由（1）及 bn的定义知 n bb nn n b nnn 2 1 2 1 2 1 , 2 1 2 1 2 1 2 1 =+= + 于是 对任意指定的正数，要使 2 1 n b，只要使 n2 1 ，即只要使 . 2 1 n取 N 是 2 1 的整数部分， 则数列 bn的第 N 项以后所有的项都满足 2 1 n b 奎屯 王新敞 新疆 根据极限的定义，证得. 2 1 lim= n n b 八 （本题满分八 （本题满分 1212 分）分） 设a,b 是两个实数，
15、 A=(x,y)|x=n,y=na+b,n 是整数， B=(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m 是整数， C=(x,y)|x 2+y2144， 是平面 XOY 内的点集合，讨论是否存在a和 b 使得 （1）AB（表示空集） ， （2） （a,b)C 同时成立 奎屯 王新敞 新疆 解：如果实数a和 b 使得（1）成立，于是存在整数 m 和 n 使得 (n,na+b)=(m,3m 2+15), 即 +=+ = .153 , 2 mbna mn 由此得出，存在整数 n 使得 na+b=3n 2+15, 或写成 na+b-(3n 2+15)=0 这个等式表明点 P（a,b)在直线 L：nx+y-
16、(3n 2+15)=0 上，记从原点 到直线 L 的距离为 d，于是12) 1 2 2 1 (6 1 153 2 2 2 2 + + + = + + = n n n n d 当且仅当3, 1 2 1 2 2 = + n n 即时上式中等号才成立 奎屯 王新敞 新疆由于 n 是整数，因此 3 2 n，所以上式中等号不可能成立 奎屯 王新敞 新疆即 12d 因为点 P 在直线 L 上，点 P 到原点的距离 22 ba +必满足 .12 22 +dba 而（2）成立要求a 2+b2144，即 12 22 +ba 奎屯 王新敞 新疆由此可见使得（1）成立 的a和 b 必不能使（2）成立 奎屯 王新敞
17、新疆 所以，不存在实数a和 b 使得（1） ， （2）同时成立 九 （附加题，本题满分九 （附加题，本题满分 1010 分， ）分， ） 已知曲线 y=x 3-6x2+11x-6.在它对应于 2 , 0x的弧段上求一点 P， 使得曲线在该点的切线在 y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值 奎屯 王新敞 新疆 解：已知曲线方程是 y=x 3-6x2+11x-6，因此 y=3x2-12x+11 在曲线上任取一点 P(x0,y0),则点 P 处切线的斜率是 y|x=x0=3x0 2-12x 0+11 点 P 处切线方程是 y=(3x0 2-12x 0+11)(x-x0)+y0 设这切线与 y 轴的截距为 r，则 r=(3x0 2-12x 0+11)(-x0)+(x0 3-6x 0 2+11x 0-6)=-2x0 3+6x 0 2-6 根据题意，要求 r（它是以 x0为自变量的函数）在区间0，2上的最 小值 奎屯 王新敞 新疆因为 r=-6x0 2+12x 0=-6x0(x0-2) 当 0x02 时 r0，因此 r 是增函数，故 r 在区间0，2的左端 点 x0=0 处取到最小值 奎屯 王新敞 新疆即在点 P（0，-6）处切线在 y 轴上的截距最小 奎屯 王新敞 新疆 这个最小值是 r最小值=-6
