1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生福建卷福建卷理工类数学试题理工类数学试题 奎屯 王新敞 新疆 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 奎屯 王新敞 新疆 1复数 10 ) 1 1 ( i i + 的值是 （ ） A1 B1 C32 D32 2tan15+cot15的值是 （ ） A2 B2+3 C4 D 3 34 3命题 p：若 a、bR，则|a|+|b|1 是|a+b|1 的充分而不必要条件； 命题 q：函数 y=2|1|x的定义域是（，13，+).则 （ ） A “
2、p 或 q”为假 B “p 且 q”为真 Cp 真 q 假 Dp 假 q 真 4已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若 ABF2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A 3 3 3 2 B 3 2 C 2 2 D 2 3 5已知 m、n 是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题： 若 m，n，则 mn； 若 m，m，则； 若=n，mn，则 m且 m； 若 m，m，则. 其中真命题的个数是 （ ） A0 B1 C2 D3 6某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排 2 名，则不同的安排方
3、案种数为 （ ） A 2 4 2 6C A B 2 4 2 6 2 1 CA C 2 4 2 6A A D 2 6 2A 7已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f1(x)，则函数 y= f1(1x)的图象是 （ ） 1 1 (A) x O y 1 1 (B) x O y 1 1 (C) x O y 1 1 (D) x O y 8已知a 、b 是非零向量且满足(a 2b ) a ，(b 2a ) b ，则a 与b 的夹角是 （ ） A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 9若(1-2x)9展开式的第 3 项为 288，则) 111 (lim 2n n xxx + 的值是 （ ） A2 B1
4、 C 2 1 D 5 2 10如图，A、B、C 是表面积为 48的球面上三点， AB=2，BC=4，ABC=60，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是（ ） Aarcsin 6 3 Barccos 6 3 Carcsin 3 3 Darccos 3 3 11定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3，5时，f(x)=2|x4|，则（ ） Af(sin 6 )f(cos1) Cf(cos 3 2 )f(sin2) 12如图，B 地在 A 地的正东方向 4 km 处，C 地在 B 地的北偏东 30方向 2 km 处，河流 的没岸 PQ（曲线）上任意一点到
5、 A 的距离 比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M 建一座码头，向 B、C 两地转运 货物.经测算，从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km， 那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A(272)a 万元 B5a 万元 C(27+1) a 万元 D(23+3) a 万元 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. 13直线 x+2y=0 被曲线 x2+y26x2y15=0 所截得的弦长等于 . 14设函数 + = a x x xf 11 )( )
6、0( )0( = x x 在 x=0 处连续，则实数 a 的值为 . 15某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相 互之间没有影响.有下列结论： 他第 3 次击中目标的概率是 0.9； 他恰好击中目标 3 次的概率是 0.930.1； 他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14. 其中正确结论的序号是 （写出所有正 确结论的序号）. 16如图 1，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各 切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74
7、 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=a b ，其中向量a =(2cosx，1)，b =(cosx， 3sin2x)，xR. （）若 f(x)=13且 x 3 ， 3 ，求 x； （）若函数 y=2sin2x 的图象按向量c =(m，n)(|m| 2 )平移后得到函数 y=f(x)的图象， 求实数 m、n 的值. 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题， 乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才 算合格.
8、（）求甲答对试题数的概率分布及数学期望； （）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 19 （本小题满分 12 分） 在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SA=SC=23，M、N 分别为 AB、SB 的中点. （）证明：ACSB； （）求二面角 NCMB 的大小； （）求点 B 到平面 CMN 的距离. 20 （本小题满分 12 分） 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次 性投入资金 600 万元进行技术改
9、造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年（今年为 第一年）的利润为 500(1+ n 2 1 )万元（n 为正整数）. （）设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An万元，进行 技术改造后的累计纯利润为 Bn万元（须扣除技术改造资金） ，求 An、Bn的表达式； （）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超 过不进行技术改造的累计纯利润？ 21 （本小题满分 14 分） 已知 f(x)= 2 2 2 + x ax (xR)在区间1，1上是增函数. （）求实数 a 的值组成的集合 A； （）设关于 x 的方程 f(x)= x 1 的两
10、个非零实根为 x1、x2.试问：是否存在实数 m，使得 不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立？若存在，求 m 的取值范围； 若不存在，请说明理由. 22 （本小题满分 12 分） 如图，P 是抛物线 C：y= 2 1 x2上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q. （）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程； （）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T，试求 | | | | SQ ST SP ST +的取 值范围. 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生福建卷福建卷理工类数学试题理
11、工类数学试题 参考答案参考答案 一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B 二、1345 14.1/2 15.1，3 16.2/3 三、 17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技 能，考查运算能力.满分 12 分. 解： （）依题设，f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+ 6 ). 由 1+2sin(2x+ 6 )=13，得 sin(2 x + 6 )= 2 3 . - 3 x 3 ，- 2 2x+ 6 6 5 ，2x+ 6 =- 3 ， 即 x=- 4 . （）函数 y
12、=2sin2x 的图象按向量 c=(m，n)平移后得到函数 y=2sin2(xm)+n 的图象， 即函数 y=f(x)的图象. 由（）得 f(x)=2sin2(x+ 12 )+1. |m| 2 ，m=- 12 ，n=1. 18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解： （）依题意，甲答对试题数的概率分布如下： 0 1 2 3 P 30 1 10 3 2 1 6 1 甲答对试题数的数学期望 E=0 30 1 +1 10 3 +2 2 1 +3 6 1 = 5 9 . （）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 P(A)= 3 10 3 6 1 4
13、 2 6 C CCC+ = 120 2060+ = 3 2 ， P(B)= 3 10 3 8 1 2 2 8 C CCC+ = 120 5656+ = 15 14 . 因为事件 A、B 相互独立， 方法一： 甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(BA)=P(A)P(B)=1 3 2 )(1 15 14 )= 45 1 . 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1P(BA)=1 45 1 = 45 44 . 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 44 . 方法二： 甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A
14、)P(B) = 3 2 15 1 + 3 1 15 14 + 3 2 15 14 = 45 44 . 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 44 . 19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查 空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分. 解法一： （）取 AC 中点 D，连结 SD、DB. SA=SC，AB=BC， ACSD 且 ACBD， AC平面 SDB，又 SB平面 SDB， ACSB. （）AC平面 SDB，AC平面 ABC， 平面 SDB平面 ABC. 过 N 作 NEBD 于 E，NE平面 ABC， 过 E 作 EFCM 于 F，
15、连结 NF， 则 NFCM. NFE 为二面角 NCMB 的平面角. 平面 SAC平面 ABC，SDAC，SD平面 ABC. 又NE平面 ABC，NESD. SN=NB，NE= 2 1 SD= 2 1 22 ADSA = 2 1 412=2，且 ED=EB. 在正ABC 中，由平几知识可求得 EF= 4 1 MB= 2 1 ， 在 RtNEF 中，tanNFE= EF EN =22， 二面角 NCMB 的大小是 arctan22. （）在 RtNEF 中，NF= 22 ENEF += 2 3 ， SCMN= 2 1 CMNF= 2 3 3，SCMB= 2 1 BMCM=23. 设点 B 到平面
16、 CMN 的距离为 h， VB-CMN=VN-CMB，NE平面 CMB， 3 1 SCMNh= 3 1 SCMBNE， h= CMN CMB S NES = 3 24 .即点 B 到平面 CMN 的距离为 3 24 . 解法二： （）取 AC 中点 O，连结 OS、OB. SA=SC，AB=BC， ACSO 且 ACBO. 平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=AC SO面 ABC，SOBO. 如图所示建立空间直角坐标系 Oxyz. 则 A（2，0，0） ，B（0，23，0） ，C（2，0，0） ， S（0，0，22） ，M(1，3，0)，N(0，3，2). AC=（4，0，0）
17、 ，SB=（0，23，22） ， ACSB=（4，0，0） （0，23，22）=0， ACSB. （）由（）得CM=（3，3，0） ，MN=（1，0，2）.设 n=（x，y，z）为 平面 CMN 的一个法向量， CM n=3x+ 3y=0， 则 取 z=1，则 x=2，y=-6， MNn=x+2z=0， n=(2，6，1)， 又OS=(0，0，22)为平面 ABC 的一个法向量， cos(n，OS)= |OSn OSn = 3 1 . 二面角 NCMB 的大小为 arccos 3 1 . （）由（） （）得MB=（1，3，0） ，n=（2，6，1）为平面 CMN 的一个法向量， 点 B 到平面
18、 CMN 的距离 d= | | n MBn = 3 24 . 20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识 解决实际问题的能力.满分 12 分. 解： （）依题设，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2； Bn=500(1+ 2 1 )+(1+ 2 2 1 )+(1+ n 2 1 )600=500n n 2 500 100. （）BnAn=(500n n 2 500 100) (490n10n2) =10n2+10n n 2 500 100=10n(n+1) n 2 50 10. 因为函数 y=x(x+1) n 2 50
19、10 在（0，+）上为增函数， 当 1n3 时，n(n+1) n 2 50 1012 8 50 100. 仅当 n4 时，BnAn. 答： 至少经过 4 年， 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯 利润. 21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类 讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. 解： （）f(x)= 22 2 )2( 224 + + x xax = 22 2 )2( )2(2 + x axx ， f(x)在1，1上是增函数， f(x)0 对 x1，1恒成立， 即 x2ax20 对 x1，1恒成
20、立. 设(x)=x2ax2， 方法一： += = 021) 1( 021) 1 ( a a 1a1， 对 x1， 1， f(x)是连续函数， 且只有当 a=1 时， f(-1)=0 以及当 a=1 时， f(1)=0 A=a|1a1. 方法二： += 021) 1( 0 2 a a 或 = 021) 1 ( 0 2 a a 0a1 或 1a0 1a1. 对 x1， 1， f(x)是连续函数， 且只有当 a=1 时， f(1)=0 以及当 a=-1 时，f(1)=0 A=a|1a1. （）由 2 2 2 + x ax = x 1 ，得 x2ax2=0， =a2+80 x1，x2是方程 x2ax2
21、=0 的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2， 从而|x1x2|= 21 2 21 4)(xxxx+=8 2 +a. 1a1，|x1-x2|=8 2 +a3. 要使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立， 当且仅当 m2+tm+13 对任意 t1，1恒成立， 即 m2+tm20 对任意 t1，1恒成立. 设 g(t)=m2+tm2=mt+(m22)， 方法一： g(1)=m2m20，g(1)=m2+m20， m2 或 m2. 所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，其 取值范围是m|m2，或 m2. 方法二： 当
22、 m=0 时，显然不成立； 当 m0 时， m0，g(1)=m2m20 或 m0，y20. 由 y= 2 1 x2， 得 y=x. 过点 P 的切线的斜率 k切= x1， 直线 l 的斜率 kl= 切 k 1 =- 1 1 x ， 直线 l 的方程为 y 2 1 x12= 1 1 x (xx1)， 方法一： 联立消去 y，得 x2+ 1 2 x xx122=0. M 是 PQ 的中点 x0= 2 21 xx + =- 1 1 x ，y0= 2 1 x12 1 1 x (x0x1) 消去 x1，得 y0=x02+ 2 0 2 1 x +1(x00)， PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 2
23、 0 2 1 x +1(x0). 方法二： 由 y1= 2 1 x12，y2= 2 1 x22，x0= 2 21 xx + ， 得 y1y2= 2 1 x12 2 1 x22= 2 1 (x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)， 则 x0= 21 21 xx yy =kl=- 1 1 x ， x1= 0 1 x ， 将上式代入并整理，得 y0=x02+ 2 0 2 1 x +1(x00)， PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 2 0 2 1 x +1(x0). （）设直线 l:y=kx+b，依题意 k0，b0，则 T(0，b). 分别过 P、Q 作 PPx 轴，QQy 轴，垂足分别为
24、 P 、Q ，则 =+ | | | | SQ ST SP ST | | | | | | | | 21 y b y b QQ OT PP OT += + . 由 y= 2 1 x2 ， y=kx+b 消去 x，得 y22(k2+b)y+b2=0. 则 y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2. 方法一： =+ | | | | SQ ST SP ST |b|( 21 11 yy +)2|b| 21 1 yy =2|b| 2 1 b =2. y1、y2可取一切不相等的正数， | | | | SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+）. 方法二： | | | | SQ ST SP ST +=|
25、b| 21 21 yy yy + =|b| 2 2 )(2 b bk + . 当 b0 时， | | | | SQ ST SP ST +=b 2 2 )(2 b bk + = b bk)(2 2 + = b k 2 2 +22； 当 b0， 于是 k2+2b0，即 k22b. 所以 | | | | SQ ST SP ST + b bb +)2(2 =2. 当 b0 时， b k 2 2 可取一切正数， | | | | SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+）. 方法三： 由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP， 即 2 2 x by = 1 1 x by . 则 x1y2bx1=x2y1bx2，即 b(x2x1)=(x2y1x1y2). 于是 b= 12 2 21 2 12 2 1 2 1 xx xxxx = 2 1 x1x2. | | | | SQ ST SP ST += | | | | 21 y b y b += 1 | 2 1 | 21x x + 1 | 2 1 | 21x x =| 1 2 x x +| 2 1 x x 2. | 1 2 x x 可取一切不等于 1 的正数， | | | | SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+）. 2 2
