1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生重庆重庆卷卷理工理工农医农医类类数学试题数学试题 本试卷分第部分（选择题）和第部分（非选择题）共 150 分 考试时间 120 分钟. 第部分（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那幺 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那幺 n 次独立重复试验中恰好发 生k次的概率 knkk nn PPCkP =)1 ()( 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题
2、目要求的. 1. 函数)23(log 2 1 =xy的定义域是（ ） A), 1 + B), 3 2 (+ C 1 , 3 2 D 1 , 3 2 ( 2.设复数12Zi= +, 则 2 2ZZ= ( ) A 3 B 3 C -3i D 3i 3.圆 22 2430xyxy+ =的圆心到直线1xy=的距离为： （ ） A 2 B 2 2 C 1 D 2 4不等式 2 2 1 x x + + 的解集是： （ ） A ( 1,0)(1,)+ B (, 1)(0,1) C ( 1,0)(0,1) D (, 1)(1,) + 5sin163 sin223sin253 sin313+= ( ) A 1
3、2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 6若向量a与b的夹角为60，| 4,(2 ).(3 )72babab=+= ,则向量a的模为： （ ） A 2 B 4 C 6 D 12 7 一元二次方程 2 210,(0)axxa+ =有一个正根和一个负根的充分不必要条 件是： （ ） A 0a B 0a C 1a D 1a 8 设 P 是60的二面角l 内一点，,PAPB平面平面 ,A,B为垂足， 4,2,PAPB=则 AB 的长为： （ ） A B C A B C A B C A B C P P P P A 2 3 B 2 5 C 2 7 D 4 2 9 若数列 n a是等差数列，首项 12003
4、200420032004 0,0,.0aaaaa+，则使前 n 项和0 n S 成立的最大自然数 n 是： （ ） A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 10已知双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab =的左，右焦点分别为 12 ,F F,点 P 在双曲 线的右支上， 且 12 | 4|PFPF=,则此双曲线的离心率 e 的最大值为： ( ) A 4 3 B 5 3 C 2 D 7 3 11某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二 班有 2 位，其它班有 5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班 有 3 位同学恰好被排在
5、一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位同学没有被 排在一起的概率为： （ ） A 1 10 B 1 20 C 1 40 D 1 120 12若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与ABC组成图形可能是： （ ） 第部分（非选择题 共 90 分） 题 号 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.若在 5 (1)ax+的展开式中 3 x的系数为80，则_a = 14曲线 23 11 22 24 yxyx=
6、与在交点处切线的夹角是_（用幅度数作答） 15如图 P1是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 P1的左下端剪去一个半径为 1 2 的 半圆后得到图形 P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半 圆的半径）得圆形 P3、P4、Pn,记纸板 Pn的面积为 n S，则lim_ n x S = 16对任意实数 K，直线：ykxb=+与椭圆： 32cos (02 ) 1 4sin x y =+ = + 恰有 一个公共点，则 b 取值范围是_ 三、解答题：本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 17 （本小题满分 12 分） 求函数xxxxy 44 cosco
7、ssin32sin+=的取小正周期和取小值； 并写出该函数 在0, 上的单调递增区间 奎屯 王新敞 新疆 P1 P2 P3 P4 18 （本小题满分 12 分） 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率 为 3 4 ，遇到红灯（禁止通行）的概率为 1 4 奎屯 王新敞 新疆假定汽车只在遇到红灯或到达目的 地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求： （1）的概率的分布列及期望 E; (2 ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率 奎屯 王新敞 新疆 19 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， ,/,PAABCD AEPD EFCD A
8、MEF=底面 (1) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线； (2) 若3PAAB=,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值 奎屯 王新敞 新疆 20 （本小题满分 12 分） 设函数( )(1)(),(1)f xx xxaa= (1) 求导数 /( ) fx; 并证明( )f x有两个不同的极值点 12 ,x x; (2) 若不等式 12 ( )()0f xf x+成立，求a的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 B C D A P M F E Y 21 （本小题满分 12 分） 设0p 是一常数， 过点(2 ,0)Qp的直线与抛物线 2 2ypx=交于相异两点 A、B，以线段 A
9、B 为直经作圆 H（H 为圆心） 奎屯 王新敞 新疆试证抛物线顶点在圆 H 的圆 周上；并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程 奎屯 王新敞 新疆 22 （本小题满分 14 分） 设数列 n a满足 11 1 2,(1,2,3.) nn n aaan a + =+= (1) 证明21 n an+对一切正整数 n 成立； (2) 令,(1,2,3) n n a bn n =,判断 1nn bb + 与的大小，并说明理由 奎屯 王新敞 新疆 x y OQ(2p,0) H B A 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生重庆重庆卷卷理工理工农医农医类类数学试题数学试题 参考答案 一、选择题
10、：每小题 5 分，共 60 分. 1D 2A 3D 4A 5B 6C 7C 8C 9B 10B 11B 12D 11某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二 班有 2 位，其它班有 5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班 有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位同学没有被 排在一起的概率为： （ ） A 奎屯 王新敞 新疆 1 10 B 奎屯 王新敞 新疆 1 20 C 奎屯 王新敞 新疆 1 40 D 奎屯 王新敞 新疆 1 120 奎屯 王新敞 新疆 解：10 位同学参赛演讲的顺序共有： 10 10 A; 要得到 “一班
11、有 3 位同学恰好被排在一起而二班的 2 位同学没有被排在一起 的演讲的顺序”可通过如下步骤： 将一班的 3 位同学“捆绑”在一起，有 3 3 A种方法； 将一班的 “一梱” 看作一个对象与其它班的 5 位同学共 6 个对象排成一列， 有 6 6 A种方法； 在以上 6 个对象所排成一列的 7 个间隙 （包括两端的位置） 中选 2 个位置， 将二班的 2 位同学插入，有 2 7 A种方法 奎屯 王新敞 新疆 根据分步计数原理（乘法原理） ，共有 3 3 A 6 6 A 2 7 A种方法 奎屯 王新敞 新疆 所以，一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位 同学没有被
12、排在一起的概率为： 362 367 10 10 1 20 AAA P A = 奎屯 王新敞 新疆 故选 B 奎屯 王新敞 新疆 二、填空题：每小题 4 分，共 16 分. 132 14 4 15 3 161，3 三、解答题：共 74 分. 17 （本小题 12 分） 解：xxxxy 44 coscossin32sin+= 更多资源加微信 ziyuanwang8 ) 6 2sin(2 2cos2sin3 2sin3)cos)(sincos(sin 2222 = = += x xx xxxxx 故该函数的最小正周期是；最小值是2； 单增区间是 3 1 , 0，, 6 5 18 （本小题 12 分）
13、 解： （I）的所有可能值为 0，1，2，3，4 用 AK表示“汽车通过第 k 个路口时不停（遇绿灯） ” ， 则 P（AK）= 4321 ,),4 , 3 , 2 , 1( 4 3 AAAAk且=独立. 故, 4 1 )()0( 1 =APP 256 81 ) 4 3 ()()4( , 256 27 4 1 ) 4 3 ()() 3( , 64 9 4 1 ) 4 3 ()()2( 16 3 4 1 4 3 )() 1( 4 4321 3 4321 2 321 21 = = = = AAAAPP AAAAPP AAAPP AAPP 从而有分布列： 0 1 2 3 4 P 4 1 16 3 6
14、4 9 256 27 256 81 256 525 256 81 4 256 27 3 64 9 2 16 3 1 4 1 0=+=E （II） 256 175 256 81 1)4(1)3(=PP 答：停车时最多已通过 3 个路口的概率为 256 175 . 19 （本小题 12 分） （I）证明：因 PA底面，有 PAAB，又知 ABAD， 故 AB面 PAD，推得 BAAE， 又 AMCDEF，且 AM=EF， 证得 AEFM 是矩形，故 AMMF. 又因 AEPD，AECD，故 AE面 PCD， 而 MFAE，得 MF面 PCD， 故 MFPC， 因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂
15、线. （II）解：连结 BD 交 AC 于 O，连结 BE，过 O 作 BE 的垂线 OH， 垂足 H 在 BE 上. 易知 PD面 MAE，故 DEBE， 又 OHBE，故 OH/DE， 因此 OH面 MAE. 连结 AH，则HAO 是所要求的线 AC 与面 NAE 所成的角 设 AB=a，则 PA=3a， aACAO 2 2 2 1 =. 因 RtADERtPDA，故 中从而在AHORt a EDOH a aa a PD AD ED = = + = . 1022 1 , 10 )3( 22 22 . 10 5 20 1 2 2 102 sin= a a AO OH HAO 20 （本小题
16、12 分） 解： （I）.)1 (23)( 2 axaxxf+= 0)(, ; 0)(, ; 0)(, :)()(3)(, , 04) 1(4 . 0)1 (23 0)( 2 21 1 2121 21 2 2 = += =+ = xfxx xfxxx xfxx xfxxxxxfxx xxaaa axax xf 时当 时当 时当 的符号如下可判断由不妨设 故方程有两个不同实根因 得方程令 因此 1 x是极大值点， 2 x是极小值点. （II）因故得不等式, 0)()( 21 +xfxf . 0)(2)(1 (3)( . 0)()(1 ( 2121 2 2121 2 2121 21 2 2 2 1
17、 3 2 3 1 + + xxaxxxxaxxxxxx xxaxxaxx 即 又由（I）知 = +=+ . 3 ),1 ( 3 2 21 21 a xx axx 代入前面不等式，两边除以（1+a） ，并化简得 .0)()(,2, )( 2 1 2 . 0252 21 2 成立不等式时当因此 舍去或解不等式得 + + xfxfa aa aa 21 （本小题 12 分） 解法一：由题意，直线 AB 不能是水平线， 故可设直线方程为：pxky2=. 又设),(),( BBAA yxByxA，则其坐标满足 = = .2 ,2 2 pxy pxky 消去 x 得 042 22 =ppkyy 由此得 =
18、=+ .4 ,2 2 pyy pkyy BA BA = +=+=+ 2 2 2 2 4 )2( )( ,)24()(4 p p yy xx pkyykpxx BA BA BABA 因此OBOAyyxxOBOA BABA =+=即, 0. 故 O 必在圆 H 的圆周上. 又由题意圆心 H（ HH yx , ）是 AB 的中点，故 = + = += + = . 2 ,)2( 2 2 kp yy y pk xx x BA B BA H 由前已证，OH 应是圆 H 的半径，且pkkyxOH HH 45| 2422 +=+=. 从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H 的面积最小. 此时，直线
19、 AB 的方程为：x=2p. 解法二：由题意，直线 AB 不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x2p 又设),(),( BBAA yxByxA，则其坐标满足 = = .2 ,2 2 pxy pxky 分别消去 x，y 得 =+ = . 04)2(2 , 042 222 22 pxkpx ppkyy 故得 A、B 所在圆的方程. 02)2(2 222 =+pkyxkpyx 明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上， 又知 A、B 中点 H 的坐标为),)2() 2 , 2 ( 2 kppk yyxx BABA += + 故 22222) 2(|pkpkOH+= 而前面圆的方程可表示为 22
20、222222 )2()()2(pkpkpkypkx+=+ 故|OH|为上面圆的半径 R，从而以 AB 为直径的圆必过点 O（0，0）. 又 22422 )45(|pkkOHR+=， 故当 k=0 时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线 AB 的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得 O 必在圆 H 的圆周上 又直径|AB|= 22 )()( BABA yyxx+ .442 22 22 2222 pxxpxx pxpxxx yyxx BABA BABA BABA =+ += += 上式当 BA xx =时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小. 此时直线 AB 的方程为 x=2p. 22
21、 （本小题 14 分） （I）证法一：当, 1122,1 1 +=an时不等式成立. .1) 1(2,1 . 1) 1(2 1 322 1 ,1 .12, 1 22 22 1 时成立时 时当 成立时假设 += += += += + + kakn k a k a aa kn kakn k kk kk k 综上由数学归纳法可知，12 +nan对一切正整数成立. 证法二：当 n=1 时，11232 1 +=a.结论成立. 假设 n=k 时结论成立，即 . 12 +kak 当) 1( 1 )(,1+=+=x x xxfkn由函数时的单增性和归纳假设有 .0 12 1 32) 12 1 12( . 32
22、 12 1 12: . 12 1 12 1 2 1 显然成立而这等价于 因此只需证 + + + + + + + + += + k k k k k k k k k a aa k kk 所以当 n=k+1 时，结论成立. 因此，12 +nan对一切正整数 n 均成立. 证法三：由递推公式得 , 1 2 2 1 2 1 2 += n nn a aa 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2, 1 2 a aa a aa n nn +=+= 上述各式相加并化简得 ) 1(22 11 ) 1(2 2 2 1 2 1 2 1 2 += n aa naa n n )., 2 , 1(12 ,1
23、2,1 ).2( 1222 =+ += += nna nan nnn n n 故明显成立时又 （II）解法一： 1 ) 12 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 2 11 + + + += + = + n n nn n ana na b b n n n n n . . 1 2 1 4 1 ) 2 1 ( 12 ) 1(2 1) 12( ) 1(2 1 2 nn bb n n n nn nn nn + + = + + = + + = + 故 解法二： n a a a nn a n a bb n n n nn nn + + = + = + + ) 1 ( 1 1 1 1 1 . . 0 )1( )
24、1( 1 )1() 1( )1( ) 1( 1 )12()1( )1)(1( 1 )()(12)(1( ) 1( 1 )1( ) 1( 1 1 2 nn n n n n n n bb nn annn nnn annnn nnnn annnn nnnn ann annn ann + + = + + = + + = + + + + = + 所以 的结论由 解法三： n a n a bb nn nn 22 122 1 1 + = + + 0) 1 12 1 ( 1 1 ) 12 12 1 2( 1 1 ) 1 2( 1 1 )2 1 ( 1 1 2 2 2 2 2 + = + + + + + + = + + = nnn n n nn n a an n a a a n n n n n n 故 nnnn bbbb +1 22 1 ,因此. I
