1、11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和知识回顾：知识回顾：什么是三角形、三角形的边、顶点、什么是三角形、三角形的边、顶点、内角和外角？内角和外角？在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺在平面内，由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做次连接组成的图形叫做三角形三角形。ABCABCD记记作：作：ABCABC 在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾在平面内，由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做顺次连接组成的图形叫做四边形四边形。记作：四边形记作：四边形ABCDABCDABCDEABCEDF 在平面内，由在平面内，由五条五条不在同一直线上的线段首尾不在同一直线上
2、的线段首尾顺次连接组成的图形叫做顺次连接组成的图形叫做五边形五边形。在平面内，由在平面内，由六条六条不在同一直线上的线段首尾不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫做顺次连接组成的图形叫做六边形六边形。记作：六边形记作：六边形ABCDEF记作：五边形记作：五边形ABCDEABCDE多（多（n）边形的定义：）边形的定义：在平面内，由在平面内，由n条不在同一直线上的线段条不在同一直线上的线段 首尾顺次相接组成的图形叫做首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形。多边形的内角和外角：多边形的内角和外角：一个四边形有几个外角？一个四边形有几个外角？多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻
3、边的延长线组成的角叫做多边形的外角.多边形的对角线：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的的对角线对角线。如图是四边形如图是四边形ABCD，求作它的，求作它的所有对角线所有对角线.ABCD 在图（在图（1）中，画出四边形的任何一条边所）中，画出四边形的任何一条边所在的直线，这个图形都在这条之间的同一侧，这在的直线，这个图形都在这条之间的同一侧，这样的四边形叫做样的四边形叫做凸四边形凸四边形；而图（而图（2）的四边形中，画出一边所在的直）的四边形中，画出一边所在的直线后，图形在直线的两侧，我们就称其为线后，图形在直线的两侧，我们
4、就称其为凹四边凹四边形形.（1）（2）（通常所说的多边形都是指凸多边形）问题问题 1 1 五边形、六边形分别有多少个内角？多少五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？个外角？答：五边形有答：五边形有5 5个内角，个内角，1010个（个（5 5对）外角；对）外角；六边形有六边形有6 6个内角，个内角，1212个（个（6 6对）外角对）外角.问题：问题：n边形有多少个内角？多少个外角？边形有多少个内角？多少个外角？答：答：n边形有边形有n个内角，个内角，2n个（个（n对）外角对）外角.如果多边形的如果多边形的各个角都相等，各条边都相等各个角都相等，各条边都相等，那么，那么就称它为就称它为正多边
5、形正多边形.如：正三角形、正四边形（正方形）、正五如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形等边形、正六边形等.11.3 多边形及其内角和1.画出下列多边形的全部对角线画出下列多边形的全部对角线.11.3 多边形及其内角和2.四边形的一条对角线将四边形分成四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？将五边形分成几个三角形？答：四边形的一条对角线将四答：四边形的一条对角线将四边形分成边形分成2个三角形；从五边个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以画出形的一个
6、顶点出发，可以画出2条对角线？它们将五边形分条对角线？它们将五边形分成成3个三角形个三角形.问题问题2 2：你知道长方形和正方形的内角和是多少？：你知道长方形和正方形的内角和是多少？任意一个四边形的内角和是多少？任意一个四边形的内角和是多少？问题问题1 1：你还记得三角形内角和是多少度？：你还记得三角形内角和是多少度？（三角形的内角和等于（三角形的内角和等于180180）（都是（都是360360）想一想想一想 ABCD问题问题3 3：在探究四边形的内：在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线按照如
7、图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和的方法，利用三角形内角和等于等于180180，得到四边形内，得到四边形内角和等于角和等于360360。你能说明。你能说明它的合理性吗？并且启发你它的合理性吗？并且启发你能否借助辅助线找到不同的能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？分割方法呢？想一想想一想 PABCD图图 1如图如图1 1，在四边形内任，在四边形内任取一点取一点P,P,连接连接PAPA、PBPB、PCPC、PDPD将四边形变成将四边形变成有一个公共顶点的四有一个公共顶点的四个三角形，四边形内个三角形，四边形内角和等于角和等于1801804 4
8、 360360=360=360学一学学一学PABDC图图 2如图如图2 2，在四边形的一边，在四边形的一边上任取一点上任取一点P,P,连接连接PBPB、PCPC，将四边形变成有一，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于形，四边形内角和等于180180 3 3 180180=360360PABCD图图 3如图如图3 3，在四边形外任取，在四边形外任取一点一点P,P,连接连接PAPA、PBPB、PCPC、PDPD将四边形变成有一个将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于四边形内角和等于180180 3 3 180180=3
9、60=360你知道五边形的内角和吗？六边形呢？你知道五边形的内角和吗？六边形呢？七边形呢？你能证明吗？七边形呢？你能证明吗？请你选择喜欢的一种方法解答上述问题。请你选择喜欢的一种方法解答上述问题。想一想想一想多边形的内角和多边形的内角和分成的三角形个数分成的三角形个数n6 65 54 43 3多边形的边数多边形的边数n2 2(n2)2)1801801 12 23 34 4180180360360 540540720720A AB BC CA AB BC CD DA AB BC CD DE EA AB BC CE ED DF F 你知道你知道 n 边形的内角和吗？边形的内角和吗？1、利用在探究上
10、述多边形内角何时得到的规、利用在探究上述多边形内角何时得到的规律，可得律，可得n边形的内角和等于（边形的内角和等于（n2）180.想一想想一想2 2、我们也可以利用下列不同的方法分割多、我们也可以利用下列不同的方法分割多边形，得到边形，得到 n 边形的内角和公式边形的内角和公式2A3A1A4A5AnA1A4A3A2A5AnAp2A1A3A4A5AnAp2A1A3A4A5AnAp试一试试一试解：如图，在四边形解：如图，在四边形ABCD中，中，AC180 ABCD 180（42）360 BD 360（AC）360180180例例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组：如果一个四边形的一组对角
11、互补，那么另一组对角有什么关系？对角有什么关系？ABCD 如果四边形的一组对角互补，那么另一如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补组对角也互补.例例2 2：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和外角的和叫做六边形的外角和.求六边形的内角和求六边形的内角和.ABCDEF123456解：六边形的任何一个外角加上与解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于它相邻的内角，都等于180.因因此六边形的此六边形的6个外角加上与它们相个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于邻的内角，所得总和等于6180.这个总和就
12、是六边形的外角这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和总和减去内角和.即外角和等于即外角和等于 6180（62）180 218036011.3 多边形及其内角和3.如果将例如果将例2中的六边形换为中的六边形换为n边形（边形（n的值是不小于的值是不小于3的任意正整数），可的任意正整数），可以得到同样的结果吗？你能得出什以得到同样的结果吗？你能得出什么结论？么结论？4、（抢答）、（抢答）八边形的内角和等于多少八边形的内角和等于多少度？十边形呢？度？十边形呢？（82)180=1080(102)180=1440 随堂练习5.求下列图形中求下列图形中
13、x的值：的值：01400 x0 x(1)0 x0150012002X(2)0 x0120080075(3)C0 x0135ABDE0150060(4)ABCD做一做做一做 6560957511.3 多边形及其内角和6.已知一个多边形每个内角都等于已知一个多边形每个内角都等于 108，求这个多边形的边数？，求这个多边形的边数？解法解法1：设这个多边形的边数为：设这个多边形的边数为n.180（n2）108n 解得解得 n5解法解法2：设这个多边形的边数为：设这个多边形的边数为n.（180108）n360 解得解得 n5答：这个多边形的边数为答：这个多边形的边数为5.11.3 多边形及其内角和7.如
14、图：如图：ADAB，BCCD，则，则B与与D是什是什么关系？为什么？么关系？为什么？CABD答：答：BD180证明：证明：ADAB，BCCD AC90 AC9090 180 BD1808.在下面每个多边形中，从一个顶点出发，在下面每个多边形中，从一个顶点出发，画出它所有的对角线，观察图形找规律画出它所有的对角线，观察图形找规律填表：填表：11.3 多边形及其内角和多边形多边形可作对角可作对角线的条数线的条数四边形四边形五边形五边形六边形六边形n边形边形123n311.3 多边形及其内角和9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系的关系.（1）从顶点）
15、从顶点A出发做对角线，可以作出出发做对角线，可以作出 条条.分别是分别是 .从顶点从顶点B出发做对角出发做对角线，可以作出线，可以作出 条条.分别是分别是 .同理：分别从同理：分别从C、D、E出发均可作出出发均可作出 条对角线条对角线.ABCDE2AC、AD2BD、BE211.3 多边形及其内角和9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系的关系.（2）分析：五边形有）分析：五边形有 个顶点，从每个顶个顶点，从每个顶点出发都可以作出点出发都可以作出 条对角线，按这条对角线，按这样计算，五边形的对角线共有样计算，五边形的对角线共有 条；条；不难发现，对每
16、一条对角线都重复算了两次，不难发现，对每一条对角线都重复算了两次，事实上，五边形总共只有事实上，五边形总共只有 条对角线，条对角线，因此，五边形的对角线应表示为因此，五边形的对角线应表示为 .（只用算式表示）（只用算式表示）5（53）5（53）51/25（53）11.3 多边形及其内角和9.以五边形为例，探索多边形的对角线与边数以五边形为例，探索多边形的对角线与边数的关系的关系.（3）猜想：六边形的对角线总共有）猜想：六边形的对角线总共有 条（只用算式表示）；条（只用算式表示）；n边形对角线总共有边形对角线总共有 条条.（4）应用：十边形的对角线共有）应用：十边形的对角线共有 条条.1/26（63）1/2n（n3）35
