1、 中央电视台中央电视台节目中曾经出现过这样的节目中曾经出现过这样的一道题：一道题：观察以下几个数的特观察以下几个数的特点，按照其中的规律写出点，按照其中的规律写出括号里的数括号里的数.CCTV-2CCTV-23737 2，5，10，17，26,(),50,.古印度有个国王很爱玩。一天，他对大臣们说：“希望得到一种玩不腻的玩意儿，谁能使他得到，将重重有赏。”不久，有个聪明的大臣向他献上一种棋，棋盘上有64个格子，棋子上刻着：“皇帝、”“皇后”、“车”、“马”、“炮”等字。下这种棋，是一种变化无穷的游戏，确实使人百玩不厌。国王就对那个大臣说：“我要重赏你。说吧，你要什么，我才能满足你。”那个那个说
2、：“我只要些麦粒”。“麦粒？”哈，你要多少呢？“国王陛下，你在第一格棋盘上放1粒，第二格棋盘上放2粒，第三格棋盘上放4粒，第四格棋盘上放8粒照这样放下去，每格比前一格多一倍，把64格棋盘都放满就行了。”1,2,22，23,24,25，26，27，?263.你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小陛下，赏小人几粒麦子就人几粒麦子就行了。行了。好啊！好啊！国王要给多少麦粒？国王要给多少麦粒？1+2+22+263国王想：这能要多少斤呢？最多几百斤吧。小意思！就对管粮食的大臣说：“你去拿几麻袋的麦子赏给他吧。”管粮食的大臣计算了一下，忽然大惊失色，忙向国王报告道：“照这样的计算，我们全国所有的粮食都给他，还差
3、得远呢！”说完把计算题列给国王看18，446，744，073，709，551，615（颗麦粒）（颗麦粒）一立方米麦粒大约有一立方米麦粒大约有1500万粒，那么照这样计算，得给那位大臣万粒，那么照这样计算，得给那位大臣12000亿立方亿立方米，这些麦子比全世界米，这些麦子比全世界2000年生产的麦子的总和还要多。年生产的麦子的总和还要多。国王脸色铁青，忙问管粮食的大臣说：国王脸色铁青，忙问管粮食的大臣说：“那怎么办呢？要是给他吧，我将永远那怎么办呢？要是给他吧，我将永远欠他的债；要是不给他吧，我不就成了说话不算数的小人了吗？请你给想想办法欠他的债；要是不给他吧，我不就成了说话不算数的小人了吗？请
4、你给想想办法吧。吧。”管熌的大臣想了想说：管熌的大臣想了想说：“请您下令打开粮仓，然后请献棋的大臣自己一粒一粒地请您下令打开粮仓，然后请献棋的大臣自己一粒一粒地数出那些麦粒就行了。数出那些麦粒就行了。”“那么要数多长时间呢？那么要数多长时间呢？”管粮食的大臣停了一下说：管粮食的大臣停了一下说：“假设每秒钟能数两粒麦子的话，每天他数上假设每秒钟能数两粒麦子的话，每天他数上12小时，小时，是是43200秒，数上秒，数上10年才能数出年才能数出20立方米，要数完那个数目将需要立方米，要数完那个数目将需要2900亿年呢。亿年呢。他能活多少年呢？再说枯燥的生活能折磨人，他这样下去岂不要短寿？因此我想，他
5、能活多少年呢？再说枯燥的生活能折磨人，他这样下去岂不要短寿？因此我想，他的本意并不是想要得到那些不可能得到的麦粒，只是试试有没有比他更聪明的他的本意并不是想要得到那些不可能得到的麦粒，只是试试有没有比他更聪明的人罢了。人罢了。”根据下列图形，按一定的次序写出一根据下列图形，按一定的次序写出一组钢管数：组钢管数：4,5,6,7,8,9,10三角形三角形数数1,3,6,10,.正方形数正方形数1,4,9,16,观察下列图形：观察下列图形：提问：这些数有什么规律吗？提问：这些数有什么规律吗？v上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：633222
6、221，1 1 112 3 4，1 2 3 435，请观察v1，2，3，4的倒数排列成的一列数：的倒数排列成的一列数：v高一某班每次考试的名次由小到大排成的一列数：高一某班每次考试的名次由小到大排成的一列数：v-1的的1次幂，次幂，2次幂，次幂，3次幂，次幂，排列成一列数：排列成一列数：1111，1111v无穷多个无穷多个1排列成的一列数：排列成的一列数：三角形数：三角形数：1，3，6，10，正方形数：正方形数：1，4，9，16，1 1什么叫数列？数列与数集有何区别？什么叫数列？数列与数集有何区别？2 2什么是数列的项？什么是数列的项？按项数的多少数列可以怎样分类？按项数的多少数列可以怎样分类
7、？3 3数列的一般形式是什么？数列的一般形式是什么？4 4an与与 an 表示的意义是什么？表示的意义是什么？阅读理解阅读理解:(:(阅读课本阅读课本)5.5.数列的通项公式是如何定义的？数列的通项公式是如何定义的？按照一定的次序排列的一列数叫做按照一定的次序排列的一列数叫做数列数列。数列的定义：数列的定义：1,2,22,2 3,2634,5,6,7,8,9,10例如：例如：2，5，10，17，26,37,50,.一个数列，它的项数可以是有限的也可以是无限的，根据数列的项数是有限的还是无限的，数列又分为有穷数列和无穷数列。2，5，10，17，26,(),50,.1，1，1，1，.（5）2，5，
8、10，17，26,(),50,.例1根据下面数列an的通项公式，写出它的前5项：各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n项，管熌的大臣想了想说：“请您下令打开粮仓，然后请献棋的大臣自己一粒一粒地数出那些麦粒就行了。解:在通项公式中取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n项，解：此数列的前四项的是10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以通项公式是：（6）研究项与它的位置序号n之间的关系4,5,6,7,8,9,10（3）如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。1，.O1234567n1，1，
9、1，1，.数列用图象表示：是一群孤立的点。1，2，3，4，5，n，.（1）1，.（2）n1213141511，1.4，1.41，1.414，.（3）4，5，6，7，8，9，10.（4）1，1，1，1，.（5）1，1，1，1，.（6）数列中的数可以相同数列中的数可以相同数集中的数互异数集中的数互异数集中的数无序数集中的数无序数列中的数有序数列中的数有序数列和数集的区别数列和数集的区别:根据数列的定义知数列是按一定顺序排列根据数列的定义知数列是按一定顺序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。次序不同，则不是同一数列。如：如：数
10、列（数列（4）:4，5，6，7，8，9，10。改为。改为 数列（数列（4）:10，9，8，7，6，5，4。它们它们不是不是同一数列。同一数列。又如：数列（又如：数列（5）:1，1，1，1，。改为。改为 数列（数列（5）:1，1，1，1，。则它们则它们也不是也不是同一数列。同一数列。数列的项数列的项：数列中的每一个数都叫做数列的数列中的每一个数都叫做数列的项项.各项依次叫做数列的第各项依次叫做数列的第1项，第项，第2项，项，第第n项项，.数列的第数列的第1项又称项又称首项首项 数列中的每一个数都对应着数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数
11、。如数列（对应着一个数。如数列（4）项项 4 5 6 7 8 9 10序号序号 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是序号的函这说明：数列的项是序号的函数，序号从数，序号从1开始依次增加时，对开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，应的函数值按次序排出就是数列，这就是数列的实质。这就是数列的实质。一个数列，它的项数可以是有限的也可以一个数列，它的项数可以是有限的也可以是无限的，根据数列的项数是有限的还是是无限的，根据数列的项数是有限的还是无限的，数列又分为有穷数列和无穷数列。无限的，数列又分为有穷数列和无穷数列。我们规定：我们规定：项数有限的数列叫做项数有限的数列叫做有穷数列有
12、穷数列项数无限的数列叫做项数无限的数列叫做无穷数列无穷数列如数列（如数列（4）是有穷数列）是有穷数列如数列（如数列（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（5）、（）、（6）都是无穷数列。都是无穷数列。1，2，3，4，5，n，.（1）1，.（2）n1213141511，1.4，1.41，1.414，.（3）4，5，6，7，8，9，10.（4）1，1，1，1，.（5）1，1，1，1，.（6）数列数列 a1，a2，a3，an，.可简记为数列可简记为数列 an .数列的一般形式：数列的一般形式：其中其中an 是数列的第是数列的第n项项。a1，a2，a3，an，.如数列（如数列（2）,1,31,21
13、,1n可简记为可简记为n1 如数列（如数列（1）1，2，3，4，5，可简记为可简记为 nn4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 an 在本章表示数列在本章表示数列 ,不是集合不是集合,通常应写成通常应写成数列数列 an 是数列的第是数列的第n项项an数列的通项公式：数列的通项公式：如果数列如果数列 an 的第的第 n 项项 an 与与 n 之间的关系可以用一个公式来表示之间的关系可以用一个公式来表示 ，那么这个公式称为数列的通项公式那么这个公式称为数列的通项公式 。y=f（x）ann？函数值函数值自变量自变量 从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是
14、一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2,3,n)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.=f()关于数列的通项公式关于数列的通项公式 下面两个数列中的项与序下面两个数列中的项与序号的关系有没有规律？号的关系有没有规律？序号序号nna项123456745678910123.64632102222序号序号nna项?na?naan=n+312nna关于数列的通项公式关于数列的通项公式例例1 根据下面数列根据下面数列an的通项公式，写出它的前的通项公式，写出它的前5项：项：1nna)1(n n)1(a )2(nn ;65,54,43,32,21解
15、解:(1)在通项公式中取在通项公式中取n=1，2，3，4，5，得到数列的前得到数列的前5项：项：(2)在通项公式中取在通项公式中取n=1，2，3，4，5，得到数列的前得到数列的前5项项：;5,4 ,3,2 ,1 anOn1 2 3 4 5 6 710987654321数列图象是一些点作作an=n+3（）的图象）的图象 nNO 1 2 3 4 5 6 7 nan8421这些点是孤立的！数列用图象表示：数列用图象表示：是一群孤立的点是一群孤立的点。的图像)(21Nnann数列的图象表示11.数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象12345678910123456789100递增数列：从第递增数
16、列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列项起，每一项都大于它的前一项的数列数列的图象表示21.数列 的图象1234567891012345678910,8,4,2,1,21,从第从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。项起，每一项都小于它的前一项的数列。数列的图象表示3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100各项相等的数列。各项相等的数列。数列的图象表示4（1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项
17、小于它的前一项的数列研究项研究项 与它的位置序号与它的位置序号n之间的关系之间的关系例如，数列例如，数列,1,21,31,41,511nan例如，数列例如，数列1，2，3，4，5，6，nan例如，数列例如，数列2，4，6，8，10，12，2nanna例如，数列例如，数列1，3，5，7，9，11，21nan例如，数列例如，数列1，4，9，16，25，36，2nan10nna 例如，数列例如，数列1，3，7，15，31，21nna 例如，数列例如，数列1，-1，1，-1，1，-1，例如，数列例如，数列10，100，1000，1(1)nna 研究项研究项 与它的位置序号与它的位置序号n之间的关系之间
18、的关系na1 12 23 34 45 5，1111354321，4131211633222221，1111，数列中的每一个数叫数列中的每一个数叫做这个数列的做这个数列的项项。各项依次叫做这个数列各项依次叫做这个数列的的第第1项项，第第2项项，第第n项项，数列的分类数列的分类(1)按按项数项数分：分：项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列(2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，摆动数列摆动数列，常数列。常数列。有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列无穷数列无穷数列递增
19、数列递增数列递增数列递增数列递减数列递减数列摆动数列摆动数列常数列常数列练习：练习：P28 观察观察思考问题思考问题1 是不是每一个数列都能是不是每一个数列都能写出其通项公式写出其通项公式？1，2，3，4，5，n，.（1）1，.（2）n1213141511，1.4，1.41，1.414，.（3）4，5，6，7，8，9，10.（4）1，1，1，1，.（5）1，1，1，1，.（6）有的数列没有有的数列没有通项公式通项公式4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011例例1 根据下面数列根据下面数列an的通项公式，写出它的前的通项公式，写出它的前5项：项：1(1)1
20、(3)2nna0(4)1nnan为奇数）（为偶数）解解:在通项公式中取在通项公式中取n=1n=1，2 2，3 3，4 4，5 5，得到数列的前，得到数列的前5 5项项0,1,0,1,0,1;数列的通项公式不唯一数列的通项公式不唯一。数列练习1练习练习1 根据数列根据数列 的通项公式，写出它的第的通项公式，写出它的第7项与第项与第10项。项。na31)1(nan)2()2(nnannann1)1()3(34317a1000110a637a12010a717a10110a例例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项项分别是下列各数：分别是下列各数：22222
21、-13-14-15-1(1),;23451111(2)-,-,;1 22 33 44 5（1）;515,414,313,2122222 解：解：此数列的前四项的分母都此数列的前四项的分母都是序号加是序号加1，分子都是分母的平方减，分子都是分母的平方减去去1，所以通项公式是：，所以通项公式是：121112nnnnnan（2）.541,431,321,211 解：解：此数列的前此数列的前4项的绝对值都等项的绝对值都等于序号与序号加上于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：项为负，偶数项为正，所以通项公式是：11nnann 解：解：此数列的前四项的是
22、此数列的前四项的是10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以通项公式所以通项公式是：是：(3)9，99，999，9999,99999.1-10ann(4)1，11，111，1111，111111)-(1091ann 7,77,777,7777,77777,思考：的通项公式是nn7a(10-1)9；练习练习:写出下面数列的一个通项公式，写出下面数列的一个通项公式，使它前使它前5项分别是下列各数：项分别是下列各数：12345(1)1,3,5,79;49162536579(2)1,1,;71531 ;1195,-974,753,-532,311-(3)2n1)(nn1-2na 1-21
23、-2nann 1)1)(2n-(2nn(-1)ann 练习练习:写出下面数列的一个通项公写出下面数列的一个通项公式式.31 31 3(1)1,23 45 63 1 5 37(2),5 2 11 7 17*2(1)(1)(1)()nnnanNn *2(2)()32nnanNn 中央电视台中央电视台节目中曾经出现过这样的节目中曾经出现过这样的一道题：一道题：观察以下几个数的特观察以下几个数的特点，按照其中的规律写出点，按照其中的规律写出括号里的数括号里的数.CCTV-2CCTV-2an=n2+13737 2，5，10，17，26,(),50,.数列小结数列小结（1）按一定）按一定次序次序排列的一列
24、排列的一列数数叫做叫做数列数列。（2）数列数列中的每一个中的每一个数数叫做这个数列的叫做这个数列的项项。数列数列中的各中的各项项依次叫做这个数列的依次叫做这个数列的 第第1项项（或（或首项首项）用）用 表示，表示，1a第第2项项用用 表示，表示，2a第第n项项用用 表示表示，na （3）如果数列如果数列 的第的第n项项 与与n之间的关系可之间的关系可以用一个以用一个公式公式来表示，这个来表示，这个公式公式就叫做这个数列的就叫做这个数列的通项公通项公式式。nana nnnnnnn1,2,2,12,1)5(21）（如：熟记一些特殊的数列，（4）数列的表示方法）数列的表示方法补充练习补充练习.D;n
25、，.C;n，.B;n，.A)(.,nnaa)(.D.C.B.A).()n(n，)(;,()(、nn不是这个数列的项且是这个数列的项且是这个数列的项且是这个数列的项那么的通项公式已知数列中的一项是是数列以下四个数中是下面数列是有穷数列的选择题 D.0,0,0,0,C.2,22,222 21B.1,A.1,0,1,0,)776980132332393801241311122BCA._,lg,lg,lg,)(_;_,)(_;a,nnaa）（、nn式为的一个通项公数列为的一个通项公式数列项则它的第的通项公式已知数列填空题23221061615874321551425 652-1=-12nnnna=lg
26、nan111221211nnnaaaan如果一个数列的首项，从第 项起每一项等于它的前一项的 倍再加上，即（）21322121aaaa那么，1211nnaan象这样给出数列的方法叫做递推法，其中（）称为递推公式。个数列的递推公式。个数列的递推公式。那么这个公式就叫做这那么这个公式就叫做这个公式来表示，个公式来表示，项）间的关系可以用一项）间的关系可以用一（或前（或前的前一项的前一项与它与它项），且任一项项），且任一项项（或前项（或前的第的第如果已知数列如果已知数列naanannn11 递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式也是数列的一种表示方法。项。项。写出这个数列的前写出这个数列的前）（，满足满足：设数列：设数列例例5.1111311 naaaannn 递推公式是数列所特有的表示法，它含两个部分，递推公式是数列所特有的表示法，它含两个部分，一是一是递推关系递推关系，一是，一是初始条件初始条件，二者缺一不可，二者缺一不可 na13a 121nnaa 例例1.已知已知 满足满足 ，试，试写出该数列的前写出该数列的前5项，并用观察法写出这个项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式数列的一个通项公式.
