1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力 的作用下产生的作用下产生位移位移 ，力力 所做的功所做的功W W应当怎样计算？应当怎样计算？FFsW=|W=|coscos 其中其中是是 与与 的夹角的夹角.FsFsFs 功是一个标量，是一个数量，它由力和位功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把这给我们一种启示，能否把“功功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？看成这两个向量的一种运算的结果呢？从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数
2、量数量积积”的概念的概念.两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角abOAa,OBb AOB abbaOAB,.a b记作注意注意:在两向量的夹角定义中在两向量的夹角定义中,两向量必须是同两向量必须是同起点的起点的.向量的夹角的概念向量的夹角的概念OABab0与与 同向同向abOABab 与与 反向反向abOABab与与 垂直垂直ab2特别地特别地0 向量夹角的取值范围:1.1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义的含义及其物理意义.(重点）重点）2.2.掌握数量积的性质和运算律，并能运
3、用性质和掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算运算律进行相关的判断和运算.（重点、难点）（重点、难点）3.3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，了解用了解用平面向量的数量积处理垂直问题的方法平面向量的数量积处理垂直问题的方法，以及能，以及能解决一些简单问题解决一些简单问题.人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量一个数量.已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量叫做叫做 与与 的数量积（或内积）的数量积（或内积）.记作记作其中
4、其中是是 的夹角的夹角.abcosa b abcos a ba b即，规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0.0.1、数量积的定义、数量积的定义 a bab与微课微课1 数量积数量积人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7思考思考1:1:向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？当当 时，它为负值时，它为负值90,180 a b当当 时，它为时，它为0 0；,90 a b当当 时，它为正值；时，它为正值；0a,b90 提示提示:人教A版数学必修4PPT课件平面
5、向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？提示：向量的数量积提示：向量的数量积ab是一个实数；数乘向量是一个实数；数乘向量a是一个向量是一个向量 【即时训练即时训练】人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7BB1OA 叫做向量叫做向量 在在 方向上（向方向上（向量量 在在 方向上）的方向上）的投影投影.coscos)ba（bbaaab2、投影的概念、投影的概念人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7数量积数量积 等于等于的长度的长度 与与
6、 在在 的方的方向向上的投影上的投影的乘积的乘积.a baabacosb还有其他说法吗？还有其他说法吗？向量向量 与与 的数量积等于的数量积等于的长度的长度 与与 在在的方的方向上的投影向上的投影的乘积的乘积.cosaaabbb3.3.数量积的几何意义数量积的几何意义b提示提示:人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7投影是向量还是数量？投影是向量还是数量？提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、可为零可为零【即时训练即时训练】人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7(1)0.a
7、ba b思考思考2:2:由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论？由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论？设设 a b,是非零向量，是非零向量，ab90cos0.cos0.0.a ba b 提示提示:微课微课2 向量数量积的性质向量数量积的性质人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7(2)|;aba ba b当 与 同向时，|;aba ba b 当 与 反向时，2|a aa特别地，|.aa a或,cos1cos|.aba ba ba ba b 当 与 同向时，=0 所以，所以，所以,cos1cos|.aba ba ba ba b 当 与 反向时，=180
8、则，所以，即2|.a aaaa特别地，提示提示:人教A版数学必修4PPT课件平面向量7人教A版数学必修4PPT课件平面向量7(3)|.a ba b|cos|,|cos|1,a ba b因为|.a ba b所以提示提示:(1)0.aba b(2)|;aba ba b当 与 同向时，|;aba ba b 当 与 反向时，2|a aa 特别地，|.aa a 或(3)|.a ba b设设ab，是非零向量，是非零向量，向量数量积的性质向量数量积的性质B【即时训练即时训练】1.5,4,120.ababa b例已知与 的夹角，求cosa ba b 5 4 cos120 15 4()210.【解析】【变式练习
9、变式练习】思考思考3:3:回顾实数运算中有关的运算律，你能推回顾实数运算中有关的运算律，你能推导向量数量积的下列运算律吗？导向量数量积的下列运算律吗？1 a bb a （）；2()()()aba bab （）；(3)().abca cb c 微课微课3 向量数量积的运算律向量数量积的运算律1cos,cos,a ba ba bb aa bb a （）；2aba b cos a,b =a b cos a,b ab cos a,b =ab （）()()提示提示:ONM(3)(ab)cON c(OMMN)cOM cMN ca cb c.设向量设向量 在在 上的上的投影分别是投影分别是OMOM，MNMN
10、，ON,ON,abab，ccbaab1(a b)ca(b c);a cb cab.(（）（2）消去律）思考思考4:4:下列两个运算律成立吗？下列两个运算律成立吗？1 a bR,b cR,ca （）与 的方向不定，故不成立；2 c0.()时不成立提示提示:1 a bb a （）；2()()()aba bab （）；(3)().abca cb c ()()(1)(1)(2)不(2)不足足注注意意：消消去去律律.a bcab c；满向量数量积的运算律向量数量积的运算律若若a，b，c是非零向量，且是非零向量，且acbc，则，则ab一定成一定成立吗？立吗？提示：不一定由提示：不一定由acbc可得可得c(
11、a-b)0a-b0或或c(a-b)【即时训练即时训练】22222(1)a+b=a+2a b+b(2)a+ba-b=a-b ；。例例2.2.我们知道，对任意我们知道，对任意a a，bRbR，恒有，恒有(a+b)(a+b)2 2=a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2,(a+b)(a-b)=a,(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2.对任意向量对任意向量是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？a b，222(1)abababaaabbabba2abb；有有；22(2)a+bab=a aa b+b ab b=ab 。【解析】设向量设向量a，b，c满足满足abc0，(a-b)c，ab
12、，若，若|a|1，则，则|a|2|b|2|c|2的值是的值是_【解析解析】由由abc0得得c-a-b.又又(a-b)c0，(a-b)(-a-b)0，即，即a2b2.则则c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24.4【变式练习变式练习】236ababa aa bb b（）（）3|6,|4,60,(2)(-3).例例已已知知与与 的的夹夹角角为为求求abababab.22|6|aa bb 22|cos 606|aa bb36 129672.【解析】12,9,54 2,.aba bab 求 与 的夹角54 22cos,1292a ba ba b 0,3,.4 因因为为所所以以
13、a ba b【变式练习变式练习】【解析】.34例例4 4已已知知 ，且且 与与 不不共共线线，为为何何值值时时，向向量量与与互互相相垂垂直直？ababkakbakb222akbakb,(akb)(akb)0ak b0.因（）（）所以，即2222239,416,9 160.又又因因为为所所以以abk3.43.4 所所以以即即时时，与与互互相相垂垂直直kkakbakb【解析】【变式练习变式练习】A A2 2.(2018.(2018全国卷全国卷II)II)已知向量已知向量a,b满足满足|a|=1,|=1,ab=-1,=-1,则则a(2(2a-b)=)=()A.4A.4B.3B.3C.2 C.2 D.0 D.0【解析】选【解析】选B.B.因为因为|a|=1,|=1,ab=-1,=-1,所以所以a(2(2a-b)=2=2a2 2-ab=2=21-(-1)=3.1-(-1)=3.|1,234abababkabk4.4.若若且且与与也也互互相相垂垂直直，求求 的的值值.3)(4),3)(4)0.因因为为（2 2所所解解以以（2 2：abkababkab222120.所所以以 kab221,6.因因为为所所以以abk几何意义几何意义 定义定义夹角夹角性质性质运算律运算律 向量数量积向量数量积投影投影一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚.谢觉哉
