1、 6.2椭圆、双曲线、抛物线考情分析考情分析备考定向备考定向高频考点高频考点探究突破探究突破预测演练预测演练巩固提升巩固提升考情分析备考定向高频考点探究突破命题热点命题热点 一一圆锥曲线的定义的应用圆锥曲线的定义的应用【思考】【思考】什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲求圆锥曲线标准方程的基本思路是什么线标准方程的基本思路是什么?例例1设设P是是椭圆椭圆 =1上一点上一点,M,N分别是两圆分别是两圆:(x+2)2+y2=1和和(x-2)2+y2=1上的点上的点,则则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为的最小值、最大值分别为()A.4,8B.2,6C.6
2、,8D.8,12A解析解析:如图如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点两个焦点,由椭圆定义知由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=6.连接连接PA,PB,分别与两分别与两圆相交于圆相交于M,N两点两点,此时此时|PM|+|PN|最小最小,最小值为最小值为|PA|+|PB|-2=4.延长延长PA,PB,分别与两圆相交于分别与两圆相交于M,N两点两点,此时此时|PM|+|PN|最大最大,最大值为最大值为|PA|+|PB|+2=8,即最小值和最大值即最小值和最大值分别为分别为4,8.(2)直线y=kx+m与曲线E相交于P,Q两点,若曲线E上存在
3、点R,使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点),求m的取值范围.对点训练3如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).解析:抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,【思考】求轨迹方程的基本策略是什么?点M(x0,y0)在抛物线C2上,过点M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,ODE是等腰直角三角形.直线MN过点A(1,0),F(0,-1),直线MN的方程为y=x-1.直线MN的方程为y=x-1.因为点R(x1+x2,y1+y2)在曲线E上,若直线MNx轴,则MBA=NBA显然成立.(1)求曲线E的方程;例4(2020广西桂平五中高三下学期联考)已知圆C:x2
4、+y2=r2(r0),点A(1,0),B(4,0),过点A的直线交圆C于M,N两点.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.所以2(2m2-3)m2-6,解得m20.圆锥曲线与圆相结合的问题圆锥曲线与圆相结合的问题则设其方程为y=k(x-1),【思考】什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲线标准方程的基本思路是什么?题后反思题后反思1.涉及椭圆涉及椭圆(或双曲线或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦两焦点间的距离或焦点弦的问题以及到抛物线焦点的问题以及到抛物线焦点(或准线或准线)的距离问题的距离问题,可
5、优先考虑圆可优先考虑圆锥曲线的定义锥曲线的定义.2.求圆锥曲线的标准方程时求圆锥曲线的标准方程时“先定型先定型,后计算后计算”,即先确定是何即先确定是何种曲线种曲线,焦点在哪个坐标轴上焦点在哪个坐标轴上,再利用条件求再利用条件求a,b,p的值的值.对点训练对点训练1(1)(2020全国全国,理理4)已知已知A为抛物线为抛物线C:y2=2px(p0)上一点上一点,点点A到到C的焦点的距离为的焦点的距离为12,到到y轴的距离为轴的距离为9,则则p=()A.2B.3C.6D.9A.1B.2C.4D.8 CA解析解析:(1)设点设点A的坐标为的坐标为(x,y).由点由点A到到y轴的距离为轴的距离为9可
6、得可得x=9,由点由点A到抛物线到抛物线C的焦点的距离为的焦点的距离为12,可得可得x+=12,解得解得p=6.(2)不妨设点不妨设点P在第一象限在第一象限,设设|PF1|=m,|PF2|=n,则则mn,命题热点命题热点 二二求圆锥曲线的离心率求圆锥曲线的离心率【思考】【思考】求圆锥曲线离心率的基本思路是什么求圆锥曲线离心率的基本思路是什么?例例2设设F为双曲线为双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点的右焦点,O为坐标原为坐标原点点,以以OF为直径的圆与圆为直径的圆与圆x2+y2=a2交于交于P,Q两点两点.若若|PQ|=|OF|,则则C的离心率为的离心率为()A解析解析:如图如图,设设PQ与与
7、x轴交于点轴交于点A,由对称性可知由对称性可知PQx轴轴.|PQ|=|OF|=c,题后反思题后反思解决椭圆和双曲线的离心率的求值或取值范围问解决椭圆和双曲线的离心率的求值或取值范围问题题,其关键就是先确立一个关于其关键就是先确立一个关于a,b,c(a,b,c均为正数均为正数)的方程或的方程或不等式不等式,再根据再根据a,b,c的关系消掉的关系消掉b得到得到a,c的关系式的关系式.建立关于建立关于a,b,c的方程或不等式的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等点的坐标的范围等.B命题热点命题热点 三三求轨迹方程求轨迹方程【思考】【思考】
8、求轨迹方程的基本策略是什么求轨迹方程的基本策略是什么?例例3(2020广东广州二模广东广州二模)已知点已知点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-,0),(,0),动点动点M(x,y)满足直线满足直线AM和和BM的斜率之积为的斜率之积为-3,记记M的的轨迹为曲线轨迹为曲线E.(1)求曲线求曲线E的方程的方程;(2)直线直线y=kx+m与曲线与曲线E相交于相交于P,Q两点两点,若曲线若曲线E上存在点上存在点R,使得四边形使得四边形OPRQ为平行四边形为平行四边形(其中其中O为坐标原点为坐标原点),求求m的的取值范围取值范围.由由=4k2m2-4(k2+3)(m2-6)0,得得2k2m2-6.因为点因
9、为点R(x1+x2,y1+y2)在曲线在曲线E上上,因为因为2k2m2-6,所以所以2(2m2-3)m2-6,解得解得m20.题后反思题后反思1.求轨迹方程时求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知先看轨迹的形状能否预知,若能预若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解定系数法求解;否则利用直接法或代入法否则利用直接法或代入法.2.讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的要注意字母的取值范围取值范围.对点训练对点训练3如如图图,抛物线抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2p
10、y(p0).点点M(x0,y0)在抛物线在抛物线C2上上,过点过点M作作C1的切线的切线,切点为切点为A,B(M为原点为原点O时时,(1)求求p的值的值;(2)当点当点M在在C2上运动时上运动时,求线段求线段AB的中点的中点N的轨迹方程的轨迹方程(当当A,B重合于点重合于点O时时,中点为中点为O).命题热点命题热点 四四圆锥曲线与圆相结合的问题圆锥曲线与圆相结合的问题【思考】【思考】圆锥曲线与圆相结合的题目经常用到圆的哪些圆锥曲线与圆相结合的题目经常用到圆的哪些性质性质?例例4(2020广西桂平五中高三下学期联考广西桂平五中高三下学期联考)已知圆已知圆C:x2+y2=r2(r0),点点A(1,
11、0),B(4,0),过点过点A的直线交圆的直线交圆C于于M,N两点两点.(1)若直线若直线MN过抛物线过抛物线x2=-4y的焦点的焦点F,且且|MN|=,求圆求圆C的方程的方程;(2)若若r=2,求证求证:MBA=NBA.(1)解解:抛物线抛物线x2=-4y的焦点为的焦点为F(0,-1).直线直线MN过点过点A(1,0),F(0,-1),直线直线MN的方程为的方程为y=x-1.解得解得r=2.故圆故圆C的方程为的方程为x2+y2=4.(2)证明证明:若若r=2,则圆则圆C的方程为的方程为x2+y2=4.若直线若直线MNx轴轴,则则MBA=NBA显然成立显然成立.若直线若直线MN与与x轴不垂直轴
12、不垂直,则设其方程为则设其方程为y=k(x-1),MBA=NBA.综综上上,MBA=NBA.题后反思题后反思处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直如直径对的圆心角为直角角,构成了垂直关系构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形角形.利用圆的一些特殊几何性质解题利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化往往使问题简化.对点训练对点训练4如如图图,设设椭圆椭圆 +y2=1(a1).(1)求直线求直线y=kx+1被椭圆截得
13、的线段长被椭圆截得的线段长(用用a,k表示表示);(2)若任意以点若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点个公共点,求椭圆离心率的取值范围求椭圆离心率的取值范围.解解:(1)设直线设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为被椭圆截得的线段为AP,(2)假设圆与椭圆的公共点有假设圆与椭圆的公共点有4个个,由对称性可设由对称性可设y轴左侧的椭轴左侧的椭圆上有两个不同的点圆上有两个不同的点P,Q,满足满足|AP|=|AQ|.记直线记直线AP,AQ的斜率分别为的斜率分别为k1,k2,且且k1,k20,k1k2.预测演练巩固提升AC解析解析:由题意由题意,得双曲线得双曲线C
14、的右焦点的右焦点(c,0)到渐近线到渐近线bxay=0的的3.(2020全国全国,理理5)设设O为坐标原点为坐标原点,直线直线x=2与抛物线与抛物线C:y2=2px(p0)交于交于D,E两点两点,若若ODOE,则则C的焦点坐标的焦点坐标为为()B解析解析:抛物线抛物线C关于关于x轴对称轴对称,直线直线x=2垂直于垂直于x轴轴,又又ODOE,ODE是等腰直角三角形是等腰直角三角形.不妨设点不妨设点D在第一象限在第一象限,则点则点D的坐标为的坐标为(2,2),将其代入将其代入y2=2px,4.过点过点F(1,0)且与直线且与直线x=-1相切的动圆圆心相切的动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程为为_.y2=4x解析解析:设动圆的圆心为设动圆的圆心为M(x,y),圆圆M经过点经过点F(1,0)且与直线且与直线l:x=-1相切相切,点点M到点到点F的距离等于点的距离等于点M到直线到直线l的距离的距离.由抛物线的定义由抛物线的定义,得得M的轨迹是以点的轨迹是以点F为焦点为焦点,直线直线l为准线的为准线的抛物线抛物线.设方程为设方程为y2=2px(p0),可知可知 =1,即即2p=4,故故M的轨迹方程是的轨迹方程是y2=4x.(1)求求C1的离心率的离心率;(2)设设M是是C1与与C2的公共点的公共点.若若|MF|=5,求求C1与与C2的标准方程的标准方程.
