1、 3.3.3点到直线的距离点到直线的距离两点间的距离公式是什么？两点间的距离公式是什么？已知点已知点 ，则，则222111,yxPyxP，.21221221yyxxPPQyOx1P2P22,(,):|OP x yOPxy特别地原点 与任一点的距离为M地地N地地P地地铁路铁路问题问题:在铁路在铁路MN附近附近P地要修建一条公路使之连地要修建一条公路使之连接起来，问，如何设计才能使公路最短？接起来，问，如何设计才能使公路最短？?M地地N地地P地地 即求即求P P到到MNMN上的最短上的最短距离距离简化图形简化图形:过过P P作作MNMN的垂线，的垂线，设垂足为设垂足为Q Q，则垂，则垂线段线段PQ
2、PQ的长度就是的长度就是P P到直线到直线MNMN的距离的距离Q如果如果P P点坐标为（点坐标为（1,21,2），直线），直线MNMN（L)L)的方程为的方程为 ,求求P P到直线到直线L L的距离的距离。50 xy 在平面直角坐标系中，求点在平面直角坐标系中，求点 到直到直线线 的的 。(1,2)P:50l xyxOyPl方法方法1.1.定义法定义法Q方法方法2.2.解直角三角形法解直角三角形法方法方法3.3.等面积法等面积法 方法方法4.4.函数法函数法距离距离 已知点已知点P(xP(x0 0,y,y0 0)和直线和直线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0,怎怎样求样求点点P P
3、到直线到直线l l的距离的距离呢呢?思考思考.PyxolQxyP (x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|1yyy11xxx1当当A=0A=0或或B=0B=0时时,直线方程为直线方程为y=yy=y1 1或或x=xx=x1 1的形式的形式（1 1）特殊情况）特殊情况10(,)R x y01S(,)xy 思路一思路一 转化为两点间距离转化为两点间距离（定义法定义法）:0lAxByCyxoQP(x0,y0),lAkB.PQBkA00:()BPQyyxxA的方程为00()0ByyxxAAxByC点点Q坐标难求坐标难求 思路简单，但计算繁杂思路简单，但计算繁杂（2 2）一般情况）一般情况 A0,B 0
4、A0,B 0 M对于直线对于直线l上任一点上任一点(,),M x y22200()()PMxxyy又由又由 得，得，0AxByCACyxBB 代入消元得，代入消元得，22200()()ACPMxxxyBB 222(1)AxB抛物线开口向上，定义域为抛物线开口向上，定义域为R，有最小值。，有最小值。xOy00(,)P xy:0l AxByC 思路二思路二 函数法函数法方法具有一般性方法具有一般性，但计算复杂，但计算复杂xyP(x0,y0)O:0lAxByCS00,AxCxBR00,ByCyA1|2PSPRQd1|2d SR 思路三思路三 构造直角三角形求距离构造直角三角形求距离（等面积法等面积法
5、）ACByAxPR00BCByAxPS00CByAxBABARS0022点到直线的距离公式点到直线的距离公式xyP(x0,y0)O:0lAxByCSR0022|AxByCdABQd 应用公式时直线方程应应用公式时直线方程应例例1 1 求点求点 到下列直线的距离到下列直线的距离。(1,2)P(2)32;x(3)5210.xy 3(1)1;4yx答案答案：（1）3；（2）；（3）0.53求点P(3,1)到下列直线的距离如果P点坐标为（1,2），直线MN（L)的方程为求出 的三条边长；又由 得，转化为两点间距离（定义法）方法具有一般性，但计算复杂等于 的直线方程.求出直线PQ的方程：求出点P到直线l
6、上任一点M(x,y)的距离的平方已知点 ，则在平面直角坐标系中，求点 到直线 的 。求过点A（1,2），且与原点的距离即求P到MN上的最短距离方法具有一般性，但计算复杂当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式过P作MN的垂线，设垂足为Q，则垂线段PQ的长度就是P到直线MN的距离构造直角三角形求距离（等面积法）在 ；点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，又由 得，已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?例例2.已知点已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求求ABC的面积的面积xyC(-1,0)O-1-11 12 22 23
7、 33 31 1B(3,1)A(1,3)h还有其他方还有其他方法吗法吗？小小 结结 1.1.点到直线距离公式点到直线距离公式 2.2.特殊情况特殊情况0022|AxByCdAB 直线方程要直线方程要xyP0(x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|1yyy11xxx13.数学思想方法数学思想方法 数形结合思想数形结合思想转化化归思想转化化归思想分类讨论思想分类讨论思想函数方程思想函数方程思想特殊到一般思想特殊到一般思想1.求点求点P(3,1)到下列直线的距离到下列直线的距离（1）3x+4y 5=0；（；（2）5x+2=0；（；（3）3y 1=0.5843|5433|(1)22 d根根据据距距离
8、离公公式式得得解解：517|)52(3|,52(2)dx32|311|,31(3)dy练习练习2.2.点点A(a,6)A(a,6)到直线到直线x+y+1=0 x+y+1=0的距离为的距离为4 4，求求a a的值的值.3.3.求过点求过点A A（1,21,2），且与原点的距离），且与原点的距离等于等于 的直线方程的直线方程 .22练习练习Step1.求出直线求出直线PQ的方程：的方程：Step3.求出距离求出距离 .1 0 x y 2PQ 图1Oyx:50l xy(1,2)P.返回返回Q(2,3)如图如图1，过，过P作作PQl于于Q.Step2.联立直线联立直线PQ，l的方程，求出交点的方程，求
9、出交点Q的坐标的坐标Step2.在在 ；2PR=45RtPQRPRQ中，|sin2PQPRPRQR返回返回图图2OP(1,2)yxQ:50l xy(3,2)如图如图2，在图，在图1的基础上的基础上,过过P作作PR/x轴交直线轴交直线l于点于点R.Step1.求出求出 PR故故 Step2.利用等面积法求出斜边上的高利用等面积法求出斜边上的高.|2 2|22PRPSPQRS返回返回图图3OP(1,2)yxQRS:50l xy（3,2）（1,4）如图如图3，在图，在图2的基础上，过的基础上，过P作作PS/y轴交直线轴交直线l于点于点S.Rt SPRStep1.求出求出 的三条边长的三条边长；|2,
10、|2,|2 2PRPSRS易得易得构造直角三角形求距离（等面积法）已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?方法具有一般性，但计算复杂求点P(3,1)到下列直线的距离转化为两点间距离（定义法）（2）一般情况 A0,B 0点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?两点间的距离公式是什么？（2）；求a的值.转化为两点间距离（定义法）问题:在铁路MN附近P地要修建一条公路使之连接起来，问，如何设计才能使公路最短？已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积又由
11、 得，过P作MN的垂线，设垂足为Q，则垂线段PQ的长度就是P到直线MN的距离如图2，在图1的基础上,过P作PR/x轴交直线l于点R.过P作MN的垂线，设垂足为Q，则垂线段PQ的长度就是P到直线MN的距离又由 得，求出点P到直线l上任一点M(x,y)的距离的平方即求P到MN上的最短距离Step3.求函数的最小值；当且仅当求函数的最小值；当且仅当 时，函时，函数取到最小值数取到最小值；此时；此时 222|(1)(2)PMxy222|2810 2(2)2,PMxxxx R2x|2PMxOy(1,2)P:50l xyM(x,y)返回返回Step1.求出点求出点P到直线到直线l上任一点上任一点M(x,y)的距离的平方的距离的平方 Step2.消元，转化为一元二次函数消元，转化为一元二次函数(5)yx利用2.所以，P到直线l的距离为
