1、抛物线的几何性质抛物线的几何性质(1)1.抛物线抛物线 的焦点坐标是（的焦点坐标是（）。）。(A)(B)(C)(D)4,0(m)4,0(m)41,0(m)41,0(m)0(12mxmyxyoxyoyxoyxo【预习检测】【预习检测】A D2 222210(0)a xb yax bya b 与2.坐标系中，方程坐标系中，方程 的曲线是（的曲线是（）(A)(B)(C)(D)3.动点动点P到直线到直线x+4=0的距离减它到的距离减它到M(2,0)的距的距离之差等于离之差等于2，则，则P的轨迹是的轨迹是_;其方程为其方程为_.抛物线抛物线y2=8x84.过抛物线过抛物线 的焦点作直线交抛物线于的焦点作
2、直线交抛物线于 两点，如果两点，如果 ,那么那么 xy42),(),(2211yxByxA、AB 126x x 目标目标理解并掌握抛物线的简单几何性质理解并掌握抛物线的简单几何性质重点重点抛物线的几何性质与椭圆、双曲线抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的比较的比较难点难点能利用抛物线的性质解决有关问题能利用抛物线的性质解决有关问题范围范围1、由抛物线由抛物线y2=2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质）的几何性质?y yF Fx xOOl l对称性对称性2、(,)x
3、 y关于关于x轴轴对称对称(,)xy即点即点(x,-y)也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2=2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2=2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上,即满足即满足y2=2px，y yF Fx xOOl l顶点顶点3、定义：抛物线与它定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的轴的交点叫做抛物线的的顶点顶点。y2=2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2=2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.y yF Fx xOOl l离心率离心率4、抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距
4、离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.y yF Fx xOOl l图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线
5、的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图.pp,2 pp,2|AB|=2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.拓展拓展(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(4)、抛物线的离心率e是确定的为,(4)、抛物线的离心率e是确定的为,|AB|=|AF|+|BF|(A)(B)(C)(D)|AB|=|AF|+|BF|过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，解法3 F1(1,0),=x1+x2+2=8定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2
6、=2px (p0)中，如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?(6)、抛物线的焦半径为(A)(B)(C)(D)=x1+x2+2=8即点(x,-y)也在抛物线上,则 (-y)2=2px线相交于两点，连接这两点的(A)(B)(C)(D)连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFP2p 通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。xOyFA焦点弦公式：焦点弦公式：),(11yxB
7、),(22yx焦点弦焦点弦7、pxxBA 21归纳归纳:(1)、抛物线可以无限延伸；、抛物线可以无限延伸；(2)、抛物线只有一条对称轴、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；准线；(4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为,、抛物线的通径为、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张越大，抛物线的张口越大口越大.(6)、抛物线的焦半径为、抛物线的焦半径为 (7)、抛物线的焦点弦为、抛物线的焦点弦为|PF|=x0+pxxBA 212p1lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法
8、1 1 F1(1,0),121232 232 2 22 222 2xxyy或2 22 21 12 21 12 2A AB B=(x x-x x)+(y y-y y)=8 81lyx的方程为：2216104yxxxyx 22 =1 164 18AB 22121214kxxx x 解法解法2 2 F1(1,0),1 12 21 1 2 2x x+x x=6 6,x xx x=1 11lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法3 3 F1(1,0),1 12 21 1 2 2x x+x x=6 6,x xx x=1 1|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x
9、2+1)=x1+x2+2=8ABFA1B1P12推广.焦点弦公式 AB=x+x.解法解法4 4ABFA1B1KH 同理同理1cospFB 221cos1cos22 2 8sinsin 45ppABp 1cospFA 2112212203,.|):|.(ypx pFlA x yB xyABxxp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物例例线线于于两两抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问:点点题题1 1 求求证证121222:()()ABAFBFppxxxxp解解21122220322.(),.,.si:nypx pFlA x yB xyplAB已已知知过过抛抛物物线线
10、的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题点点若若 的的倾倾斜斜角角为为则则222121212222222221202112121:,:()tan,tan:,tan,tan()tantansinABpABpyplyxxypyppy ypyypAByyp 解解 若若则则此此时时为为抛抛物物线线的的通通径径结结论论得得证证若若设设直直线线 的的方方程程为为即即代代入入抛抛物物线线方方程程得得211222303,.,.():ypx pFlA x yB xy例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线
11、线 交交抛抛物物线线于于两两点点焦焦点点弦弦中中 通通题题径径最最短短问问 2222221221223:sinsin,sin,:;,;.:pABppABpp 解解 由由问问题题 知知:的的最最小小值值为为即即通通径径最最短短.通通径径的的长长度度通通径径越越大大 抛抛物物线线开开口口越越大大通通径径是是抛抛物物线线的的所所有有焦焦点点弦弦中中通通径径的的性性最最短短的的质质2112222121234204.(),.:.:,ypx pFlA x yB xypx xy yp 例例抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题问问题题已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两
12、点点求求证证212221212221212222244:,()y ypyyxxppy yPx xP 解解 由由问问题题 的的解解法法知知:211222305,.):(ypx pFlA x yB xyAB已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点求求证证例例抛抛物物以以为为直直线线的的焦焦径径的的圆圆点点弦弦与与问问题题问问题题准准线线相相切切111111222:,.ABMA B MA B MAABBAFBFABMM解解 设设的的中中点点为为过过分分别别作作准准线线的的垂垂线线垂垂足足分分别别为为则则结结论论得得证证211222011236,.:.():yp
13、x pFlA x yB xyFAFBp已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的的直直线线 交交例例抛抛物物线线于于两两抛抛物物线线的的焦焦点点弦弦问问题题题题点点问问求求证证222222111111111222220411112:,cos,coscoscos,.:,(),()A BxR SlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpyk xlkypxk pk xp kxpFAFBxx解解法法过过作作 轴轴的的垂垂线线 垂垂足足分分别别为为直直线线 的的倾倾斜斜角角为为同同理理解解法法若若直直线线 的的斜斜率率不不存存在在 结结论论显显然然成成立立若若直直线线 的的斜斜率率存存 设设
14、为为则则222pp222222111111111222220411112:,cos,coscoscos,.:,(),()A BxR SlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpyk xlkypxk pk xp kxpFAFBxx解解法法过过作作 轴轴的的垂垂线线 垂垂足足分分别别为为直直线线 的的倾倾斜斜角角为为同同理理解解法法若若直直线线 的的斜斜率率不不存存在在 结结论论显显然然成成立立若若直直线线 的的斜斜率率存存 设设为为则则222pp2112211113720,.,.(,.):,ypx pFlA x yB xyA BA BAFBF已已知知过过抛抛物物线线的的焦焦点点 的
15、的直直线线 交交抛抛物物线线于于两两点点过过分分别别作作准准例例抛抛物物线线的的焦焦线线的的垂垂点点弦弦问问题题问问题题线线 垂垂足足分分别别为为则则1111111111111190:,/,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFAB FOB FBAFBAFBF 解解同同理理 212(2).y yp212(1).4px x引伸引伸:对于对于y2=2px(p0),过焦点过焦点F的弦为的弦为AB,且且 A(x1,y1),B(x2,y2),则：则：OFxylB(x2,y2)A(x1,y1)122(4)2(sinABxxppAB为为直直线线的的倾倾斜斜角角）112(3).AFBFp1(1)2pAFx212(5)4px x 212(6)y yp 2(2)2pBFx(4)2()ABxABp 抛抛物物线线轴轴径径时时，的的通通1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物的焦点的一条直线和抛物线相交线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则：则：提炼总结提炼总结(7)以以AB为直径的圆与准线为直径的圆与准线l相切相切.A1OFxylB(x2,y2)A(x1,y1)B1122(4)2(sinABxxppAB为为直直线线的的倾倾斜斜角角）
