1、不等式及其性质不等式及其性质第第2课时课时问题1阅读课本第6163页，回答下列问题：整体概览整体概览（1）本节将要研究不等式的性质及其推论以及证明不等式的方法（2）起点是不等式的性质及部分推论，目标是掌握不等式的性质及其推论，正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式进一步提升逻辑推理素养（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？温故知新温故知新复习不等式的性质及两个推论：性质1 如果ab，那么_性质2 如果ab，c0，那么_性质3 如果ab，c0，那么_性质4 如果ab，bc，那么_性质5 ab_acbcacb cacbcac ba温故知新温故知新复习不等式的性质及两
2、个推论：推论1 如果abc，那么_推论2 如果ab，cd，那么_acbacbd问题：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？新知探究新知探究根据不等式性质2与性质4可得：推论3 如果ab0，cd0，那么acbd证明 根据性质2有ab，c0acbc，cd，b0bcbd，再根据性质4可知acbd不等式的性质推论新知探究新知探究很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向不等式的性质推论新知探究新知探究推论4 如果ab0，那么anbn（nN，n1）资源名称：【数学探究】不等式基本性质7使用说明：本资源为不等
3、式基本性质知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源 适用于不等式基本性质的教学，供教师备课和授课使用注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用新知探究新知探究推论4 如果ab0，那么anbn（nN，n1）问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？推论5 如果ab0，那么 ab证明假设 ，即 或 ，ababab根据推论4和二次根式的性质，得ab或ab这都与ab矛盾，因此假设不成立，从而 ab新知探究新知探究【思考】证明推论5中不等式的方法具有什么特征？这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法反证法的一般步骤：假设命题结论不成立（即命题结论反面成立）假设命题结论不成
4、立（即命题结论反面成立）假设假设推理得出的结论推理得出的结论与已知条件与已知条件矛盾矛盾与定理，定义，公理与定理，定义，公理矛盾矛盾假设不成立假设不成立所证命题成立所证命题成立新知探究新知探究例1（1）已知ab0，0cd，求证：（2）设a，b，c，d均为正数，且abcdabcd证明：若abcd，则 abcd证明：（1）因为0cd，根据（2）的结论，得 ，110cd又因为ab0，所以根据推论3可知 ，即 11abcdabcd新知探究新知探究例1（1）已知ab0，0cd，求证：（2）设a，b，c，d均为正数，且abcdabcd证明：若abcd，则 abcd（2）方法一：由题设知abcd0，则 ab
5、cd又abcd则22()()(2)(2)abcdababcdcd2()0abcd，即22()()abcd而 ，故 0ab0cdabcd新知探究新知探究例1（1）已知ab0，0cd，求证：（2）设a，b，c，d均为正数，且abcdabcd证明：若abcd，则 abcd（2）方法二：方法二：因为abcd0，则 ，abcd即22()()abcd又 ，故 0ab0cdabcd所以 22abcd又abcd，所以 ，22ababcdcd这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法反证法的一般步骤：证明假设 ，即 或 ，例3已知m0，求证：证明：若abcd，则 （2）方法一：由题设知ab
6、cd0，则 推论4 如果ab0，那么anbn（nN，n1）法二：要证 ，只需证明 ，（2）方法一：由题设知abcd0，则 又 ，故 这都与ab矛盾，因此假设不成立，从而 资源名称：【数学探究】不等式基本性质7复习不等式的性质及两个推论：性质1 如果ab，那么_推论5 如果ab0，那么 性质1 如果ab，那么_证明：若abcd，则 证明：若abcd，则 资源名称：【数学探究】不等式基本性质7x，y0，1x2y，1y2x新知探究新知探究方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法综合法中，最重要的推理形式为pq，其中p是已知或者已经得出的结论，
7、所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等新知探究新知探究例2你能证明不等式 吗？用综合法证明这个结论方便吗？372 5法一：假设不等式 不成立，则 ，372 5372 5两边平方得，所以 5，102 212021所以2125，该不等式显然不成立，所以原不等式成立新知探究新知探究例2你能证明不等式 吗？用综合法证明这个结论方便吗？372 5法二：要证 ，只需证明 ，372 522(372 5)(展开得10 20，即 5，这只需证明（）252，2 212121即2125因为2125成立，所以 成立372 5新知探究新知探究方法总结：上述这种
8、证明方法通常称为分析法分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件的证明过程也可简写为：因为372 522372 5(372 5)2152125)(，又因为2125成立，所以结论成立新知探究新知探究例3已知m0，求证：1133mm证明：因为m0，所以3m0，从而又因为已知m0，所以结论成立113 13033mmmmm（），归纳小结归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）不等式的性质推论（2）证明不等式的方法作业：作业：教科书P55练习B 4作业布置作业布置目标检测目标检测已知x0，y0，且xy2求证：，中至少有一个小于211xy1xy证明：假设 ，都不小于2，1xy1xy即 2，2，1xy1xyx，y0，1x2y，1y2x2xy2（xy），即xy2，与已知xy2矛盾 ，中至少有一个小于21xy1xy再见再见
