1、1717 勾股定理勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第一课时 勾股定理的逆定理课 时 目 标课 时 目 标1.1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理定理的概念、关系及勾股的概念、关系及勾股数数。2.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理逆定理判断一个三角形是直角三角形。判断一个三角形是直角三角形。情 景 导 入情 景 导 入问题问题1 1 勾股定理勾股定理的内容是什么的内容是什么?如果如果直角三角形的两条直角边长分直角三角形的两条直角边长分别为别为a,ba,b,斜边为斜边为c c,那么那么a
2、a2 2+b b2 2=c c2 2.B B C C A A b bc ca a问题问题2 2 求求以线段以线段a a、b b为直角边的直角三角形的为直角边的直角三角形的斜边斜边c c的长：的长：a a3 3，b b4 4；a a2.52.5，b b6 6；a a4 4，b b7.5.7.5.c c=5=5c c=6.5=6.5c c=8.5=8.5探 究 新 知探 究 新 知同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）（1313）（1212）（1111）（1010）（
3、9 9）打打1313个等距的结个等距的结,把一根绳子分成等长的把一根绳子分成等长的1212段段,然后然后以以3 3段，段，4 4段，段，5 5段的长度为边长，用木桩钉成一个三段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是角形，其中一个角便是直角直角.探 究 新 知探 究 新 知勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理下面有三组数分别是一个三角形的三边长下面有三组数分别是一个三角形的三边长a a,b b,c c:5,12,13;5,12,13;7,24,25;7,24,25;8,15,178,15,17.问题问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量
4、一量，它们都是直角三角形吗？一量，它们都是直角三角形吗？探 究 新 知探 究 新 知0180150120906030724255131217815探 究 新 知探 究 新 知下面有三组数分别是一个三角形的三边长下面有三组数分别是一个三角形的三边长a a,b b,c c:5,12,13;5,12,13;7,24,25;7,24,25;8,15,17.8,15,17.问题问题1 1 这这三组数在数量关系上有什么相同点？三组数在数量关系上有什么相同点？5,12,135,12,13满足满足5 52 2+12+122 2=13=132 2,7,24,25 7,24,25满足满足7 72 2+24+242
5、 2=25=252 2,8,15,17 8,15,17满足满足8 82 2+15+152 2=17=172 2.问题问题2 2 古古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？332 2+4+42 2=5=52 2，满足满足.a a2 2+b b2 2=c c2 2探 究 新 知探 究 新 知由上面几个例子，我们猜想：由上面几个例子，我们猜想：命题命题2 2 如果如果三角形的三边长三角形的三边长a a,b b,c c满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形.探 究 新 知探 究 新 知ABCABC A
6、BC ABC？CC是直角是直角ABCABC是直角三角形是直角三角形A AB BC Ca a b b c c 证证一证一证:已知已知：如图，：如图，ABCABC的三边长的三边长a a，b b，c c，满足，满足a a2 2+b b2 2=c c2 2 求证求证：ABCABC是直角三角形是直角三角形构造两直角边构造两直角边分别为分别为a,ba,b的的RtRtABCABC探 究 新 知探 究 新 知证明：作证明：作RtRtABCABC，使，使C C=90=90，ACAC=b b，BCBC=a a，则，则ABCABC ABCABC(SSS)(SSS)，C=C=C C=90=90，即，即ABCABC是直
7、角三角形是直角三角形.22222ABBCACab .222abc，22.A BcA Bc ，ABCA B C在和中A CA CB CB CA BA B ，C B aAbc探 究 新 知探 究 新 知勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果如果三角形的三边长三角形的三边长a a、b b、c c满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2那么那么这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.A AC CB Ba ab bc c勾股定理勾股定理的逆定理是直角三角形的的逆定理是直角三角形的判定定理判定定理，即已知三角形的，即已知三角形的三边长，且满足两条三边长，且满足两条较小边较小边的平方和等于的平
8、方和等于最长边最长边的平方，即可的平方，即可判断此三角形为直角三角形判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角最长边所对应的角为直角.探 究 新 知探 究 新 知例例1 1 下面下面以以a a,b b,c c为边长的三角形是不是直角三角形？为边长的三角形是不是直角三角形？如果是如果是,那么哪一个角是直角？那么哪一个角是直角？（1 1）a a=15=15，b b=8 =8 ，c c=17=17;（2 2）a a=13=13，b b=14=14，c c=15=15.解解：(1)15(1)152 2+8+82 2=289=289，17172 2=289=289，15152 2+8+82 2=
9、17=172 2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且且C C是直角是直角.探 究 新 知探 究 新 知根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方最大边长的平方.(2)13(2)132 2+14+142 2=365=365，15152 2=225=225，13132 2+14+142 215152 2，不符合勾股定理的逆定理，不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形这个三角形不是直角
10、三角形.探 究 新 知探 究 新 知【变式题【变式题1 1】若若ABCABC的三边的三边a a,b b,c c满足满足 a a:b b:c c=3:4:5=3:4:5，是判，是判断断ABCABC的形状的形状.解：设解：设a a=3=3k k,b b=4=4k k,c c=5=5k k(k k0),0),(3(3k k)2 2+(4+(4k k)2 2=25=25k k2 2,(5,(5k k)2 2=25=25k k2 2,(3(3k k)2 2+(4+(4k k)2 2=(5=(5k k)2 2,ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且C C是直角是直角.探 究 新 知探 究 新 知已知
11、三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.探 究 新 知探 究 新 知【变式题【变式题2 2】(1)1)若若ABCABC的三边的三边a a,b b,c c，且，且a a+b b=4,=4,abab=1,=1,c c=，试说明试说明ABCABC是直角三角形是直角三角形.14解：解：a a
12、+b b=4,=4,abab=1,=1,a a2 2+b b2 2=(=(a a+b b)2 2-2-2abab=16-2=14.=16-2=14.又又c c2 2=14,=14,a a2 2+b b2 2=c c2 2,ABCABC是直角三角形是直角三角形.探 究 新 知探 究 新 知(2)(2)若若ABCABC的三边的三边 a a,b b,c c 满足满足a a2 2+b b2 2+c c2 2+50=6+50=6a a+8+8b b+10+10c c.试判断试判断ABCABC的形状的形状.解：解：a a2 2+b b2 2+c c2 2+50=6+50=6a a+8+8b b+10+10
13、c c，a a2 26 6a a+9+9+b b2 28 8b b+16+16+c c2 21010c c+2 25=5=0.0.即即 (a a3)3)+(b b4)4)+(c c5)5)=0.0.a a=3,=3,b b=4,=4,c c=5=5，即即 a a2 2+b b2 2=c c2 2.ABCABC是直角三角形是直角三角形.探 究 新 知探 究 新 知例例2 2 如如图，图，在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F F是是CDCD的中点，的中点，E E为为BCBC上一点上一点，且，且CECE CBCB，试判断，试判断AFAF与与EFEF的位置关系，的位置关系，并说明理由并说明理由1
14、4探 究 新 知探 究 新 知解解：AFAFEFEF.理由如下：理由如下：设正方形的边长为设正方形的边长为4 4a a,则则ECECa a，BEBE3 3a a，CFCFDFDF2 2a a.在在RtRtABEABE中，得中，得AEAE2 2ABAB2 2BEBE2 21616a a2 29 9a a2 22525a a2 2.在在RtRtCEFCEF中，得中，得EFEF2 2CECE2 2CFCF2 2a a2 24 4a a2 25 5a a2 2.在在RtRtADFADF中，得中，得AFAF2 2ADAD2 2DFDF2 21616a a2 24 4a a2 22020a a2 2.在在
15、AEFAEF中，中，AEAE2 2EFEF2 2AFAF2 2，AEFAEF为直角三角形，且为直角三角形，且AEAE为斜边为斜边AFEAFE9090，即，即AFAFEFEF.巩 固 练 习巩 固 练 习1.1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A A2 2，3 3，4 4 B B3 3，4 4，6 6 C C5 5，1212，13 13 D D4 4，6 6，7 7 C C2.2.一个三角形的三边的长分别是一个三角形的三边的长分别是3 3，4 4，5 5，则这个，则这个三角形最长边上的三角形最长边上的高是（高是（）A A4 4 B B3 3 C C2
16、.52.5 D D2.42.4D D3.3.若若ABCABC的三边的三边a a、b b、c c满足满足(a a-b b)()(a a2 2+b b2 2-c c2 2)=0)=0，则则ABCABC是是_._.等腰三角形或等腰三角形或直角三角形直角三角形探 究 新 知探 究 新 知 如果如果三角形的三边长三角形的三边长a a，b b，c c满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2 那么那么这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2的三个正整数，称为的三个正整数，称为勾股数勾股数.勾股数勾股数探 究 新 知探 究 新 知常见勾股数：常见勾
17、股数：3 3，4 4，5 5；5 5，1212，1313；6 6，8 8，1010；7 7，2424，2525；8 8，1515，1717；9 9，4040，4141；1010，2424，2626等等等等.勾股数拓展性质：勾股数拓展性质：一一组勾股数，都扩大相同倍数组勾股数，都扩大相同倍数k k(k k为正整数为正整数)，得到，得到一组新数，这组数同样是勾股数一组新数，这组数同样是勾股数.探 究 新 知探 究 新 知下列下列各组数是勾股数的各组数是勾股数的是是()A.6A.6，8 8，10 10 B.7B.7，8 8，9 9C.0.3C.0.3，0.40.4，0.5 0.5 D.5D.52 2
18、，12122 2，13132 2A A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可他两边的平方和即可.探 究 新 知探 究 新 知命题命题1 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a,ba,b,斜边为斜边为c c,那么那么a a2 2+b b2 2=c c2 2.命题命题2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a、b b、c c满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2,那么这个三角形是直角三角形
19、那么这个三角形是直角三角形.前面我们学习了两个命题，分别为：前面我们学习了两个命题，分别为：互逆命题与互逆定理互逆命题与互逆定理探 究 新 知探 究 新 知命题命题1 1：直角三角形：直角三角形a a2 2+b+b2 2=c=c2 2命题命题2 2：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2直角三角形直角三角形题设题设结论结论它们它们是是题设和结论正好相反的两个命题题设和结论正好相反的两个命题.问题问题1 1 两两个命题的条件和结论分别是什么？个命题的条件和结论分别是什么？问题问题2 2 两两个命题的条件和结论有何联系？个命题的条件和结论有何联系？探 究 新 知探 究 新 知一般一般地，原命题成
20、立时，它的逆命题既可能成立，也可能地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立不成立.如果一个如果一个定理定理的逆命题经过的逆命题经过证明证明是是正确正确的，那么的，那么它也是一个它也是一个定理定理，我们称这两个定理，我们称这两个定理互为逆定理互为逆定理.勾股定勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理理与勾股定理的逆定理为互逆定理.题题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做个叫做原命题原命题，另一个叫做原命题的，另一个叫做原命题的逆命题逆命题.归纳总结归纳总结探 究 新 知探 究 新 知说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题
21、,这些逆命题成立吗？这些逆命题成立吗？(1)(1)两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，内错角相等；(2)(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；内错角相等，两条直线平行内错角相等，两条直线平行.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.成立成立不成立不成立探 究 新 知探 究 新 知(3)3)全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应角相等；(4)(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.对应角相等的三角形全对应角相等的三角形全等等.在角平分线上的点到
22、角的两边距离相等在角平分线上的点到角的两边距离相等.不成立不成立成立成立巩 固 练 习巩 固 练 习1.1.下列各组数是勾股数的下列各组数是勾股数的是是()A.3 A.3，4 4，7 7 B.5B.5，1212，13 13 C.1.5 C.1.5，2 2，2.5 2.5 D.1D.1，3 3，5 52.2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则则得到的三得到的三角形角形()A.A.是直角三角形是直角三角形 B.B.可能是锐角三角形可能是锐角三角形C.C.可能是钝角三角形可能是钝角三角形 D.D.不可能是直角三角形不可能是直角三角形B BA A巩 固 练 习巩
23、固 练 习3.3.在在ABCABC中中，A A,B,B,C C的对边分别的对边分别a,b,ca,b,c.若若C-C-B=B=A,A,则则ABCABC是直角三角形；是直角三角形；若若c c2 2=b=b2 2-a-a2 2,则则ABCABC是直角三角形是直角三角形,且且C=C=9090；若若(c c+a a)()(c c-a a)=)=b b2 2,则则ABCABC是直角三角形是直角三角形;若若A A：B B：C=C=5 5：2 2：3 3，则则ABCABC是直角三角形是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（以上命题中的假命题个数是（）A.1A.1个个 B.2 B.2个个 C.3C.3个个 D.
24、4D.4个个A A 巩 固 练 习巩 固 练 习4.4.已知已知a a、b b、c c是是ABCABC三边的长，且满足关系式三边的长，且满足关系式 ，则则ABCABC的的形状是形状是 _ _2220cabca+-+-=等腰直角三角形等腰直角三角形5.(1)5.(1)一个三角形的三边长分别为一个三角形的三边长分别为15cm15cm、20cm20cm、2525cmcm，则这个三角形最长边上的高是，则这个三角形最长边上的高是_cmcm;1212(2)(2)“等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等”的逆定理为的逆定理为_有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形巩 固 练 习巩
25、 固 练 习6.6.已知已知ABCABC，AB=n-AB=n-1 1，BC=BC=2 2n n，AC=n+AC=n+1(1(n n为大于为大于1 1的正整数的正整数).).试问试问ABCABC是直角三角形吗？若是，哪一是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由条边所对的角是直角？请说明理由.解：解：AB+BC=AB+BC=(n n-1)+(2-1)+(2n n)=n n4 4-2-2n n+1+4+1+4n n=n n4 4+2+2n n+1+1=(=(n n+1)+1)=ACAC，ABCABC直角三角形，边直角三角形，边ACAC所对的角是直角所对的角是直角.巩 固 练 习巩 固
26、 练 习7 7.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABAB=8=8，BCBC=6=6，ACAC=10=10，ADAD=CDCD=,求四边形求四边形ABCDABCD 的面积的面积.5 2巩 固 练 习巩 固 练 习222268100ABBC解：，+=+=2222(5 2)(5 2)100ADDC，+=+=2100AC，=ABCABC是直角三角形且是直角三角形且B B是直角是直角.222ADDCAC，+=ADC ADC是直角三角形且是直角三角形且 D D是直角，是直角，S S 四边形四边形 ABCDABCD=11685 25 249.22创+创=222ABBCAC，+=课 堂 小 结课 堂 小 结勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理内 容内 容作 用作 用从三边数量关系判定一个三从三边数量关系判定一个三角形角形是否是否是直角形三角形是直角形三角形.如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a、b b、c c满足满足a a2 2+b b2 2=c c2 2，那么这个三角，那么这个三角形是直角三角形形是直角三角形.注 意注 意最长边不一定是最长边不一定是c c，C C也也不一定是直角不一定是直角.勾股数一定是正整数勾股数一定是正整数
