1、1616 二次根式二次根式16.3 二次根式的加减第二课时 二次根式的混合运算课 时 目 标课 时 目 标1.1.掌握二次根式的混合运算的运算掌握二次根式的混合运算的运算法则法则。2.2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。的运算。情 景 导 入情 景 导 入问题问题1 1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么法则法则分别是什么?问题问题2 2 多项式与单项式的除法法则是什么多项式与单项式的除法法则是什么?m m(a a+b b+c c)=)=mama+mbmb+mcmc；(m+nm+n)()(a
2、 a+b b)=)=mama+mbmb+na+nbna+nb(mama+mbmb+mcmc)m m=a a+b b+c c探 究 新 知探 究 新 知单多单多 分配律分配律 转化转化 前面两个问题的思路是：前面两个问题的思路是：思考思考 若若把字母把字母a a,b b,c c,m m都用二次根式代替都用二次根式代替(每个同学每个同学任选一组任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？，然后对比归纳，你们发现了什么？单单单单 探 究 新 知探 究 新 知二次根式的混合运算及应用二次根式的混合运算及应用二二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体
3、现在：体现在：运算律、运算顺序、乘法法则运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用仍然适用.例例1 1 计算：计算：18+362423 622（）（）；（）（）；解解：18+3686+36（）（）4 3+3 2.24 23 62 24 22 23 62 2（）（）323.2探 究 新 知探 究 新 知3(23)(25).（）23(23)(25)25 2+3 215（）（）解：解：132 2.此处类比此处类比“多项式多项式多项式多项式”即即(x x+a a)()(x x+b b)=)=x x2 2+(+(a a+b b)x x+abab.二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定二次根式的混合运算，先
4、要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.探 究 新 知探 究 新 知(1)32327+63（）；06(2)20163+312.2（）-633 336 解：解：(1)(1)原式原式3 3.(2)(2)原式原式1+2 333 32.【变式题】【变式题】计算：计算：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数掉绝对值后，得到的数应该为正数.探 究 新 知探 究 新 知例例2
5、 2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有其中有一段路基的横断面设计为上底宽一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽下底宽 ，高高 的梯形，这段路基长的梯形，这段路基长 500 m500 m，那么这段路基的土石，那么这段路基的土石方方 (即路基的体积即路基的体积,其中路基的体积其中路基的体积=路基横断面面积路路基横断面面积路基的长度基的长度)为多少立方米呢？为多少立方米呢？62m42m6m4 2m6m6 2m探 究 新 知探 究 新 知解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为
6、：长度，所以这段路基的土石方为：14 26 265002 23 2650025 2650035000 3 m.答：这段路基的土石方为答：这段路基的土石方为35000 3m.巩 固 练 习巩 固 练 习计算计算：3 1 6 2 2 2+2 1 28-()()；().().3=6228 -3=6 228 -.3=2 323=32 -2 2+2 1 2 ()()-=2 2 2+222 -=2 2 2+2 2 -.=2 -3 1 6 28()()-解：解：探 究 新 知探 究 新 知利用乘法公式进行二次根式的运算利用乘法公式进行二次根式的运算问题问题1 1 整式整式乘法运算中的乘法公式有哪些乘法运算中
7、的乘法公式有哪些?平方差公式：平方差公式：(a+ba+b)()(a-ba-b)=a=a2 2-b-b2 2;完全平方公式：完全平方公式：(a+ba+b)2 2=a=a2 2+2 2ab+bab+b2 2;(a-ba-b)2 2=a=a2 2-2 2ab+bab+b2 2.问题问题2 2 整式整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?整式的乘法公整式的乘法公式就是多项式式就是多项式多项式多项式前面我们已经前面我们已经知道二次根式知道二次根式运算类比整式运算类比整式运算运算.探 究 新 知探 究 新 知例例3 3 计算：计算：21(53)(53);(2)(32)
8、.（）2253（）（）解解：1(53)(53)（）532.2(2)(32)223232+2（）34 3+474 3.探 究 新 知探 究 新 知(3)3 248184 3;32(4).aa babaabab解解：30.3 24 33 24 3(3)3 248184 3223 24 3.baabaababababaab32(4)aa babaabab探 究 新 知探 究 新 知进行进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，定合适的运算方法，同
9、时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算因式分解等来简化运算.探 究 新 知探 究 新 知【变式题】【变式题】计算：计算：2018201812 232 23;（）（）（）20172019322-3232.2（）（）（）解：解：(1)(1)原式原式20182 232 2+3=（）（）20181=（）1.=(2)(2)原式原式201723 2-323 2322（）（）（）201717+4 33（）7+4 337+3 3.巩 固 练 习巩 固 练 习计算计算：2(1)2 2-1(2)2-35723.；(2)2-35723 2(1)2 2-1 ：解解 2-32357 57 222 21 22 21
10、94 2.57.探 究 新 知探 究 新 知例例3 3 已知已知 试试求求x x2 2+2+2xyxy+y y2 2的值的值.3 1,3 1,xy解解：x x2 2+2+2xyxy+y y2 2=（x x+y y)2 2把把 代入代入上式得上式得3 1,3 1,xy原式原式=23+1+31（）（）22 312.（）求代数式的值求代数式的值探 究 新 知探 究 新 知解解:，x x3 3y y+xyxy3 3=xyxy(x x2 2+y y2 2)=)=xyxy(x x+y y)2 2-2-2xyxy 32,32xy32322 3,xy 3232321,xy 212 32 110.32,32xy
11、【变式题】【变式题】已知已知 ，求求x x3 3y y+xyxy3 3.探 究 新 知探 究 新 知用整体代入法求代数式值的方法：求关于用整体代入法求代数式值的方法：求关于x x,y y的对称式的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，的值，一般先求一般先求x x+y y,xyxy,x x-y y,等等的值，然后将所求代数式的值，然后将所求代数式适当变形成知含适当变形成知含x x+y y,xyxy,x x-y y,等等式子，再代入求值式子，再代入求值.xyxy探 究 新 知探 究 新 知在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎在前面我们
12、学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如样去掉分母的二次根式的方法，比如:575777357思考思考 如果如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：式的式子，如：等等，该怎样去掉分母中，该怎样去掉分母中的二次根式呢？的二次根式呢？21,32拓展探究拓展探究探 究 新 知探 究 新 知例例4 4 计算计算:141;2.3251（）（）解解:1321132.323232（）4514514251.4515151（）探 究 新 知探 究 新 知分母分母形如形如 的的式子，分子、分母同乘以式子，分子、分母同乘以 的的式子，构成平
13、方差公式，可以使分式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号母不含根号.m an bm an b探 究 新 知探 究 新 知【变式题】【变式题】已知已知 ,求求 .11,5252ab222ab解：解：15252,525252a15252,525252b222222ababab2525225252220222 5.解决二次根式解决二次根式的化简求值问的化简求值问题时，先化简题时，先化简已知条件，再已知条件，再用乘法公式变用乘法公式变形、代入求值形、代入求值即可即可.巩 固 练 习巩 固 练 习已知已知 的整数部分是的整数部分是a a,小数部分是小数部分是b b,求求a a2 2-b-b2 2的值的
14、值.10解：解：31043,103.ab22ab6 1010.223(103)3103310310610巩 固 练 习巩 固 练 习1.1.下列计算中正确的是（下列计算中正确的是（）1A.3(3)33B.(12-27)31 1C.32222D.3(23)62 3B B2.2.计算：计算：22+324.（）5 5 3.3.设设 则则a a b b(填填“”“”或或“=”）.,1103103ab，=巩 固 练 习巩 固 练 习4.4.计算计算：;11(1)3222(2)232-3 ；(1)3222 解解：4 222 5 22 5.11(2)23 2-3 2-32323 2-323 2-3 423
15、2-3 2244.2-3 巩 固 练 习巩 固 练 习(3)333-3 ；(4)3102-5 ;22=33 =93=6解：原式.201(5)313+1+-2+83（）（）（）.29+1+2 2解：原式解：原式6+2 2.巩 固 练 习巩 固 练 习5.5.在一个边长为在一个边长为 cmcm的正方形内部，挖的正方形内部，挖去一个边长为去一个边长为 cmcm的正方形，求剩余部的正方形，求剩余部分的面积分的面积.(6 155 5)(6 155 5)解：由题意得解：由题意得22(6 155 5)(6 155 5)即剩余部分的面积是即剩余部分的面积是2600 3cm.(6 155 5)(6 155 5)
16、(6 155 5)(6 155 5)212 15 10 5600 3(cm).6.(1)6.(1)已知已知 ，求，求 的的值；值；31x 223xx巩 固 练 习巩 固 练 习解：解：x x2 2-2-2x x-3=(-3=(x x-3)(-3)(x x+1)+1)31331 1 32321.(2)(2)已知已知 ，求求 的的值值.5151,22xy22xxyy解：解：51515,22xy51511,22xy2222514.xxyyxyxy 巩 固 练 习巩 固 练 习6.6.阅读下列材料，然后回答问题：阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式在进行类似于二次根式 的运算时，通常有的运
17、算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：如下两种方法将其进一步化简：231方法一：方法一：2231231231;31313131方法二：方法二：313123 131.313131巩 固 练 习巩 固 练 习(1)(1)请用两种不同的方法化简：请用两种不同的方法化简：(2)(2)化简：化简：2;53535325353.53535322253253253;53535353解：解：(1)(1)1111.42648620182016巩 固 练 习巩 固 练 习14264862018201621111(2)42648620182016 120182.2课 堂 小 结课 堂 小 结二 次 根二 次 根式 混 合式 混 合运算运算乘法公式乘法公式化简化简求值求值分 母 有 理 化分 母 有 理 化化简已知条件和所求代数式化简已知条件和所求代数式(a a+b b)()(a a-b b)=)=a a2 2-b b2 2(a a+b b)2 2=a a2 2+2+2abab+b b2 2(a a-b b)2 2=a a2 2-2-2abab+b b2 2(x x+a a)()(x x+b b)=)=x x2 2+(+(a a+b b)x x+abab
