1、 第 1 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 11Axx 剟，则(AN ) A.1 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 2 （5 分）已知i是虚数单位，1(1)0()aiaR，复数2zai，则 1 | ( z ) A 1 5 B5 C 5 5 D5 3 （5 分）函数( )
2、yf x是R上的奇函数，当0x 时，( )2xf x ，则当0x 时，( )(f x ) A2x B2 x C2 x D2x 4 （5 分）已知aR，则“01a”是“xR ， 2 210axax ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知向量(1,1)a ，( 1,3)b ，(2,1)c ，且()/ /abc，则( ) A3 B3 C 1 7 D 1 7 6 （5 分）将曲线( )cos2yf xx上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 到的曲线向右平移 4 个单位长度，得到曲线cos2yx，则()( 6 f ) A1
3、 B1 C3 D3 7 （5 分）已知 ,1 ( ) (2),1 lnx x f x fxk x ，若函数( )1yf x恰有一个零点，则实数k的取 值范围是( ) A(1,) B1，) C(,1) D(，1 8 （5 分）已知直线 1: 0()lkxykR与直线 2: 220lxkyk相交于点A，点B是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|AB的最大值为( ) A3 2 B5 2 C52 2 D32 2 第 2 页（共 25 页） 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中
4、，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：)cm如下面 的茎叶图所示，则下列结论正确的是( ) A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l设 l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平 分线交x轴于点Q，过Q作QMPE于M，
5、过Q作QNPE交线段EP的延长线于点N， 则( ) A| |PEPF B| |PFQF C| |PNMF D| |PNKF 11 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，N为底面ABCD的中心，P为线段 11 AD上的动点 （不包括两个端点） ，M为线段AP的中点，则( ) ACM与PN是异面直线 第 3 页（共 25 页） BCMPN C平面PAN 平面 11 BDD B D过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 12 （5 分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正 东12km处有一个城镇 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h， 步
6、行的速度为5/km h， 时间t（单位：)h表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：)km表示此人将船停在海岸处距 P点的距离设 2 4uxx， 2 4vxx，则( ) A函数( )vf u为减函数 B15432tuv C当1.5x 时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D当4x 时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱下面我们一起来看好 玩的数学中谈老的一
7、篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃及人喜 欢使用分子为 1 的分数（称为埃及分数） 如用两个埃及分数 1 3 与 1 15 的和表示 2 5 等从 1 1 111 , , 2 3 4100 101 这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个，使得它们的和为 1，这三个分数 是 （按照从大到小的顺序排列） 14（5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 角的顶点是O， 始边是x轴的非负半轴，02， 点(1tan,1tan) 1212 P 是终边上一点，则的值是 15 （5 分）已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，过F作C的渐近线的垂线 第 4
8、页（共 25 页） FD，D为垂足，且 3 |( 2 FDOFO为坐标原点） ，则C的离心率为 16 （5 分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PCBC，ABBC，22ABBC， 5PC ， 则PA与平面ABC所成角的大小为 ； 三棱锥PABC外接球的表面积是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在3( cos)sinbCacB；22 cosacbC；sin3 sin 2 AC bAa 这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 在A
9、BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，2 3b ，4ac， 求ABC的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知等比数列 n a满足 1 a， 2 a， 31 aa成等差数列，且 134 a aa；等差数列 n b 的前n项和 2 (1)log 2 n n na S 求： （1） n a， n b； （2）数列 nn a b的前项和 n T 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，2 3AD ，3AB ，3AP ，/ /ADBC，AD 平面PAB，90APB，点E满足 21 33 PEPAPB （1）证明：PEDC； （2）求二面角
10、APDE的余弦值 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市” ，吸引了大批投资 商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见 证现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是否盈利 是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率为(01)pp，若盈利则 盈利投资额的40%，否则盈利额为 0 项目二：天鹅湖
11、国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区据市 场调研， 投资到该项目上， 到 2020 年底可能盈利投资额的50%， 也可能亏损投资额的30%， 且这两种情况发生的概率分别为p和1p （1）若投资项目一，记 1 X为盈利的天坑院的个数，求 1 ()E X（用p表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 2 X百万元，求 2 ()E X（用p表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并 说明理由 21 （12 分） 设中心在原点O， 焦点在x轴上的椭圆C过点 1 ( 3, ) 2 A，F为C的右焦点，F 的方程为
12、 22 11 2 30 4 xyx （1）求C的方程； （2）若直线:(3)(0)l yk xk与O相切，与F交于M、N两点，与C交于P、Q两 点，其中M、P在第一象限，记O的面积为( )S k，求(|)( )NQMPS k取最大值时， 直线l的方程 22 （12 分）已知函数( )(2)(0f xlnxa x，0)a ，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处 第 6 页（共 25 页） 的切线在y轴上的截距为 2 3 3 ln （1）求a； （2）讨论函数( )( )2 (0)g xf xx x和 2 ( )( )(0) 21 x h xf xx x 的单调性； （3）设 1 2 5 a
13、， 1 () nn af a ，求证： 1 521 20(2) 2 n n n n a 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 11Axx 剟，则(AN ) A.1 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 【解答】解：集合 | 11Ax
14、x 剟， 0AN，1 故选：B 2 （5 分）已知i是虚数单位，1(1)0()aiaR，复数2zai，则 1 | ( z ) A 1 5 B5 C 5 5 D5 【解答】解：因为：i是虚数单位，1(1)0()aiaR， 所以：101aa ； 12zi ，则 11125 | | | 12(12 )(12 )5 i ziii ； 故选：C 3 （5 分）函数( )yf x是R上的奇函数，当0x 时，( )2xf x ，则当0x 时，( )(f x ) A2x B2 x C2 x D2x 【解答】解：0x 时，0x ，0x 时，( )2xf x ， 当0x 时()2 x fx ， ( )f x是R上
15、的奇函数， 当0x 时，( )()2 x f xfx 故选：C 4 （5 分）已知aR，则“01a”是“xR ， 2 210axax ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 8 页（共 25 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解：“xR ， 2 210axax ” 2 0 440 a aa ， 或0a ，10， 解得01a “01a”是“xR ， 2 210axax ”的充分不必要条件 故选：A 5 （5 分）已知向量(1,1)a ，( 1,3)b ，(2,1)c ，且()/ /abc，则( ) A3 B3 C 1 7 D 1 7 【解答】解：因为(1,1 3 )
16、ab，又因为()/ /abc， 所以1 (1)2 (1 3 )710 ，解得 1 7 ， 故选：C 6 （5 分）将曲线( )cos2yf xx上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 到的曲线向右平移 4 个单位长度，得到曲线cos2yx，则()( 6 f ) A1 B1 C3 D3 【解答】解：曲线( )cos2yf xx上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到： 1 ()cos 2 yfxx， 再把得到的曲线向右平移 4 个单位长度，得到： 1 ()cos()cos2 284 yfxxx ， 所以 22 1cossin ()2(cossin )2cos() 28
17、42 (cossin ) 2 xx fxxxx xx 设 1 28 xt ，解得2 4 xt ， 所以( )2cos(2)2cos(2)2sin2 442 f tttt 所以( )2sin2f xx 所以 3 ( )2()3 62 f ， 故选：D 7 （5 分）已知 ,1 ( ) (2),1 lnx x f x fxk x ，若函数( )1yf x恰有一个零点，则实数k的取 值范围是( ) 第 9 页（共 25 页） A(1,) B1，) C(,1) D(，1 【解答】解：由 ,1 ( ) (2),1 lnx x f x fxk x ， 可得( )(2)f xfx为关于1x 对称，画出1x的
18、图象，单调递增的， 由对称得(2)fx的图象单调递减， 而(2)fxk是(2)fx的图象上下平行移动得到，( )1yf x恰有一个零点即是( )1f x 的根， 所以可得1k， 故选：B 8 （5 分）已知直线 1: 0()lkxykR与直线 2: 220lxkyk相交于点A，点B是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|AB的最大值为( ) A3 2 B5 2 C52 2 D32 2 【解答】 解： 因为线 1: 0lkxy恒过定点(0,0)O， 直线 2: 220lxkyk恒过定点(2,2)C 且 12 ll， 故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程 22 :(1)(1)2Dx
19、y， 要 求|AB的 最 大 值 ， 转 化 为 在 22 :(1)(1)2Dxy上 找 一 点A， 在 22 :(2)(3)2Exy上找一点B，使AB最大， 根据题意可得两圆的圆心距 22 (12)(1 3)5， 则|52 2 max AB 故选：C 第 10 页（共 25 页） 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分
20、）某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位：)cm如下面 的茎叶图所示，则下列结论正确的是( ) A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 【解答】解：A、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差 173 16112，故本选项符合题意； B、男生身高的数据在167 192之间，女生身高数据在161173之间，所以男生身高的均 值较大，故本选项符合题意； C、抽取的 10 名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为 165 和 167，所 以中位数是 166，故本选项不符合题意；
21、D、抽取的学生中，男生身高的数据在167 192之间，女生身高数据在161173之间，男 生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意 故选：AB 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l设 l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平 分线交x轴于点Q，过Q作QMPE于M，过Q作QNPE交线段EP的延长线于点N， 则( ) A| |PEPF B| |PFQF C| |PNMF D| |PNKF 第 11 页（共 25 页） 【解答】 解： 由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离， 所以由
22、题意可得| |PFPE， 即A正确； PQ为EPF的外角平分线，所以FPQNPQ， 又/ /EPFQ，所以NPQPQF， 所以FPQPQF，所以| |PFQF，所以B正确； 连接EF，由上面可得：PEPFQF，/ /PEFQ，所以四边形EFQP为平行四边形，所 以EFPQ，/ /EFPQ 所以EFKPQFQPN，在EFK中，cosKFEFEFK， PQN中，cosPNPQQPN， 所以FKPN；所以D正确； C中，若PNMF，而PMPN，所以M是PF的中点，PMPF，所以PQFQ，由 上面可知PQF为等边三角形，即60PFQ，而P为抛物线上任意一点，所以PFQ不 一定为60，所以C不正确； 故
23、选：ABD 11 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，N为底面ABCD的中心，P为线段 11 AD上的动点 （不包括两个端点） ，M为线段AP的中点，则( ) 第 12 页（共 25 页） ACM与PN是异面直线 BCMPN C平面PAN 平面 11 BDD B D过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【解答】解：AANCPM共面，因此CM与PN不是异面直线，不正确； B2CM ACAB， 22 1111 266 ()2 222 PNANAAAAAAABAB，因此 CMPN，因此正确 CANBD， 1 ANBB， 1 BDBBB，AN平面 11 BDD B，平面PAN
24、平面 11 BDD B， 因此正确； D过P，A，C三点的正方体的截面与 11 C D相交于点Q，则/ /ACPQ，且PQAC，因 此一定是等腰梯形，正确 故选：BCD 12 （5 分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正 东12km处有一个城镇 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h， 步行的速度为5/km h， 时间t（单位：)h表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：)km表示此人将船停在海岸处距 P点的距离设 2 4uxx， 2 4vxx，则( ) 第 13 页（共 25 页） A函数( )vf u为减函数 B15432tuv C当1.5x 时，此人
25、从小岛到城镇花费的时间最少 D当4x 时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 【解答】解： 2 4uxx， 2 4vxx， 22 (4)(4)4uvxxxx， 4 v u ，是减函数，故选项A正确， 由题意可知： 2 412 35 xx t ，012x剟， 2222 15543(12)54336(4)(444 )36436txxxxxxxxuv ， 154 36tuv，故选项B错误， 2 412 35 xx t ，012x剟， 2 22 121534 35 24154 xxx t xx ， 令0t 得， 3 2 x ， 当 3 0, 2 x 时 ，0t，( )t x单调递减；当 3 ( ,1
26、2) 2 x时，0t ，( )t x单调递增， 当 3 2 x 时，( )t x最小，且最短时间为 44 15 h，故选项C正确， 当4x 时， 2 58 3 35 t ，故选项D错误， 故选：AC 第 14 页（共 25 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的数学百草园 、 好玩的数学 、 故事中的数学等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱下面我们一起来看好 玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数 ：文章首先告诉我们，古埃及人喜 欢使用分子为 1 的分数（称
27、为埃及分数） 如用两个埃及分数 1 3 与 1 15 的和表示 2 5 等从 1 1 111 , , 2 3 4100 101 这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个，使得它们的和为 1，这三个分数 是 1 2 ， 1 3 ， 1 6 （按照从大到小的顺序排列） 【解答】解： 111 1 236 ， 这三个分数是： 1 1 1 , 2 3 6 ， 故答案为： 1 1 1 , 2 3 6 14（5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 角的顶点是O， 始边是x轴的非负半轴，02， 点(1tan,1tan) 1212 P 是终边上一点，则的值是 6 【解答】解：点(1tan,1tan) 1212
28、P 是终边上一点， 2 1sin1tancossin(cossin) 3 61212121212 tan 3 1tancossin(cossin)(cossin)cos 121212121212126 ， 0 126 ，可得 3 tantan 1263 ，可得 3 1tan10 123 ， 又02，可得0 12 ， 6 故答案为： 6 15 （5 分）已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，过F作C的渐近线的垂线 FD，D为垂足，且 3 |( 2 FDOFO为坐标原点） ，则C的离心率为 2 【解答】解：如图， F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy C
29、ab ab 的右焦点，FD与直线 b yx a 垂直，垂足为D， 第 15 页（共 25 页） 3 | 2 FDOF，则60DOF，可得tan603 b a ， 得 2 2 3 b a ， 22 2 132 cab e aa 故答案是：2 16 （5 分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PCBC，ABBC，22ABBC， 5PC ，则PA与平面ABC所成角的大小为 45 ；三棱锥PABC外接球的表面积 是 【解答】解：取PB的中点O，AC的中点D，连接BD并延长至点E，使得BDDE，连 接AE，PE，OD，如图所示： PAB和PCB是同斜边的直角三角形，三棱锥PABC外接球的球心为PB的中
30、点， 又 22 ( 5)16PB ，三棱锥PABC外接球的半径 16 22 RPB， 三棱锥PABC外接球的表面积为： 2 6 4()6 2 ， ABBC，点D为ABC的外接圆圆心，OD平面ABC， 又点D是BE的中点，点O是PB的中点，PEOD， PE平面ABC， PAE为PA与平面ABC所成角的平面角， 第 16 页（共 25 页） 在Rt OBD中， 22 1 2 ODOBBD， 21PEOD， 在Rt PAB中， 22 2PAPB AB， 在Rt PAE中， 12 sin 22 PE PAE PA ，45PAE， 故答案为： 0 45，6 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题
31、，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在3( cos)sinbCacB；22 cosacbC；sin3 sin 2 AC bAa 这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，2 3b ，4ac， 求ABC的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：在横线上填写“3( cos)sinbCacB” ， 则由正弦定理，得3(sincossin )sinsinBCACB 由sinsin()sincoscossi
32、nABCBCBC， 得3cossinsinsinBCCB 由0C，得sin0C 所以3cossinBB 又cos0B （若cos0B ，则sin0B ， 22 sincos0BB这与 22 sincos1BB矛盾） ， 所以tan3B 又0B，得 2 3 B 第 17 页（共 25 页） 由余弦定理及2 3b ， 得 222 2 (2 3)2cos 3 acac ， 即 2 12()acac将4ac代入，解得4ac 所以 113 sin43 222 ABC SacB 18 （12 分）已知等比数列 n a满足 1 a， 2 a， 31 aa成等差数列，且 134 a aa；等差数列 n b 的
33、前n项和 2 (1)log 2 n n na S 求： （1） n a， n b； （2）数列 nn a b的前项和 n T 【解答】解： （1）设 n a的公比为q 因为 1 a， 2 a， 31 aa成等差数列， 所以 2131 2()aaaa，即 23 2aa 因为 2 0a ，所以 2 2 2 a q a 因为 134 a aa，所以 4 1 3 2 a aq a 因此 1 1 2 nn n aaq 由题意， 2 (1)log(1) 22 n n nann S 所以 11 1bS， 122 3bbS，从而 2 2b 所以 n b的公差 21 211dbb 所以 1 (1)1(1) 1
34、n bbndnn （2）令 nnn ca b，则2n n cn 因此 1231 12 1 22 23 2(1) 22 nn nn Tcccnn 又 2341 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn 两式相减得 第 18 页（共 25 页） 2311111 22 2 222222222(1) 22 12 n nnnnnn n Tnnnn 所以 1 (1) 22 n n Tn 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，2 3AD ，3AB ，3AP ，/ /ADBC，AD 平面PAB，90APB，点E满足 21 33 PEPAPB （1）证明：PEDC； （2）求二面角APDE
35、的余弦值 【解答】 （1）证明：在Rt PAB中， 由勾股定理，得 2222 3( 3)6PBABAP 因为 21 33 PEPAPB，ABPBPA， 所以 22 22 21211211 () ()( 3)( 6)00 33333333 PE ABPAPBPBPAPAPBPA PB ， 所以PEAB， 因为AD 平面PAB，PE 平面PAB， 所以PEAD， 第 19 页（共 25 页） 又因为PEAB，ABADA， 所以PE 平面ABCD， 又因为DC 平面ABCD， 所以PEDC； （2）由 21 33 PEPAPB，得2EBAE 所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点 所以 1 1 3
36、AEAB 分别以AB，AD所在方向为y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 则(0A，0，0)，(0,0,2 3)D，(0E，1，0)，( 2,1,0)P， 设平面PDE的法向量为(ma，b，)c，( 2,0,0),(0, 1,2 3)EPED 由 0 0 m EP m ED ，得 20 2 30 a bc 令1c ，则(0, 2 3,1)m ， 设平面APD的法向量为(nx，y，) z，( 2,1,0)AP ，(0,0,2 3)AD ， 由 0 0 n AP n AD ，得 20 2 30 xy z ， 令1x ，则(1,2,0)n ， 设向量夹角为， 则 2222 2
37、62 26 cos | |13 (2 3)11(2) m n mn 第 20 页（共 25 页） 所以二面角APDE的余弦值为 2 26 13 20 （12 分）2017 年 11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市” ，吸引了大批投资 商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中某投资公司准备在 2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见 证现准备投资建设 20 个天坑院，每个天坑院投资 0.2 百万元，假设每个天坑院是否盈利 是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底
38、每个天坑院盈利的概率为(01)pp，若盈利则 盈利投资额的40%，否则盈利额为 0 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区据市 场调研， 投资到该项目上， 到 2020 年底可能盈利投资额的50%， 也可能亏损投资额的30%， 且这两种情况发生的概率分别为p和1p （1）若投资项目一，记 1 X为盈利的天坑院的个数，求 1 ()E X（用p表示） ； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 2 X百万元，求 2 ()E X（用p表示） ； （3）在（1） （2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并 说明理由 【解答】解： （1）
39、由题意 1 (20, )XBp， 则盈利的天坑院数的均值 1 ()20E Xp （2）若投资项目二，则 2 X的分布列为： 2 X 2 1.2 P P 1p 盈利的均值 2 ()21.2(1)3.21.2E Xppp （3）若盈利，则每个天坑院盈利0.240%0.08（百万元） ， 所以投资建设 20 个天坑院，盈利的均值为 11 (0.08)0.08 ()0.08201.6EXE Xpp（百万 元） 22 11 (0.08)0.08()0.0820 (1)0.128 (1)DXD Xpppp， 22 2 ()(23.21.2)( 1.23.21.2) (1)10.24 (1)D Xppppp
40、p ， 第 21 页（共 25 页） 当 12 (0.08)()EXE X时，1.63.21.2pp， 解得 3 4 p 12 (0.08)()DXD X故选择项目一 当 12 (0.08)()EXE X时，1.63.21.2pp， 解得 3 0 4 p 此时选择项一 当 12 (0.08)()EXE X时，1.63.21.2pp，解得 3 4 p 此时选择项二 21 （12 分） 设中心在原点O， 焦点在x轴上的椭圆C过点 1 ( 3, ) 2 A，F为C的右焦点，F 的方程为 22 11 2 30 4 xyx （1）求C的方程； （2）若直线:(3)(0)l yk xk与O相切，与F交于M
41、、N两点，与C交于P、Q两 点，其中M、P在第一象限，记O的面积为( )S k，求(|)( )NQMPS k取最大值时， 直线l的方程 【解答】解： （1）解：设C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab 由题设知 22 31 1 4ab 因为F的标准方程为 22 1 (3) 4 xy， 所以F的坐标为( 3,0)，半径 1 2 r 设左焦点为 1 F，则 1 F的坐标为(3,0) 由椭圆定义，可得 2222 1 11 2| 3(3)(0)( 33)(0) 22 aAFAF 由解得2a ，1b 所以C的方程为 2 2 1 4 x y （2）由题设可知，M在C外，N在C内，P在F内，Q在
42、F外，在直线l上的四点满 足| |MPMNNP，| |NQPQNP 第 22 页（共 25 页） 由 2 2 (3) 1 4 yk x x y 消去y得 2222 (14)8 31240kxk xk 因为直线l过椭圆C内的右焦点F， 所以该方程的判别式0恒成立 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y 由韦达定理，得 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2 12 2 124 14 k x x k 2 22 1212 2 44 |(1)()4 41 k PQkxxx x k 又因为F的直径| 1MN ， 所以 2 3 | | (|) | | 1 41 NQMPPQNPM
43、NNPPQMNPQ k (3)yk x可化为30kxyk 因为l与O相切，所以O的半径 2 3 1 k R k ， 所以 2 2 2 3 ( ) 1 k S kR k 所以 22 2242 2 2 2 2 9999 (|)( ) 1 (41)(1)4511 45 2 45 kk NQMPS k kkkk k k k k 当且仅当 2 2 1 4k k ，即 2 2 k 时等号成立 因此，直线l的方程为 2 (3) 2 yx 第 23 页（共 25 页） 22 （12 分）已知函数( )(2)(0f xlnxa x，0)a ，曲线( )yf x在点(1，f（1）)处 的切线在y轴上的截距为 2 3 3 ln （1）求a； （2）讨论函数( )( )2 (0)g xf xx x和 2 ( )( )(0) 21 x h xf xx x 的单调性； （3）设 1 2 5 a ， 1 () nn af a ，求证： 1 521 20(2) 2 n n n n a 【解答】解： （1）对( )(2)f xlnxa求导，得 2 ( ) 2 fx xa
