1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一 中、三中六校高三（上）期末数学试卷（理科）中、三中六校高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，选出在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项.） 1 （5 分）复数 10 ( 12 i i ) A42i B42i C24i D24i 2 （5 分）已知集合 | 5 21 3Axx剟，xR， | (8
2、) 0Bx x x，xZ，则(AB ) A(0,2) B0，2 C0，2 D0，1，2 3 （5 分）已知平面向量, a b满足()3a ab，且| 2,| 1ab，则向量a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 4 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 21() nn SanN，则 5 (a ) A16 B16 C31 D32 5 （5 分）已知平面，直线a，b，l，且a，b，则“la且lb”是“l” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）曲线 2 ax y x 在点( 1,)a 处的切线方程
3、为20xyb，则( ) A1a ，1b B1a ，1b C1a ，3b D1a ，2b 7 （5 分）已知命题 1: pxR ，函数( )sin(2) 3 f xx 的图象关于直线 3 x 对称， 2: pR ， 函数( )sin()f xx的图象关于原点对称， 则在命题 112 :qpp， 212 :qpp， 312 :()qpp和 412 :()qpp 中，真命题是( ) A 1 q， 3 q B 2 q， 3 q C 1 q， 4 q D 2 q， 4 q 8 （5 分）已知函数( )2sin()f xx（其中0,|) 2 的相邻两条对称轴之间的距离 第 2 页（共 18 页） 为,(0
4、)3 2 f ，则( ) A 1 , 26 B 1 , 23 C2, 6 D2, 3 9 （5 分）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a ，公差2d ， 2 36 nn SS ，则(n ) A8 B7 C6 D5 10 （5 分） 已知函数 2 ( )f xxbx的图象在点(1A，f（1）)处的切线l与直线320xy 平行，若数列 1 ( )f n 的前n项和为 n S，则 2009 S的值为( ) A 2007 2008 B 2009 2010 C 2008 2009 D 2010 2011 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线
5、均与圆 22 :650C xyx相 切，则该双曲线离心率等于( ) A 3 5 5 B 6 2 C 3 2 D 5 5 12 （5 分）若函数( )()yf x xR满足(2)( )f xf x且( 1x ，1时 2 ( )1f xx ，函数 |(0) ( ) 1(0) lg xx g x x ，则函数( )( )( )h xf xg x在区间 5，10内零点的个数为( ) A12 B14 C13 D8 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡上把答案填在答题卡上. 13 （5 分）已知向量(sin ,2)a与向量(
6、cos ,1)b互相平行，则tan2的值为 14 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 15 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入k的值是 4，则输出S的值是 第 3 页（共 18 页） 16 （5 分）设 2 2(3 2) 1 nxdx，则 2 ()nx x 的展开式中含 2 x项的系数是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答把答 案答在答题卡上案答在答题卡上.） 17 （10 分）已知向量(sin2 ,cos ),( 3,2cos )(
7、), ( )1mxx nx xRf xm n， （1）求( )f x的单调递增区间； （2）在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，( )2,3, 4 f AaB ，求b的值 18 （12 分）某次有 1000 人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规 定 85 分及其以上为优秀 （）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值； 区间 75，80) 80，85) 85，90) 90，95) 95，100 人数 50 a 350 300 b （） 现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析， 求其中成绩为优 秀的学生人数； （）在（）中抽取
8、的 40 名学生中，要随机选取 2 名学生参加座谈会，记“其中成绩为 优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角 为45，F是PB的中点，E是BC上的动点 （）证明：PEAF； （）若22 3BCBEAB，求直线AP与平面PDE所成角的大小 20 （12 分）设函数 2 ( ), 1 ax e f xaR x （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求函数( )f x单调区间 21 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且满足2 nn
9、Sa，1n ，2，3， （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 1 1b ，且 1nnn bba ，求数列 n b的通项公式； （3）设(3) nn nb，求数列 n 的前n项和为 n T 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点分别为 1( 2,0)F ， 2( 2,0) F点 (1 ,0)M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 （）求椭圆C的方程； （）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(m，)(3)n m过点M任作直线l与椭圆C 第 5 页（共 18 页） 相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为 1 k， 2
10、 k， 3 k，若 132 2kkk， 试求m，n满足的关系式 第 6 页（共 18 页） 2019-2020 学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一学年青海省西宁市沈那、昆仑、总寨、海湖、二十一 中、三中六校高三（上）期末数学试卷（理科）中、三中六校高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，选出在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项.） 1 （5 分）复数 10 ( 12 i i ) A42
11、i B42i C24i D24i 【解答】解：复数 1010 (12 )2010 42 12(12 )(12 )5 iiii i iii ， 故选：A 2 （5 分）已知集合 | 5 21 3Axx剟，xR， | (8) 0Bx x x，xZ，则(AB ) A(0,2) B0，2 C0，2 D0，1，2 【解答】解：集合 | 4 24Axx 剟， | 22xRxx 剟，xR， | (8) 0Bx x x， |08xZxx剟，xZ 0，1，2，3，4，5，6，7，8， |0ABx，1，2， 故选：D 3 （5 分）已知平面向量, a b满足()3a ab，且| 2,| 1ab，则向量a与b的夹角
12、为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：由()3a ab， 2 3aa b， 2 321a b ； 又| 2,| 1ab， 向量a与b的夹角余弦值为 11 cos 2 12| | a b ab ； 第 7 页（共 18 页） 又0， 2 3 故选：C 4 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 21() nn SanN，则 5 (a ) A16 B16 C31 D32 【解答】解：当1n 时， 111 21aSa， 1 1a 当1n 时，21 nn Sa， 11 21 nn Sa ， 11 22 nnnn SSaa ， 1 22 nnn aaa ， 1 2
13、 nn aa ， 1 2 n n a a ， n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a ， * nN 5 1 5 216a 故选：B 5 （5 分）已知平面，直线a，b，l，且a，b，则“la且lb”是“l” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：a，b，直线a、b的位置关系可能平行， 也可能相交若a与b相交， 则由la且lb能得到l，否则不一定，所以， “la且lb”是“l”的不充 分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l，则l垂直于平面内的所有直线，所以 “la且lb”是“l”的必要条件 所以， “la且lb”
14、是“l”的必要不充分条件 故选：B 6 （5 分）曲线 2 ax y x 在点( 1,)a 处的切线方程为20xyb，则( ) A1a ，1b B1a ，1b C1a ，3b D1a ，2b 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：由题意可得： 2 2 (2) a y x ， 所以在点( 1,)a 处的切线斜率为2a， 所以在点( 1,)a 处的切线方程为：2 (1)yaa x， 即20axya 又切线方程为20xyb， 1a，1b ， 故选：B 7 （5 分）已知命题 1: pxR ，函数( )sin(2) 3 f xx 的图象关于直线 3 x 对称， 2: pR ， 函数( )sin()f
15、 xx的图象关于原点对称， 则在命题 112 :qpp， 212 :qpp， 312 :()qpp和 412 :()qpp 中，真命题是( ) A 1 q， 3 q B 2 q， 3 q C 1 q， 4 q D 2 q， 4 q 【解答】解：命题 1: pxR ，函数( )sin(2) 3 f xx 的图象关于直线 3 x 对称，是错 误的， 原因是当 3 x 时， 3 ()1 32 f ， 2: (0)pR ，函数( )sin()f xx的图象关于原点对称，正确， 112 :qpp正确； 212 :qpp错误； 312 :()qpp正确； 412 :()qpp 错误 故 1 q， 3 q是
16、真命题 故选：A 8 （5 分）已知函数( )2sin()f xx（其中0,|) 2 的相邻两条对称轴之间的距离 为,(0)3 2 f ，则( ) A 1 , 26 B 1 , 23 C2, 6 D2, 3 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：因为函数( )2sin()f xx（其中0，|) 2 的相邻两条对称轴之间的 距离为 2 ， 所以T，2，因为(0)3f，所以32sin，| 2 ，所以 3 故选：D 9 （5 分）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a ，公差2d ， 2 36 nn SS ，则(n ) A8 B7 C6 D5 【解答】解：由题意得， 2 36 nn
17、SS ， 则 21 36 nn aa ， 又 1 1a ，公差2d ， 所以 1 2(21)36and， 即22(21)36n，解得8n ， 故选：A 10 （5 分） 已知函数 2 ( )f xxbx的图象在点(1A，f（1）)处的切线l与直线320xy 平行，若数列 1 ( )f n 的前n项和为 n S，则 2009 S的值为( ) A 2007 2008 B 2009 2010 C 2008 2009 D 2010 2011 【解答】解： 函数 2 ( )f xxbx的图象在点(1A，f（1）)处的切线l与直线320xy 平行， 由 2 ( )f xxbx求导得：( )2fxxb， 由
18、导函数得几何含义得：f（1）231bb， 2 ( )f xxx 所以( )(1)f nn n，数列 1 ( )f n 的通项为 1111 ( )(1)1f nn nnn ， 所以 1 ( )f n 的前n项的和即为 n T， 则利用裂项相消法可以得到： 11111111 (1)()()()1 2233411 n T nnn 第 10 页（共 18 页） 所以数列的前 2009 项的和为： 2009 12009 1 20102010 T 故选：B 11 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均与圆 22 :650C xyx相 切，则该双曲线离心率等于( )
19、 A 3 5 5 B 6 2 C 3 2 D 5 5 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 b yx ，即0bxay 圆 22 :650C xyx化为标准方程 22 (3)4xy (3,0)C，半径为 2 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均和圆 22 :650C xyx相切 22 3 2 b ab 222 944bba 22 54ba 222 bca 222 5()4caa 22 95ac 3 5 5 c e a 双曲线离心率等于 3 5 5 故选：A 12 （5 分）若函数( )()yf x xR满足(2)( )f x
20、f x且( 1x ，1时 2 ( )1f xx ，函数 |(0) ( ) 1(0) lg xx g x x ，则函数( )( )( )h xf xg x在区间 5，10内零点的个数为( ) A12 B14 C13 D8 【解答】解：(2)( )f xf x， ( )f x为一个2T 的周期函数 又( 1x ，1时 2 ( )1f xx ， 第 11 页（共 18 页） 我们可以做出函数( )yf x的图象与函数 |(0) ( ) 1(0) lg xx g x x 的图象如下图所示： 由图象可得函数( )f x的图象与函数( )g x的图象在区间 5，10内共有 14 个交点， 即函数( )(
21、)( )h xf xg x在区间 5，10内共有 14 个零点 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡上把答案填在答题卡上. 13 （5 分） 已知向量(sin ,2)a与向量(cos ,1)b互相平行， 则tan2的值为 4 3 【解答】解：向量(sin ,2)a与向量(cos ,1)b互相平行， sin2cos0， tan2， 2 2tan224 tan2 1tan143 故答案为： 4 3 14 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 3 2 【解答】解：由已知中的三视图可得几何
22、体是一个三棱锥 且棱锥的底面是一个以(21)3为底，以 1 为高的三角形 棱锥的高为 3 故棱锥的体积 1 13 (21) 1 3 3 22 V 第 12 页（共 18 页） 故答案为： 3 2 15 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入k的值是 4，则输出S的值是 3 4 【解答】解：由图知运算规则是求和 111111113 1 1 22334223344 S 故答案为： 3 4 16 （5 分）设 2 2(3 2) 1 nxdx，则 2 ()nx x 的展开式中含 2 x项的系数是 40 【解答】解：由于 232 1 2(3 2)(2 )|4( 1)5 1 nxdxxx ， 则 2 (
23、)nx x 的展开式的通项公式为 3 5 5 22 155 22 rr rrrrr r TCxxCx ， 令 3 52 2 r ，解得2r ，展开式中含 2 x项的系数是 22 5 240C ， 故答案为：40 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答把答 案答在答题卡上案答在答题卡上.） 17 （10 分）已知向量(sin2 ,cos ),( 3,2cos )(), ( )1mxx nx xRf xm n， （1）求( )f x的单调递增区间； （2）在ABC中，角A
24、，B，C的对边为a，b，c，( )2,3, 4 f AaB ，求b的值 第 13 页（共 18 页） 【解答】 2 : 113221 322 222 6 f xm nsin xcos x sin xcos x sinx 解 分 222, 26236 kxkkZkx kkZ 由得剟剟（4 分） ( )f x的单调递增区间为, 36 kk kZ （6 分） 在ABC中，f（A）2sin(2)2 6 A ， sin(2)1 6 A 2 62 A ， 6 A （9 分） 由正弦定理得： 2 3 sin 2 6 1 sin 2 aB b A ，6b（14 分） 18 （12 分）某次有 1000 人参加
25、的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规 定 85 分及其以上为优秀 （）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值； 区间 75，80) 80，85) 85，90) 90，95) 95，100 人数 50 a 350 300 b （） 现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析， 求其中成绩为优 秀的学生人数； （）在（）中抽取的 40 名学生中，要随机选取 2 名学生参加座谈会，记“其中成绩为 优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望 【解答】 （本小题满分 13 分） 第 14 页（共 18 页） 解： （）依题意，0.045 1000200
26、a ，0.025 1000100b （4 分） （）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则 350300100 401000 x ，解得：30x ， 即其中成绩为优秀的学生人数为 30 名（7 分） （）依题意，X的取值为 0，1，2， 2 10 2 40 3 (0) 52 C P X C ， 11 1030 2 40 5 (1) 13 C C P X C ， 2 30 2 40 29 (2) 52 C P X C ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 3 52 5 13 29 52 35293 012 5213522 EX ，所以X的数学期望为 3 2 （13 分） 19 （12 分）如图，
27、四棱锥PABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角 为45，F是PB的中点，E是BC上的动点 （）证明：PEAF； （）若22 3BCBEAB，求直线AP与平面PDE所成角的大小 【解答】解： （） 建立如图所示空间直角坐标系设2APAB，BEa 则(0A，0，0)，(0B，2，0)，(0P，0，2)，(0F，1，1)，(E a，2，0) 于是，( ,2, 2)PEa，(0,1,1)AF ， 则0PE AF ， 所以AFPE（6 分） 第 15 页（共 18 页） （）若22 3BCBEAB，则(4 3,0,0)D，(4 3,0, 2)PD ， (2 3PE ，2，2)， 设平面
28、PDE的法向量为(nx，y，) z， 由 0 0 n PD n PE ，得： 4 320 2 3220 xz xyz ，令1x ，则2 3,3zy， 于是(1, 3,2 3)n ，而(0,0,2)AP 设直线AP与平面PDE所成角为， 则 |3 sin 2| | n AP nAP 直线AP与平面PDE所成角为60 20 （12 分）设函数 2 ( ), 1 ax e f xaR x （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求函数( )f x单调区间 【解答】解：因为 2 ( ) 1 ax e f x x ，所以 2 22 (2) ( ) (1) ax eaxx
29、a fx x （）当1a 时， 2 ( ) 1 x e f x x ， 2 22 (21) ( ) (1) x exx fx x ， 所以(0)1f，(0)1 f 所以曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为10xy （4 分） （）因为 2 2 2222 (2) ( )(2) (1)(1) axax eaxxae fxaxxa xx ，（5 分） 第 16 页（共 18 页） （1）当0a 时，由( )0fx得0x ；由( )0fx得0x 所以函数( )f x在区间(,0)单调递增，在区间(0,)单调递减（6 分） （ 2 ） 当0a 时 ， 设 2 ( )2g xa xxa， 方
30、 程 2 ( )20g xaxxa的 判 别 式 2 444(1)(1)aaa，（7 分） 当01a时，此时0 由( )0fx得 2 11a x a ，或 2 11a x a ； 由( )0fx得 22 1111aa x aa 所以函数( )f x单调递增区间是 2 11 (,) a a 和 2 11 (,) a a ， 单调递减区间 22 1111 (,) aa aa （9 分） 当1a时，此时0所以( ) 0fx， 所以函数( )f x单调递增区间是(,) （10 分） 当10a 时，此时0 由( )0fx得 22 1111aa x aa ； 由( )0fx得 2 11a x a ，或 2
31、 11a x a 所以当10a 时，函数( )f x单调递减区间是 2 11 (,) a a 和 2 11 (,) a a ， 单调递增区间 22 1111 (,) aa aa （12 分） 当1a时， 此时0，( ) 0fx， 所以函数( )f x单调递减区间是(,) （13 分） 21 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且满足2 nn Sa，1n ，2，3， （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 1 1b ，且 1nnn bba ，求数列 n b的通项公式； 第 17 页（共 18 页） （3）设(3) nn nb，求数列 n 的前n项和为 n T 【解
32、答】解： （1）因为1n 时， 1111 2aSaa，所以 1 1a 因为2 nn Sa，即2 nn aS，所以 11 2 nn aS 两式相减： 11 0 nnnn aaSS ，即 11 0 nnn aaa ，故有 1 2 nn aa 因为0 n a ，所以 1 1 ( 2 n n a a *) nN 所以数列 n a是首项 1 1a ，公比为 1 2 的等比数列， 1 1 ( )( 2 n n a *) nN （2） 因为 1 ( nnn bba 1n ， 2， 3，)， 所以 1 1 1 ( ) 2 n nn bb 从而有 21 1bb，3 2 1 2 bb， 2 43 1 ( ) 2
33、bb， 2 1 1 ( )( 2 n nn bb 2n ，3，) 将这1n个等式相加，得 1 221 1 1 1( ) 1111 2 1( )( )22( ) 1 2222 1 2 n nn n bb 又因为 1 1b ，所以 1 1 32( )( 2 n n b 1n ，2，3，) （3）因为 n n 1 1 (3)2 ( ) 2 n n bn ， 所以 0221 11111 2( )2( )3( )(1)( )( ) 22222 nn n Tnn 1231 111111 2( )2( )3( )(1)( )( ) 222222 nn n Tnn ，得 021 111111 2( )( )(
34、 )( )2 ( ) 222222 nn n Tn 故 1 1( ) 1811 2 44 ( )84 ( )8(84 )( 1 2222 1 2 n nn n nn Tnnn 1n ，2，3，) 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点分别为 1( 2,0)F ， 2( 2,0) F点 (1 ,0)M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 （）求椭圆C的方程； （）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(m，)(3)n m过点M任作直线l与椭圆C 相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，若 132 2kkk， 试
35、求m，n满足的关系式 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （）依题意，2c ，1b ，所以 22 3abc 故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y（4 分） （）当直线l的斜率不存在时，由 2 2 1 1 3 x x y 解得 6 1, 3 xy 不妨设 6 (1,) 3 A， 6 (1,) 3 B， 因为 13 66 22 33 2 22 kk ，又 132 2kkk，所以 2 1k ， 所以m，n的关系式为 2 1 3 n m ，即10mn （7 分） 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x 将(1)yk x代入 2 2 1 3 x y整理化简得， 2222 (31
36、)6330kxk xk 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12 2 6 31 k xx k ， 2 12 2 33 31 k x x k （9 分） 又 11 (1)yk x， 22 (1)yk x 所以 22 22 12122112211212 13 2 121212121212 2 336 2(42)612 22(2)(3)(2)(3)2(1)(3)2(1)(3)2(42)()612 3131 3333(3)(3)3()93()9 31 kk kkk yyyxyxk xxk xxkx xkxxk kk kk kxxxxx xxxx xxx k 2 22 2 2(126) 2 6126 39 31 k kk k （12 分） 所以 2 22k ，所以 2 2 1 3 n k m ，所以m，n的关系式为10mn （13 分） 综上所述，m，n的关系式为10mn （14 分）
