2019-2020学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷一、选择题一、选择题 1 （3 分）设集合0U ，1，2，3，0P ，1，1Q ，3，则()( U PQ ) A0，2 B0，3 C0，1，2 D0，1，3 2 （3 分）双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程为( ) A320xy B230xy C940xy D490xy 3 （3 分）设实数x，y满足条件 20 1 0 1 0 xy xy xy ，则2zxy的最小值是( ) A 1 3 B1 C2 D4 4 （3 分）设m，n表示不同直线，表示

2、不同平面，下列叙述正确的是( ) A若/ /m，/ /mn，则/ /n B若/ /mn，m，n，则/ / C若，则/ / D若m，n，则/ /mn 5 （3 分）在同一直角坐标系中，函数1 x ya， 1 log(0,1) a yx aa 的图象可能是( ) A B C D 6 （3 分）已知aR，则“2a”是“方程 2 210axx 至少有一个负根”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件第 2 页（共 18 页） 7 （3 分）已知 n a是公差为d的等差数列，前n项和是 n S，若 9810 SSS，则( ) A0d ， 17 0S B0d ，

3、17 0S C0d ， 18 0S D0d ， 18 0S 8 （3 分）设实数a，b满足0b ，且2ab则 1| 8| a ab 的最小值是( ) A 9 8 B 9 16 C 7 16 D 1 4 9 （3 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中，M是棱 11 AC上的点，记直线AM与直线BC所成的角为，直线AM与平面ABC所成的角为，二面角MACB的平面角为则( ) A ， B ， C ， D ， 10 （3 分）若关于x的不等式 3 41 0xax 对任意 1x ，1都成立，则实数a的取值范围是( ) A 4，3 B 3 C3 D3，4 二、填空题二、填空题 11 （3 分）已

4、知( ,)abi a bR是 1 12 i z i 的共轭复数，则ab ，| z 12 （3 分）已知直线:0l xyb，与圆 22 :220C xyxy相交于A，B两点，若 30 (AOBO为坐标原点），则b ，|AB 13（3 分）函数 4,0 ( ) ( ),0 x m x f x g x x 为定义在R上的奇函数，则m ， 2 1 (1) 3 fog 14 （3 分）如图示，一个空间几何体的三视图如图所示（单位：)cm则该几何体的体积为 3 cm表面积为 2 cm 第 3 页（共 18 页） 15（3 分）在ABC中，5AB ，BAC的平分线交边BC于D 若45ADC5BD

5、，则sinC 16 （3 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的内接ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F，线段AB中点为K，且2CFFK，则椭圆离心率的取值范围是 17 （3 分）已知向量a，b满足| 1ab，| 2ab，则|ab的取值范围为三、解答题三、解答题 18 （14 分）已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转 2 后得到角的终边，且经过点 2 ( 5 ， 1 ) 5 （）求cos的值；（）求函数 22 ( )cos ()sin ()f xxx的值域 19 （15 分）如图，三棱柱 lll ABCABC所有的棱长为

6、2，2 ll ABAC，M是棱BC的中点（）求证： l AM 平面ABC；（）求直线 l B C与平面 ll ABB A所成角的正弦值 20 （15 分）已知等差数列 n a的公差不为零，且 3 3a ， l a， 2 a， 4 a成等比数列，数列 n b 第 4 页（共 18 页）满足 12 22(*) nn bbnba nN （）求数列 n a， n b的通项公式；（）求证： 312 11 12 (*) n nn n bbb aanN bbb 21 （15 分）如图，抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为(1,0)F，过点(2,0)T的直线与抛物线 C交于点A，B，直线AF

7、，BF分别与抛物线C交于点 1 A， 1 B （）求抛物线C的标准方程；（）求 1l FAB与FAB的面积之和的最小值 22 （15 分）已知函数 1 ( )()f xalnxaR x （）若1a ，求函数( )f x的单调区间；（）若存在两个不等正实数 1 x， 2 x，满足 12 ()()f xf x且 12 2xx，求实数a的取值范围第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题 1 （3 分）设集合0U ，1，2，3，0P ，

8、1，1Q ，3，则()( U PQ ) A0，2 B0，3 C0，1，2 D0，1，3 【解答】解：集合0U ，1，2，3，0P ，1，1Q ，3，0 UQ ，2，则()0 U PQ ，1，2，故选：C 2 （3 分）双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程为( ) A320xy B230xy C940xy D490xy 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 22 1 49 xy ，则其焦点在x轴上，且42a ，93b ，则其渐近线方程为： 3 2 yx ，即320xy；故选：A 3 （3 分）设实数x，y满足条件 20 1 0 1 0 xy xy xy ，则2zxy的最小值是(

9、) A 1 3 B1 C2 D4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由2zxy得2yxz ，第 6 页（共 18 页）平移直线2yxz 由图象可知当直线2yxz 经过点C时，直线2yxz 的截距最小，此时z最小，由 10 10 xy xy ，即 0 1 x y ，即(0,1)C，此时011z ，故选：B 4 （3 分）设m，n表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是( ) A若/ /m，/ /mn，则/ /n B若/ /mn，m，n，则/ / C若，则/ / D若m，n，则/ /mn 【解答】解：选项A中若/ /m，/ /mn，则/ /n，还有直线n在平面内的情况

10、，故A不正确，选项B中若/ /mn，m，n，则/ /，有可能两个平面相交，故B不正确，选项C中若，则/ /，还有两个平面相交的可能，故C不正确选项D，若m，n，则/ /mn，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确；故选：D 5 （3 分）在同一直角坐标系中，函数1 x ya， 1 log(0,1) a yx aa 的图象可能是( ) A B C D 【解答】解：当1a 时，函数 x ya在(,) 上单调递减且是曲线，向下平移一个单位长度得1 x ya，排除A，第 7 页（共 18 页） B，C，D，没有符合题意的，当01a时，函数 x ya在(,) 上单调递增且是曲线，

11、向下平移一个单位长度得1 x ya，排除B，当0x 时，0y ，排除D 此时11a ，函数 1 log(0,1) a yx aa 在(0,)上单调递增，排除A 故选：C 6 （3 分）已知aR，则“2a”是“方程 2 210axx 至少有一个负根”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：（1）当0a 时，方程变为210x ，有一负根 1 2 x ，满足题意，（2）当0a 时，440a，方程的两根满足 12 1 0x x a ，此时有且仅有一个负根，满足题意，（3）当0a 时，由方程的根与系数关系可得 2 0 1 0 a a ，

12、方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件440a， 01a ，综上可得，1a， “2a”是“方程 2 210axx 至少有一个负根”的必要不充分条件，故选：B 7 （3 分）已知 n a是公差为d的等差数列，前n项和是 n S，若 9810 SSS，则( ) A0d ， 17 0S B0d ， 17 0S C0d ， 18 0S D0d ， 18 0S 【解答】解： 9810 SSS， 9 0a， 910 0aa， 10 0a，0d 179 170Sa， 18910 9()0Saa 故选：D 第 8 页（共 18 页） 8 （3 分）设实数a，b满足0b ，且2ab则 1| 8| a

13、ab 的最小值是( ) A 9 8 B 9 16 C 7 16 D 1 4 【解答】解：由题意可知，0a ，当0a 时， 1|119 2 8|161616161616 aabababa abababa b ，当且仅当 16 ba ab 且2ab即 2 5 a ， 8 5 b 时取等号，当0a 时， 1|117 ()()2() 8|161616161616 aabababa abababab ，当且仅当 16 ba ab 且2ab时取等号，综上可得，最小值 7 16 故选：C 9 （3 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中，M是棱 11 AC上的点，记直线AM与直线BC所成的角

14、为，直线AM与平面ABC所成的角为，二面角MACB的平面角为则( ) A ， B ， C ， D ，【解答】解：在三棱台 111 ABCABC中，M是棱 11 AC上的点，记直线AM与直线BC所成的角为，直线AM与平面ABC所成的角为，二面角MACB的平面角为根据最小角定理得，根据最大角定理得故选：A 第 9 页（共 18 页） 10 （3 分）若关于x的不等式 3 41 0xax 对任意 1x ，1都成立，则实数a的取值范围是( ) A 4，3 B 3 C3 D3，4 【解答】解：令 3 ( )41f xxax， 1x ，1 不等式 3 41 0xax 对任意 1x ，1都成

15、立，即( ) 0f x 对任意 1x ，1都成立，取4a ，则 3 ( )441f xxx，此时 11 ()0 22 f ，排除A 取3a ，则 3 ( )431f xxx，此时 1 ( )10 2 f ，排除CD 故选：B 二、填空题二、填空题 11 （3 分）已知( ,)abi a bR是 1 12 i z i 的共轭复数，则ab 2 5 ，| z 【解答】解： 1(1)(12 )31 12(12 )(12 )55 iii zi iii ，且( ,)abi a bR是 1 12 i z i 的共轭复数， 3 5 a， 1 5 b ，则 2 5 ab， 22 3110 |( )() 55

17、,0 ( ) ( ),0 x m x f x g x x 为定义在R上的奇函数，则m 1 ， 2 1 (1) 3 fog 【解答】解：根据题意， 4,0 ( ) ( ),0 x m x f x g x x 为定义在R上的奇函数，则有 0 (0)40fm，解可得：1m ，则 24 39 2 (13)41418 loglog fog ，则 222 1 (1)( 13)(13)8 3 fogfogfog ；故答案为：1，8 14 （3 分）如图示，一个空间几何体的三视图如图所示（单位：)cm则该几何体的体积为 1 6 3 cm表面积为 2 cm 第 11 页（共 18 页）【解答

18、】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥PABC，底面三角形为等腰直角三角形，1ACBC，ACBC，侧面PAC 底面ABC，过P作底面垂线PO，则1PO 该几何体的体积 111 1 1 1 326 V ；在PAB中，求得2PA，2AB ，6PB ，则 133 62 222 PAB S 表面积 311553 1 222222 S 故答案为： 1 6 ； 53 1 22 15（3 分）在ABC中，5AB ，BAC的平分线交边BC于D 若45ADC5BD ，则sinC 2 5 5 【解答】解：ABD中，由正弦定理可得， 55 sinsin135BAD ，所以 10 sin 10

19、 BAD， AD为BAC的平分线即 10 10 BADCAD ， 1023 1022 5 sinsin(45 ) 1021025 CDAC 故答案为： 2 5 5 第 12 页（共 18 页） 16 （3 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的内接ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F，线段AB中点为K，且2CFFK，则椭圆离心率的取值范围是 3 (0,) 3 【解答】解：由题意可设(0, )Bb，( ,0)F c，线段AB中点为K，且2CFFK，可得F为ABC的重心，设 1 (A x， 1) y， 2 (C x， 2) y，由重心坐标公式可得， 12 03xxc，

20、 12 0yyb，即有AC的中点坐标，可得 12 3 22 xxc x ， 12 22 yyb y ，由题意可得中点在椭圆内，可得 2 2 91 1 44 c a ，由 c e a ，可得 2 1 3 e ，即有 3 0 3 e 故答案为： 3 (0,) 3 17（3 分）已知向量a，b满足| 1ab，| 2ab，则| | | |ab的取值范围为 2，5 【解答】解：| 1ab，| 2ab， 22 21aa bb， 22 24aa bb， 22 ()5ab，则 222 (|)2()5abab，则|5ab 又|abab，|2ab 2|5ab剟故答案为：2，5 第 13 页（共 18

21、页）三、解答题三、解答题 18 （14 分）已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转 2 后得到角的终边，且经过点 2 ( 5 ， 1 ) 5 （）求cos的值；（）求函数 22 ( )cos ()sin ()f xxx的值域【解答】解：( ) I的终边经过点 2 ( 5 ， 1 ) 5 ，由 22 21 ()()1 55 ，故 2 cos 5 ， 1 sin 5 ， 2 ，所以 15 coscos()sin 255 ； 22 ( ) ( )cos ()sin ()II f xxx 22 cos ()sin () 2 xx 22 cos ()c

22、os ()xx 22 (cos cossin sin )(cos cossin sin )xxxx 2222 2(coscossinsin)xx 22 28 55 cos xsin x 2 262 8 , 555 5 sin x 19 （15 分）如图，三棱柱 lll ABCABC所有的棱长为 2，2 ll ABAC，M是棱BC的中点第 14 页（共 18 页）（）求证： l AM 平面ABC；（）求直线 l B C与平面 ll ABB A所成角的正弦值【解答】解：（）三棱柱 lll ABCABC所有的棱长为 2，2 ll ABAC，M是棱BC的中点；所以AMBC，所以 222

23、2 11 ( 2)11AMABBM；又 33 23 22 AMAB， 1 2AA ，所以 222 11 AMAMAA，所以 1 AMAM，且AMBCM，所以 l AM 平面ABC；（）分别以MA、MB、 1 MA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示；则(0M，0，0)，( 3A，0，0)，(0B，1，0)，(0C，1，0)， 1(0 A，0，1)，所以 111 (0BCBCBBBCAA，2，0)(3 ，0，1)( 3，2，1)，又(3AB ，1，0)， 1 (3AA ，0，1)，设平面 11 ABB A的法向量为(nx，y，) z，则 1 0 0 n AB n AA

24、，即 30 30 xy xz ，令1x ，则3yz，所以(1n ，3，3)；所以cosn， 1 1 1 32 3342 14|133341 n BC BC nBC ，所以直线 l B C与平面 ll ABB A所成角的正弦值为 42 14 第 15 页（共 18 页） 20 （15 分）已知等差数列 n a的公差不为零，且 3 3a ， l a， 2 a， 4 a成等比数列，数列 n b 满足 12 22(*) nn bbnba nN （）求数列 n a， n b的通项公式；（）求证： 312 11 12 (*) n nn n bbb aanN bbb 【解答】解：（）等差数列 n

25、a的公差d不为零， 3 3a ，可得 1 23ad， l a， 2 a， 4 a成等比数列，可得 2 142 a aa，即 2 111 (3 )()a adad，解方程可得 1 1ad，则 n an；数列 n b满足 12 22 nn bbnba，可得 11 22ba，将n换为1n可得 1211 2(1)2 nn bbnba ，联立 12 22 nn bbnba，相减可得 1 222 nnn nbaa ，则 2 n b n ，对1n 也成立，则 2 n b n ，*nN；（）证明：不等式 312 11 12 (*) n nn n bbb aanN bbb 即为 12 11 231

26、 n nn n ，下面应用数学归纳法证明（1）当1n 时，不等式的左边为 12 22 ，右边为22，左边右边，不等式成立；（2）假设nk时不等式 12 11 231 k kk k ，第 16 页（共 18 页）当1nk时， 1211 11 23122 kkk kk kkk ，要证 121 22 2312 kk kk kk ，只要证 1 1122 2 k kkkk k ，即证 1 211 2 k kk k ，即证 1 (21)(1)0 2 kk k ，由*kN，可得上式成立，可得1nk时，不等式也成立综上可得，对一切*nN， 12 11 231 n nn n ，故 312 1

27、1 12 (*) n nn n bbb aanN bbb 21 （15 分）如图，抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为(1,0)F，过点(2,0)T的直线与抛物线 C交于点A，B，直线AF，BF分别与抛物线C交于点 1 A， 1 B （）求抛物线C的标准方程；（）求 1l FAB与FAB的面积之和的最小值【解答】解：（）由题意可知，1 2 p ，则2p ，所以抛物线C的标准方程 2 4yx；（）由题意可知，设直线AB的方程：2xmy，设 1 (A x， 1) y， 12 (A x， 2) y，联立方程组 2 4 2 yx xmy ，消去x，整理得 2 480ymy ，则

28、12 4yym， 12 8y y ，第 17 页（共 18 页）设 13 (A x， 3) y， 14 (B x， 4) y，直线 1 AA的方程1xny，联立方程组 2 4 1 yx xny ，消去x，整理得 2 440yny，则 13 4yyn， 13 4y y ，则 3 1 4 y y ， 2 3 3 2 1 4 4 y x y ，同理得到： 4 2 4 y y ， 2 4 4 2 2 4 4 y x y ，则 1 1 341212 3412 22 12 44 2 44 A B yyyyy y k xxyym yy ，则直线 11 A B的方程为： 2 11 424 ()yx

29、 ymy ，即 112121 222 1111 84()284222121 ()() 2 myy yyyy yxxxxx mmyymmymmymmm ，则直线 11 A B过定点 1 ( ,0) 2 ，所以 1 1 12 3412 1212 11441 | | 448 FA B yy Syyyy yyy y ， 12 1 | 2 FAB Syy ，所以 1 1 22 121212 5555 2 |()41632 8882 FA BFAB SSyyyyy ym ，当且仅当0m 时等号成立所以 1l FAB与FAB的面积之和的最小值 5 2 2 22 （15 分）已知函数 1 ( )(

30、)f xalnxaR x （）若1a ，求函数( )f x的单调区间；（）若存在两个不等正实数 1 x， 2 x，满足 12 ()()f xf x且 12 2xx，求实数a的取值范围【解答】解：（）当1a 时 1 ( )f xlnx x ，则 22 111 ( ) x fx xxx ，当01x时，( )0fx；当1x 时，( )0fx，函数( )f x的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)；（）设 12 0xx，由 12 ()()f xf x得 12 12 11 alnxalnx xx ，则 112 212 xxx aln xx x ， 0a，又 12 2xx，第 18 页（共 18 页） 22 11212 21221 2 xxxxx aln xx xxx ，设 1 2 1 x t x ，则 1 2alntt t ，令 1 ( )2(1)g ttalnt t t ，则 2 2 21 ( ) tat g t t 且g（1）0， ( )g t 在(1,)上存在两个不同的根， 2 2 1 2 440 a a ，解得1a 综上，实数a的取值范围为(1,)

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