1、数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）1 内江市高内江市高 20202020 届届自测自测试题试题 数学（数学（理工理工类）参考答案及评分参考类）参考答案及评分参考 一选择题（每小题一选择题（每小题 5 5 分，共分，共 1212 题，共题，共 6060 分）分） 1.D2.C3.B4.A5.C6.B7.C8.A9.B10.C11.D12.A 二填空题（每小题二填空题（每小题 5 5 分，共分，共 4 4 小题，共小题，共 2020 分）分） 13. 45014. 115. 15 8 16. 3 三解答题（共三解答题（共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17. 解： （1） *
2、 1 2 4 n n n a anN a 1 4121 22 n nnn a aaa 3 分 1 242 1221 nnn aaa 又 1 2 1 10 a 2 1 n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 6 分 （2）由（1）知 1 2 12n n a 1 2 1211 2 22 n n n a 9 分 故其前n项和为 1 1 1 2 1 2 2 1 222 n n n nn S 数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）2 数列 1 n a 的前n项和为: 1 1 2 2 n n . 12 分 18.解： （1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M. 1 分 M发生有两种可能:抢到题且
3、答对,对方抢到题且答错3 分 13112 25255 P M 比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为: 2 5 . 5 分 （2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为 2 5 , 3 5 根据比赛规则,X的所有可能取值分别为2 3 4， ， 6 分 则 2 24 52 2 5 P X 7 分 32 1 2 33 251 55 525 3 1 CP X 9 分 45154 1 251251 4 25 P X 10 分 X的分布列为: X234 P 4 25 51 125 54 125 45154409 234 25125125125 E X .12 分 19. 解：证明：
4、 （1）取BC中点O，连结,AO DO 数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）3 5BDCD DOBC， 22 2DOCDOC DO 平面BCD，平面DBC 平面ABCBC，平面BCD 平面ABC DO 平面ABC AE平面ABC2 分 AEDO 又2DOAE 四边形AODE是平行四边形，故EDAO 3 分 ABC是等边三角形 AOBC AO平面ABC，平面BCD平面ABCBC，平面BCD 平面ABC AO 平面BCD ED 平面BCD ED 平面EBD 平面EBD 平面BCD 5 分 （2）由（1）得AO 平面BCD，AODO， 又,DOBC AOBC， 分别以,OB AO OD所在直线为
5、 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系 6 分 则0,3,0 ,1,0,0 ,0,0,2()(,0,)3,2ABDE 数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）4 平面ABC的一个法向量为0,0,1n 8 分 设平面BED的一个法向量为, ,nx y z ( 1,0,2),( 1,3,2)BDBE 则 20 320 n BDxz n BExyz ，取2x ，得2,0,1n 10 分 设平面BED与平面ABC所成锐二面角的平面角为 则 |15 cos 5| |5 m n mn 平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 5 5 12 分 20.解： （1）离心率为 3 2 ,可得 3 2 c
6、a 又 12 MFF的面积为 3,可得 1 2 1 23 2 MF F Sc b 根据椭圆C： 22 22 10 xy ab ab ,可得 222 abc 联立解得: 2 4a , 2 1b 椭圆方程为 2 2 1 4 x y4 分 （2）设直线l:2xt y， 11 ,A x y， 22 ,B xy 由 2 2 2 1 4 xt y x y ,消掉x得: 2222 42 2240tyt yt 数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）5 根据韦达定理: 2 12 2 2 2 4 t yy t , 2 12 2 24 0 4 t y y t , 2 2t 6 分 422 844240ttt ，
7、2 4t 12 PQQABQ 1122 2yy ，故 12 12 1212 222 2 6 yy yyy y 2 22 1212 12yyy y，即 2 22 121212 412yyy yy y8 分 2 2 42 222 22 24 8816 12 4 44 t tt t tt ，即 42 31180tt 10 分 解得 2 1t （舍）或 2 8 3 t 直线l: 6 2 4 yx . 12 分 21. 解： （1）当0k 时，( )12() x f xxe，( ) x fxxe1 分 令0)( x xexf，解得0x ( )f x在区间(,0) 上是减函数，在区间(0,)上是增函数3
8、分 0x 时，函数 ( )f x取得极小值，(0)1f ，无极大值.4 分 （2）()( )22 xx fxxekxx ek 当0k 时， 20 x ek ( )f x在区间(0,)上是增函数 数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）6 ( )f x在区间 0,上的最小值为(0)f，且(0)1f，符合题意7 分 当0k 时，令( )0fx ，得0x 或ln2xk 当 1 0 2 k时，ln20k ，在区间(0,)上( )0fx，( )f x为增函数 ( )f x在区间 0,上的的最小值为(0)f，且(0)1f，符合题意9 分 当 1 2 k 时，ln20k 当(0,ln2 )xk时，( )0f
9、x ， ( )f x在区间(0,ln2 )k上是减函数 (ln2 )(0)1fkf，不满足对任意的0,x，( )1f x 恒成立11 分 综上，k的取值范围是 1 (, 2 12 分 22解： （1）圆 2 C: 22 20xyx,其极坐标方程为2cos 1 分 联立 1 C:1得 1 cos 2 , 3 4 分 所求点的极坐标为1, 3 5 分 （2）设点B的极坐标为2cos , 在AOB中,由余弦定理得: 22 2 2 14cos2 1 2coscos4cos2cos1 3 AB 7 分 又A、B都要在第一象限 0, 6 , 3 cos,1 2 9 分 数学（理工类）参考答案第页（共 7 页）7 43, 3AB . 10 分 23解： （1）设 31g xfxxxxx 4,3 2,13, 43 ,1 xx g xxx x x 其图像如图所示: 3 分 min 31g xg g xm恒成立 , 1m 5 分 （2） 31312f xxxxx，当且仅当13x时等号成立 2s ，即2abc 7 分 原不等式等价于 114 8 abc ,由柯西不等式得: 2 11411 16 2 abcabc abcabc 9 分 114 8 abc ，当且仅当 1 2 a , 1 2 b ,1c 时等号成立10 分
