1、 - 1 - 上饶市 2020 届六校高三第一次联考 （上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学） 文科数学试卷 第卷 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1. 已知集合1,2, 1A，集合 2 |,By yxxA，则AB （ ） A. 1 B. 1,2,4 C. 1,1,2,4 D. 1,4 2. 若复数 1 ai aR i 为纯虚数，则3 ai（ ） A. 13 B. 13 C. 10 D. 10 3. 函数 2 1 cos 1 x f xx e 图
2、象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 给出以下命题： 已知命题p：xR ， 2 10xx ，则p： 0 xR， 2 00 10xx ； 已知, ,a b cR，ab是 22 acbc的充要条件； 命题“若 1 sin 2 ，则 6 的否命题为真命题”. 在这 3 个命题中，其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 设函数 2 logf xx，若 3 log 2af， 5 log 2bf， 0.2 2cf，则a，b，c的 大小关系为（ ） - 2 - A. abc B. bca C. cab D. bac 6. 已知非零向量a，b满足ak b，且 ba
3、b，若a，b的夹角为 2 3 ，则实数k的 值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2 7. 甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7 位评委的评分情况如茎 叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数a、b满足：x， a，b，y成等比数列，则2ab的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 2 2 D. 4 2 8. 若双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截得的弦长 为2 2，则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 3 3 9. 在ABC中 ， 角A，B
4、，C的 对 边 分 别 是a，b，c， 且 面 积 为S， 若 coscos2 cosbCcBaA， 222 1 4 Sbac，则角B等于（ ） A. 2 B. 5 12 C. 7 12 D. 3 10. 已知三棱锥ABCD中，CD平面ABC，RtABC中两直角边5AB，3AC ， 若三棱锥的体积为 10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 50 B. 25 C. 25 2 D. 25 4 11. 已知函数 2 sin0, 2 fxx ，过点,0 12 A ，,2 3 B ，当 - 3 - 5 , 12 12 x ， 2cos 4 3 g xmf xx 的最大值为 9，则m的值为（ ）
5、A. 2 B. 5 2 C. 2 和 5 2 D. 2 12. 已知函数 211 x f xxemxm m，若有且仅有两个整数使得 0f x ， 则实数m的取值范围是（ ） A. 2 35 , 23ee B. 2 58 , 23ee C. 2 15 , 23e D. 5 1, 2e 第卷 二、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 函数 cos x f xex的图象在点 0,0f处的切线方程为_. 14. 设变量x，y满足约束条件 20 40 440 xy xy xy ，则 1 1 y x 的最大值是_. 15. 已知等比数列 n a的公比不为 1，且 n a前n项和为
6、 n S，若满足 2 a， 5 2a， 8 3a成等差 数列，则 3 6 S S _. 16. 如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，3OA，5AB， 6 COD ，点E在弧CD上，F在AB上， 3 EOF .设FOCx，则当平面区域 OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cosx_. - 4 - 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 70 分. 17. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 5 35S ， 21 aa， 42 aa， 12 aa成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 * 1 1 n nn bnN a a ，求数列
7、n b的前n项和 n T. 18. 如图所示，在四棱锥SABCD中，290BADCDACBDABD ，平面 SBD平面ABCD，且SBD为边长为2的等边三角形.过S作/STBD，使得四边形 STDB为菱形，连接TA，TD，TC. （1）求证：DS 平面TBC； （2）求多面体ABCDTS的体积. 19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数2.5PM浓度，制 定了空气质量标准： 空气污 染指数 0,50 50,100 100,150 150,200 200,300 300, 空气质 量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市， 节
8、能减排， 从 2010 年开始考查了连续六年 11 月份的空气污染指 数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从 2016 年 11 月 1 日起在空气质量重度污染 - 5 - 和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双 号的车辆双号出行（尾号为字母的，前 13 个视为单号，后 13 个视为双号）. （1）某人计划 11 月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率； （2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的 11 月份共 90 天 的空气质量进行统计，其结果如表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天
9、数 16 39 18 10 5 2 根据限行前 6 年 180 天与限行后 90 天的数据， 计算并填写2 2列联表， 并回答是否有90%的 把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 限行后 合计 参考数据： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 20. 已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F，P为抛物线上一点，当P的横坐标为 1 时， 3 2 PF .
10、 （1）求抛物线C的方程； - 6 - （2）已知过定点,0M m的直线l：xkym与抛物线C相交于A，B两点，若 22 11 AMBM 恒为定值，求m的值. 21. 已知函数 lnf xxx， 2 1 2 g xaxax， 1 x h xmxe. （1）讨论 F xg xf x的单调性； （2）若不等式 h xf x对任意0,x恒成立，求m的取值范围 请考生在第 22、23 题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清 题号. 22. 选修 4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为 1 cos sin x y （为参数）.以O为极点，x 轴的
11、正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 3 sin 62 . （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若A、B为曲线C上的两点，且 3 AOB ，求OAOB的最大值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 211f xxx . （1）求不等式 2f xx的解集； （2）若函数 yf x的最小值记为m，设0a，0b，且有abm，求 12 12bb 的最小值. 上饶市 2020 届六校高三第一次联考 数学答案（文科） 一、选择题（125=60 分） 1-5：ADBCD 6-10：CDCBA 11-12：BA 二、填空题（45=20 分） - 7 - 13. 10x
12、y 14. 2 15. 3 4 16. 4 5 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由题意， 1 2 1 5 4 535 2 42 ad ddad ，解得： 1 3a ，2d ， 32121 n ann ； （2） 1 11111 (21)(23)2 2123 n nn b a annnn ， 1 111111 2 35572123 n T nn 1 11 2 32369 n nn . 18.（1） 证明：90CBD，CBBD， 又平面SBD平面ABCDBD，平面SBD平面ABCD， 故CB
13、平面SBD； 又SD平面SBD，故CBDS； 又四边形STDB为菱形，DSBT， DS 平面TBC. （2） 13 2223 22 2 BSTDBDS SS ， 126 23 322 ABCDTSA BSTDC BSTD VVV . 19.（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为 10.003 0.0040.005 0.006500.1， 因为限行分单双号，某人因空气污染被限号出行的概率为 0.05. （2）列联表如下： 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 90 90 180 限行后 55 35 90 - 8 - 合计 145 125 270 由表中数据可得 2 2
14、270 (90 3590 55) 2.9792.706 180 90 145 125 K ， 所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 20. 解： （1）抛物线C的准线方程为 2 p x ，焦点,0 2 p F ， 当P的横坐标为 1 时， 3 2 PF ， 3 1 22 p ，解得1p ， 抛物线C的方程为 2 2yx. （2）由直线l的方程为xkym与抛物线C： 2 2yx联立， 消去x得： 2 220ykym，则 12 2y ym ， 12 2yyk， 11 xkym， 22 xkym， 2222 22 1122 1111 xmByyMmAxM 2222 12 11
15、11kyky 2 22 1212 12 222222 1212 2 11 yyy yyy ky yky y 22 2222 44 141 kmkm kmkm ， 对任意kR恒为定 值， 当1m，此时 22 11 1 AMBM ，1m，满足题意. 21.（1） 2 1 (1)ln 2 axaxF xx， 1(1)(1) ( )1(0) axx F xaxax xx ， 当0a时， 0Fx ，所以 F x在0,上单调递减； 当0a时，可知 F x在 1 0, a 上单调递减，在 1 , a 上单调递增. （2）不等式 h xf x对任意0,x恒成立，即1ln x mxexx 恒成立， 因为0x，所
16、以 ln1 x xx m xe ， 令 ln1 x xx G x xe ， - 9 - 2 (1)( ln) ( ) x xxx G x x e ， 令 lnp xxx， 1 10px x ， 故 p x在0,上单调递减，且 11 10p ee ，(1)10p ， 故存在 0 1 ,1x e 使得 000 ln0p xxx， 即 00 ln0xx即 0 0 x xe， 当 0 0,xx时， 0p x ， 0Gx ； 当 0, xx， 0p x ， 0Gx ； 所以 000 00 max0 0 ln11 ( )1 xxx xx G xG x x eee ， 故实数m的取值范围是1m. 22. 解
17、： （1）C：2cos，l：330xy. （2）不妨设2cosOA，2cos 3 OB ， 则2cos2cos 3 OAOB 2cos2cos 3 2 3sin2 3 3 ， OAOB的最大值为2 3. 23. 解： （1）因为 3 ,1 1 2112, 1 2 1 3 , 2 x x f xxxxx x x . 从图可知满足不等式 2f xx的解集为0,1. - 10 - （2）由图可知函数 yf x的最小值为 3 2 ，即 3 2 m . 所以 3 2 ab，从而 9 12 2 ab ， 从而 12212 (1)(2) 12912 ab abab 222(1)22 2(1) 332 912912 baba abab 64 2 9 . 当且仅当 22(1) 12 ba ab 时，等号成立， 12 12ab 的最小值为 64 2 9 .
