1、试卷第 1页，共 4页重庆市育才中学高 2023 届高三（下）开学考试重庆市育才中学高 2023 届高三（下）开学考试数学试题 数学试题 本试卷为第 I 卷（选择题）和第 II 试卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上.2作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将答题卡收回.第 I 卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第 I 卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只
2、有一项是符合题目要求的1已知集合 P04xx，Q，则 PQAB34xxC03xxD03xx2若复数z满足iiz43（i为虚数单位），则下列结论正确的有Az的虚部为3iBz的共轭复数为43iz C5z D在复平面内z是第三象限的点3函数xexxxf)(2)(3的图象大致是ABCD4水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品如图所示，现有棱长为 2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm2）A124 3B164 3C123 3D163 35在数列 na中，已知对任意正整数n，有1221nnaaa，则2221
3、2naaa等于A221nB2(21)n试卷第 2页，共 4页C41nD1413n6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是A.59B.49C.716D.9167 已知函数)(xf对任意Rx都有)()2(xfxf，且当2,0 x时，)1(log)
4、(2xxf，则)2023()2023(ff=A2B1C1D28.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点(3,1)M射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为A.910B.926C.712612D.832612二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、选择题：本题共 4 小题，每
5、小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9将函数)32cos(xy的图象向左平移4个单位长度得到函数()f x图象，则Asin(2)3yx是函数()f x的一个解析式B直线712x是函数()f x图象的一条对称轴C函数是周期为的奇函数D函数()f x的递减区间为512k，12k(kZ)10.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据 1122,iix yxyx y则下列结论正确的是A若求得的经验回归方程为?=0.6 0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系B若这组样本数据分别是 1,1,2,1
6、.5,4,3,5,4.5，则其经验回归方程ybxa必过点3,2.25C若同学甲根据这组数据得到的回归模型 1 的残差平方和为11E.同学乙根据这组数据得到的回归模型 2 的残差平方和为2=2.1，则模型 1 的拟合效果更好D若用相关指数2R来刻画回归效果，回归模型 3 的相关指数230.41R，回归模型 4 的相关指数240.91R，则模型 4 的拟合效果更好11已知0a，0b，下列命题中正确的是A若20abab，则29abB若2ab，则11522abab试卷第 3页，共 4页C若2ab，则lglg0abD若111123ab，则146 6abab12关于函数 2lnf xxx，下列说法正确的是
7、A02x 是 f x的极小值点；B不存在正整数k，使得 f xkx恒成立；C函数 yf xx有 2 个零点；D对任意两个正实数1x，2x，且12xx，若 12f xf x，则124xx第第卷三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分卷三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若非零向量a、b,满足ba，2abb,则a与b的夹角为_14二项展开式01223344555)12(axaxaxaxaxax，则123452345aaaaa_15双曲线C：222210,0 xyabab的左、右焦点分别为12,0F、22,0F，M是C右支上的一点，1MF与y轴交于点P，2
8、MPF的内切圆在边2PF上的切点为Q，若2PQ，则C的离心率为_16已知侧棱长为3的正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD的边长为_，此时球O的表面积为_四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sin2=3(2+2 2)（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且=3，求 a+2的最大值18（12 分）“新冠”是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.三年来，我国疫情防控，强调人民至上、生命至上.
9、明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.近期，在病毒致病性大幅度减弱的前提下，为了经济的发展，有序放开，尽快复产复工复学。为了普及“新冠”防治知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，某市团委在全市学生范围内，以“线上”的形式组织了一次“新冠”防治及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分 100 分），竞赛奖励规则如下：得分在70，80）内的学生获三等奖，得分在80，90）内的学生获二等奖，得分在90，100内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频数分布表.试卷第 4页，共 4页竞赛成绩30,40)
10、40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数61218341686（1）从该样本中随机抽取 2 名学生的竞赛成绩，求这 2 名学生恰有一名学生获奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布(64,225)N，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取 4 名学生进行面对面座谈，设其中竞赛成绩在 64 分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.19（12 分）设nS为正数数列 na的前n项和，且=1+2（1）求数列 na的通项公式；（2）若=sin23，求数列 nb的前 99 项和9920（12 分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，
11、BCD=23，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1（1）求证：平面EFD平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为3421（12 分）如图所示，已知01P，在椭圆222:1 024xybb上，圆222:10Cxyrr，圆C在椭圆内部.（1）求r的取值范围；（2）过01P，作圆C的两条切线分别交椭圆于,A B点（,A B不同于P），直线AB是否过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由.22（12 分）已知 32logaf xxex（0a 且1a）（1）试讨论函数 f x的单调性；（
12、2）当1a 时，若 f x有三个零点123,x x x.求a的范围；设123xxx，求证：3331233222xxxe.第 1 页 共 7 页数学试卷参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的8.如下图所示：因为3,1M，所以1AMyy，所以2144AAyx，所以1,14A，又因为1,0F，所以1 0:01114ABlyx，即4:13ABlyx，又24134yxyx，所以2340yy，所以1y 或4y ，所以4By ，所以244BByx，所以4,4B，又因为1254244ABABAFBFxxp，111344MAAMxx，
13、22434 126BM ，所以ABM的周长为：25112692644ABAMBM，故选：B.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9101112BDACDBCDABD11.21201ababab，2142(2)()48baabababab，故 A 错误；211()155242442aaababbabbabba，故 B 正确；若2ab，则2()12abab，故lglglg0abab，C 正确；(1)(2)(1)1(1)(2)()(1)13312abababaaabab
14、2(1)3(2)12(1)3(2)(3)1312ababab914146(2)61()621baab，D 正确12对于 A 选项，函数的的定义域为0,，函数的导数 22212xfxxxx，0,2x时，0fx，函数 f x单调递减，2,x时，0fx，函数 f x单调递增，2x 是 f x的极小值点，故 A 正确；12345678BCCADBDB第 2 页 共 7 页对于 B 选项，若 f xkx，可得 22lnf xxkxxx，令 22ln xg xxx，则 34lnxxxgxx，令 4lnh xxxx ，则 lnh xx，在0,1x上，0hx，函数 h x单调递增，1,x上，0hx，函数 h
15、x单调递减，130h xh ，0gx，22ln xg xxx在0,上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得 f xkx成立，故 B 正确；对于 C 选项，2lnyfxxxxx，22217212410 xyxxx ，函数在0,上单调递减，又 112ln1 1 10f ，221 ln220f，函数 yf xx有且只有 1 个零点，故 C 错误；对于 D 选项，由12xx，12f xf x结合 A 选项可知122,02xx，要证124xx，即证124xx，且1242xx，由函数 f x在2,x是单调递增函数，所以有124xffx，由于 12f xf x，所以224xffx，即证明 4,0,
16、2f xfxx，令 224lnln 4,0,24m xfxfxxxxxx，则 2228204xmxxx，所以 m x在0,2是单调递减函数，所以 20m xm，即 4,0,2f xfxx成立，故124xx成立，所以 D 正确.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分131201410152162，916设四棱锥的高为h，则，V2（1+h）（1h），当h1 时，V最大，此时底面ABCD的边长为 2，设球半径为R，则 2+（R R1）2R2，解得R，球O的表面积为S4（）29四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 3 页 共 7 页17（1）由 2sin
17、2=3(2+2 2)得 sin2=3(2+2c2)2ac1 分2sin cos=3cos2 分sin=32或 cos=03 分所以=3或2或235 分（2）由ABC为锐角三角形，=3，根据正弦定理所以+2=sin(sin+2sin)=2sin+4sin(+3)7 分所以+2=4sin+2 3cos=2 7sin(+)9 分其中为锐角，tan=32.所以+2的最大值为 2 710 分18（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的 6 人，获二等奖的 8 人，获三等奖 的 16 人，共 30 人，则 70人没有获奖1 分所以从该样本中随机抽取 2 名学生的竞赛成绩，这 2 名学生恰有一名学生获奖
18、的概为1130702100C C30 7014C50 9933P5 分.（2）该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布(64,225)N，所以64所以1(64)2P X，即从所有参赛学生中随机抽取 1 名学生，该生成绩在 64 分以上的概率为126 分所以随机变量14,2B7 分所以4444111()CC222kkkkPk （0k，1，2，3，4），所以40411(0)C216P，41411(1)C24P，42413(2)C28P，43411(3)C24P，44411(4)C216P，所以的分布列为01234P11614381411611 分所以1()422E12 分19（1）=(1+)24
19、,+1=(1+1)24,两式相减4+1=(1+1)2(1+)22 分第 4 页 共 7 页化简得+12 2=2(+1+)3 分又 0,所以+1=2,所以数列 na为等差数列4 分在=1+2中令=1 得1=15 分因此数列 na的通项公式为=2 16 分（2）由sin23的周期为 37 分32+31+3=32(6 5)32(6 3)+0=3 10 分(=1,2,33)因此99=(1+2+3)+(4+5+6)+(97+98+99)=33 312 分20（1）证明：在梯形ABCD中，ABCD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD为等腰梯形，因为23BCD，则23ADC，所以6BACACD 又因为3A
20、BCBCD，则2ACBABCBAC，ACBC2 分因为CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF3 分BCCFC，AC平面BCF4 分因为四边形ACFE为矩形，ACEF，则EF平面BCF5 分EF在平面EFD内因此，平面EFD平面BCF6 分（2）因为CF平面ABCD，ACBC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在RtABC中，3tan6BCAC则A(3，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(3，0，1)，设点M(t，0，1)，其中03t 7分设平面MAB的法向量为111,mx y z3,1,0AB ，3
21、,0,1AMt 由3030m ABxym AMtxz ，取1x，可得1,3,3mt8 分易知平面FCB的一个法向量为1,0,0n，第 5 页 共 7 页21cos,43m nm nm nt =3410 分所以，t=33，即点M在到E的距离为33的位置12 分21由题意1b，故椭圆方22:14xy1 分（1）设00,xy为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则222001xyr恒成立，即222200003112244xxxxr 对任意02,2x 恒成立，令 2322,2,24f xxxx，则 2,93fx，则603r.5 分（2）思路一：设11,A x y，22,B xy，1:1PA yk x，2
22、:1PB yk x（由（1）1r 斜率都存在）由于两直线均与圆 C 相切，则1222211122222222112101112101krrkkrkkrkkrrk ，则12,k k为方程2221210rxxr 的两根，由韦达定理可知12212211kkrk k 8 分思路一：设:AB ykxm，2222214844044ykxmkxkmxmxy由韦达定理可知12221228144414kmxxkmx xk，由12121212121211111yyk ky yyyx xxx .则 221212121212211110kxmkxmk xxmx xkx xk mxxm 2222244851110350
23、14143mkmkk mmmmkk .故AB过定点50,3.思路二（曲线系）：设:1AB mxny，则椭圆2214xy可设为第 6 页 共 7 页1211110ymxnyk xyk xy，注意1 21k k，二元二次式2214xy含y项的系数为 0，2x项的系数与2y项的系数之比为14.则121 201212313354nnnnk knnn 则AB方程为315mxy，故AB过定点50,3.22（1）注意0 x，332log,02log,0aaxexxf xxexx，则 223lnfxexxa.令 323ln00lnexafxxa.当1a 时，i：0 x 时，33223ln003 lnexaxe
24、aii：0 x 时，33223ln003 lnexaxea，此时无解.故当1a 时，f x在,0，22,3 lnea上单点递减，在320,3 lnea上单调递增当01a时，i：0 x 时，33223ln003 lnexaxea，此时无解ii：0 x 时，33223ln003 lnexaxea，故当01a时，f x在32,3 lnea，0,上单点递减，在32,03 lnea上单调递增.（2）1a，32logaxex有三个零点32lnlnxaex，令 32ln xg xex，g x为奇函数.当0 x 时，32ln xg xex，426ln xgxex，令 300,0 xxegx，故 g x在30,e上单调递增，3,e 单调递减，结合 g x的对称性，g x图象如下图：又3223gee，有三零点，则223220ln13eaaee.第 7 页 共 7 页由于12101xx ，只需证明：33232xxe.由于33322333322232333333332lnln2lnln23lnlnln232lnlnlnln3xexaxexaxxe xxaxexaxexa则有3333332323233323222222lnln3 ln33xxxxexxexxeaee.则333123323 1222xxxee .
