1、 全国全国 100 所名校最新高考模拟示范卷数学卷所名校最新高考模拟示范卷数学卷（七七） （120 分钟 150 分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1复数z的实部是虚部的两倍，且满足 15 1 i za i ，则实数a （ ） A1 B5 C1 D9 2已知集合 2 |30Ax xx， * |23,Bx xnnN，则AB（ ） A 3, 1 B1,3 C0,1,3 D0,1,2,3 3已知点(1,1)A，( 1,2)B ，
2、点C在直线20xy上，若ACAB uuu ruuu r ，则点C的坐标是（ ） A( 2,1) B(2, 1) C 2 1 , 5 5 D 21 , 55 4已知3sin24tan()，且()kkZ，则cos2等于（ ） A 1 3 B 1 3 C 1 4 D 1 4 5执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ） A1 B 1 2 C 5 6 D 37 66 6我国法定劳动年龄是 16 周岁至退休年龄（退休年龄一般指男 60 周岁，女干部身份 55 周岁，女工人 50 周岁） 为更好了解我国劳动年龄人口变化情况，有关专家统计了 20102025 年我国劳动年龄人口和 1559 周岁人口数量（
3、含预测） ，得到下表： 其中 2010 年劳动年龄人口是 9.20 亿人，则下列结论不正确的是（ ） A2012 年劳动年龄人口比 2011 年减少了 400 万人以上 B20112018 这 8 年 1559 周岁人口数的平均数是 9.34 亿 C20162018 年，1559 周岁人口数每年的减少率都小于同年劳动人口每年的减少率 D20152020 年这 6 年 1559 周岁人口数的方差小于这 6 年劳动人口数的方差 7已知直线:20l kxyk与双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的 距离为 4 3 ，则双曲线C的焦距为（ ） A4 B6
4、 C2 3 D8 8 已知函数( )lnf xxx的图象在 1 xx和 2 xx处的切线互相垂直， 且 12 1 2 x x ， 则 12 xx（ ） A2 B3 C4 D6 9我国古代数学著作九章算术有如下问题“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈问积几何？” 题中的“圆亭”是一个几何体，其三视图如图所示，其中正视图和侧视图是高为 1 丈的全等梯形，俯视图 中的两个圆的周长分别是 2 丈和 3 丈，取3，则该圆亭外接球的球心到下底面的距离为（ ） A 5 12 丈 B 17 36 丈 C 29 72 丈 D 31 72 丈 10 若函数( )2sin(2)3 0 2 f xx 在, 4 24
5、 上有两个零点， 则的取值范围是 （ ） A, 6 3 B 5 , 4 12 C 5 , 6 12 D, 6 2 11 已知函数( )f x是R上的函数， 当0x时， 22 11 ( )loglog 12 x f x x 若 0 2f x， 则 0 x （ ） A 1 2 或3 B1 或 1 2 C3 D1 12 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中，E是 1 AA的中点， 点F是AD上一点， 1 2ABAA，3BC ， 1AF 动点P在上底面 1111 ABC D上，且满足三棱锥PBEF的体积等于 1，则直线CP与 1 DD所成角 的正切值的最大值为（ ） A 5 2 B 6 2
6、 C2 D2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知实数x，y满足约束条件 220 10 40 xy xy xy ，则4xy的最大值为 14一个书架的其中一层摆放了 7 本书，现要把新拿来的 2 本不同的数学书和 1 本化学书放入该层，要求 2 本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有 种 （用数字作答） 15在ABC中，3 coscoscAaC，且sinsin3sinaAcCB，则b 16椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为( ,0)F c，直线2 2
7、0xy与C相交于A、B两点若 0AF BF uuu r uuu r ，则椭圆C的离心率为 三三、解答题：共解答题：共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17在等差数列 n a中， 3 9a ， 56 248aa各项均为正数的等比数列 n b的首项为 1，其前n项和 为 n S，且 23 19aS （1）求 n a与 n b； （2）设数列 n
8、c满足 132 log nnnn ccab ， 1 1c ，求 12 111 n a ccc 18如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，90BADADC，22 2CDAB， 2AD ，E是BC上一点，且3BCBE （1）求证：BC 平面PDE； （2）F是PA的中点，若二面角ABCP的平面角的正切值为 3 2 ，求直线CF与平面PEF所成角的 正弦值 19秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市 50%的企业 进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示： 评估得分 (0,60) 60,70) 70,80) 80,100) 评定等
9、级 不合格 合格 良好 优秀 奖励（万元） 50 20 40 80 （1）环保部门对企业抽查评估完成后，随机抽取了 50 家企业的评估得分（40分）为样本，得到如下频 率分布表： 评估得分 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100) 频率 0.04 0.10 a b 0.20 0.12 其中a、b表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是 73.6现从样本外的数百个企业评估 得分中随机抽取 3 个，若以样本中频率为概率，求至少有两家企业的奖励不少于 40 万元的概率； （2）某企业为取得一个好的得分，在评估前投入 80 万元进行技术改造，由于
10、技术水平问题，被评定为“合 格” “良好” 和 “优秀” 的概率分别为 1 6 ，1 2 和 1 3 ， 且由此增加的产值分别为 20 万元， 40 万元和 60 万元 设 该企业当年因改造而增加的利润为X万元，求X的数学期望 20直线l过抛物线 2 :4C yx的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点 （1）设点M在第一象限，过M作抛物线C的准线的垂线，A为垂足，且 1 tan 2 MFA，直线 1 l与直线 l关于直线AM对称，求直线 1 l的方程； （2）过F且与l垂直的直线 2 l与圆 22 :(3)3Dxy交于P，Q两点，若MPQ与NPQ面积之和 为4 3，求k的值 21设函数 2 (
11、)1 x f xekx，kR （1）讨论( )f x在(0,)上的单调性； （2）当2k 时，若存在正实数m，使得对(0,)xm ，都有|( )| 2f xx，求实数k的取值范围 （二二）选考题：共选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 已 知 极 点 与 直 角 坐 标 系 的 原 点 重 合 ， 极 轴 与x轴 的 正 半 轴 重 合 ， 曲 线C的 极 坐 标 方 程 是 3 2 sin0 0,0 4 a ，直线l的参数方程是 3 5 4 5
12、 xta yt （t为参数） （1）若2a ，M是圆C上一动点，求点M到直线l的距离d的最小值和最大值； （2）直线 1 l与l关于原点对称，且直线 1 l截曲线C的弦长等于2 6，求实数a的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |1| 24|f xxx （1）若关于x的不等式( ) |1|1|f xmx的解集为R，求实数m的取值范围； （ 2 ） 设 2 min( ),65f x xx表 示( )f x， 2 65xx二 者 中 较 小 的 一 个 ， 若 函 数 2 ()m i n() ,65( 06 )gxfxxxx，求函数( )g x的值域 2020 年普通高等学校招生全国
13、统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 1A 本题考查复数的概念和运算 15 32 1 i zaai i ，由题意得1a 2B 本题考查集合的运算 |03Axx， 1,1,3,5,B ，1,3AB 3 D 本题考查向量的坐标运算 设点( 2 ,)Cm m， 则( 21,1)ACmm uuu r ， (2 , 1 )AB uuu r ，ACAB uuu ruuu r ， 1 4210 5 mmm ，C的坐标是 21 , 55 4B 本题考查余弦的倍角公式由已知得 2 2 cos 3 ， 2 1 cos22cos1 3 5D 本题考查程序框图 1 2 S
14、，1i ； 5 6 S ，2i ； 37 66 S ，3i ，结束循环，输出S的值 6C 本题考查统计知识2012 年劳动年龄人口数比 2011 减少了 460 万人，故 A 项正确；通过计算可判 断 B 项正确；C 项不正确，计算后即可判断，应该是大于；D 项正确，由图得 1559 周岁人口数减幅比较 小，而劳动人口数的减幅比较大 7 B 本题考查双曲线的性质 设直线l与渐近线0bxy平行， l过点( 2,0)， 则有 2 |02 |4 3 1 b b ， 解得 2 8b ， 2 9c ，双曲线C的焦距为 6 8A 本题考查导数的几何意义的应用 1 ( )1fx x ， 1 1 1 1fx
15、x ， 2 2 1 1fx x ，则 12 11 111 xx ，化简得 1 212 210x xxx ， 12 1 2 x x ， 12 2xx 9D 本题考查数学史和三视图由三视图可得，该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为 1 3 丈 和 1 2 丈，高为 1 丈设球心到下底面的距离为x丈，则 22 22 11 (1) 23 xx ，解得 31 72 x 10 C 本 题 考 查 三 角 函 数 的 性 质 ( )2sin(2)3f xx， 则 当, 42 4 x ， 2, 212 x ，0 2 ，又( )f x在, 4 24 上有两个零点， 2 23 123 ， 解得 5 612
16、 11C 本题考查函数的奇偶性的应用当0x 时， 2 log (1)0x， 2 222 11 ( )log (1) log (1)1log (1)2 24 f xxxx ， 0 0x 当0x 时 ， 由 ( )2f x ，得 2 log (1)2x或1，得3x 或 1 2 x （舍去） ，函数( )f x是奇函数， 0 3x 12A 本题考查立体几何的综合应用在底面ABCD上取一点H，使得三棱锥HBEF的体积等于 1， 即三棱锥EBFH的体积等于 1， 由已知条件得 1 3 2 BHF SS 下底面， H与C重合， 过C作CMFE， 且交 11 BC于M，则 111 1 3 B MBC，过M作
17、MNBF，且交 11 AD于N，则 111 1 3 D NAD连接CN， 则平面CMN平面BEF，当点P在MN上运动时，满足三棱锥PBEF的体积等于 1，又直线CP与 1 DD所成角就是直线CP与 1 CC所成角，即 1 1 1 tan C P CCP CC 为所求，当点P与N重合时， 1 C P取最 大值5，即 1max 5 tan 2 CCP 1310 本题考查线性规划的应用根据约束条件画出可行域（图略） ，当取直线220xy和 40xy的交点(2,2)时，4xy取最大值 10 14144 本题考查排列组合先把两本数学书不分开放入该层，有 12 82 C A种摆放方法，再把化学书放入， 有
18、 1 9 C种摆放方法，故共有 121 829 144C A C 种摆放方法 156 本题考查解三角形由余弦定理得 222 222 3 3 coscos bca abc cAaC bb ，即 222 1 2 acb由正弦定理得 22 sinsin3sin3aAcCBacb由得6b 16 3 2 本题考查椭圆的离心率，设 00 2 2,Ayy，0AF BF uuu r uuu r ，即AFBF uuu ruuu r ，| |OFOA uuu ruuu r ， 则 222 00 8yyc， 即 22 0 9yc， 又 22 00 22 8 1 yy ab ， 22 2 0 22 8 a b y b
19、a ， 由得 4224 81890ca ca， 即 42 81890ee， 2 3 4 e 或 2 3 2 e （舍去） ，解得 3 2 e 17解：本题考查等差数列、等比数列和裂项求和 （1）设数列 n a的公差为d，数列 n b的公比为q，则0q ， 3 9a ， 56 248aa，2(92 )9348dd，得3d ， 23 6aad， 23 19aS， 2 2390qq， 又0q ，解得3q ，3d ， 3 n an， 1 3n n b （2）由（1）得 132 log3(21)1 nnnn ccabnnn ， 112211 (1) 12 2 nnnnn n n ccccccccn ，
20、1211 2 (1)1 n cn nnn ，则 111 2 331 n a cnn ， 12 111111116 2 1 22333131 n c n cccnnn 18解：本题考查线面垂直、二面角角以及线面角 （1）证明：PD 底面ABCD，PDBC 过E作EGCD，垂足为G，22 2CDAB，2AD ，3BCBE， 24 33 EGAD， 4 2 3 DG ， 2 2 3 CG ， 222222 28DECEEGDGCGCD，即CEDE， PDDED，BC 平面PDE （2）由（1）得BC 平面PDE PED是二面角ABCP的平面角 PD 底面ABCD， 22 4 3 3 DEDGEG，
21、3 tan 2 PD PED DE ，则2PD 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,0,0)A，(2, 2,0)B，(0,2 2,0)C， 4 4 2 ,0 33 E ，(0,0,2)P，(1,0,1)F， (1,0, 1)PF uuu r ， 4 4 2 , 2 33 PE uuu r ，( 1,2 2, 1)FC uuu r 设平面PEF的法向量为( , )nx y z r ， 则 0 0 PF P n nE uuu r u r uu r r ， 0 44 2 20 33 xz xyz ，令1x ，则 2 1,1 4 n r ， 12 85 |cos,| 851 102
22、 8 FnC u r uu r ， 直线CF与平面PEF所成角的正弦值为 2 85 85 19解：本题考查概率与统计 （1）样本评估得分的平均数是 73.6， 45 0.0455 0.10657585 0.2095 0.1273.6ab， 即657537.9ab，又0.54ab， 由解得0.26a ，0.28b，则企业评估得分不少于 70 分的频率为 0.6， 至少有两家企业的奖励不少于 40 万元的概率 23 2 3 32381 555125 PC （2）依题意，X的可能取值为60，40，20，0，60，且该企业被抽中的概率为 1 2 ，则 111 (60) 2612 P X ， 11111
23、 (40) 26223 P X ， 111 (20) 236 P X ， 111 (0) 224 P X ， 111 (60) 236 P X ， X的分布列为 X 60 40 20 0 60 P 1 12 1 3 1 6 1 4 1 6 111135 ()60( 40)( 20)060 123663 E X 20解：本题考查抛物线概念及其与直线的位置关系 （1）设抛物线C的准线与x轴的交点为B， 根据抛物线的定义得| |MAMF，则MAFMFA MAFAFB ， 1 tan 2 MFA，|2BF ， | | tan1ABBFAFB， 4 tan 3 BFM， 点M的坐标为 1 ,1 4 ，直
24、线MN的斜率为 4 3 ， 直线 1 l与直线l关于直线AM对称， 直线 1 l的方程为 41 1 34 yx ，即4320xy （2）设直线l的方程为(1)(0)yk xk， 与 2 4yx联立得 2222 240k xkxk， 令 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 4 2xx k ， 12 1xx， 2 2 2 22 444 |114 k MNk kk PQMN，直线PQ的方程为 1 (1)yx k ，即10xky ， 圆心(3,0)D到直线PQ的距离为 22 |301|2 11kk ， 圆D的半径为3， 2 2 2 42 31 | 2 3 1 1 k PQ k k
25、， MPQ与NPQ面积之和 22 224 2 11 44 2 3121 |4 3 22 1 kk SMNPQ kkk k ， 直线PQ与圆D有两个交点， 1 (3, 3) k ，且 1 0 k ， 令 2 1 t k ，则(0,3)t， 由 2 4234 3Stt，解得2t 或0t （舍去） ， 2 1 2 k ，得 2 2 k 21解：本题考查导数的综合应用 （1）由 2 ( )1 x f xekx，得 2 ( )2 x fxek， (0,)x， 2 22 x e， 当2k 时，由 2 ( )20 x fxek，得 1 ln 22 k x ，即函数( )f x在 1 ln, 22 k 上单调
26、递增， 由( )0fx，得 1 0ln 22 k x，即函数( )f x在 1 0,ln 22 k 上单调递减； 当2k ，( )0fx在(0,)上恒成立，即函数( )f x在(0,)上单调递增 （2）当2k 时，由（1）结合函数( )f x图象知， 0 0x，使得对任意 0 0,xx，都有( )0f x ，则由|( )| 2f xx得 2 (2)10 x kxe 设 2 (2)10 x kxe ， 2 ( )(2)1 x t xkxe ， 令( )0t x得 12 ln 22 k x ，令( )0t x得 12 ln 22 k x 若24k，则 12 ln0 22 k ， 0 12 0,ln
27、, 22 k x ，( )t x在 0 0,x上单调递减，注意到 (0)0t， 对任意 0 0,xx，( )0t x ，与题设不符； 若4k ，则 12 ln0 22 k ， 1212 0,ln,ln 2222 kk ，( )t x在 12 0,ln 22 k 上单调递增， (0)0t，对任意 12 0,ln 22 k x ，( )0t x 符合题意 此时取 0 12 0min,ln 22 k mx ，可得对任意(0,)xm，都有( )| 2f xx 综上所述，k的取值范围为(4,)k 22解：本题考查直线和圆的极坐标与参数方程 （1） 当2a 时， 由 3 4sin0 0 4 ， 得曲线C是
28、圆 22 40xyy的 3 4 部分， 如图所示， 将直线l的直角坐标方程化为4380xy， 由图得，当M与( 1,1)A 重合时，d取最小值 7 5 ； 又曲线C的圆心(0,2)到直线l的距离为14 5 ，半径1r ， max 1419 1 55 d （2）曲线 222 :()C xyaa，直线:4340lxxa， 圆心C到直线的距离 | 34 | 55 aaa d 由圆C的半径为|a，直线l截圆C的弦长等于2 6， 2 2 22 6 25 a a ，即 4 6 | 2 6 5 a ，解得 5 2 a 经检验 5 2 a 均合题意， 5 2 a 23解：本题考查绝对值不等式 （1）由( )
29、|1|1|f xmx，得| 22| 24| |1|xxm， 关于x的不等式( ) |1|1|f xmx的解集为R， | 22| 24| |1|xxm对任意xR恒成立， | 22| 24| |(22)(24)| 6xxxx， |1| 6m ，解得7m或5m， 实数m的取值范围是(, 75,) （2） 5,1 ( )33, 12 5,2 xx f xxx xx ，设 2 1 65yxx， 在同一平面直角坐标系作出函数( )yf x和 2 1 65yxx的图象， 函数 2 ( )min( ),65 (06)g xf x xxx， 函数( )yg x的图象是图中的实线部分， 则当3x 时，( )g x取最小值4；当1x 或 5 时，( )g x取最大值 0 函数( )g x的值域为 4,0
