1、理科数学试题 A 第 1 页 共 6 页 秘密 启用前 试卷类型： A 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡 的相应位置上 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答 在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡
2、各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效 4考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1设集合01,MxxxR，2,Nx xxR，则 AMNM BMNN CMNM DMN R 2若复数z满足方程02 2 z，则 3 z A22 B22 C2 2 i D 2 2 i 3若直线10kxy 与
3、圆 22 2410xyxy 有公共点，则实数k的取值范围是 A3, B, 3 C0, D, 4已知21:xp，:23qx，则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 理科数学试题 A 第 2 页 共 6 页 5设函数 1 ( )2cos 23 f xx ，若对任意xR都有)()()( 21 xfxfxf成立，则 21 xx 的最小值为 A 2 B C2 D4 6 已知直三棱柱 111 ABCABC的体积为V， 若P，Q分别在 1 AA， 1 CC上， 且 1 1 3 APAA， 1 1 3 CQCC，则四棱锥BAPQC的体积为 A 1 6 V B 2 9
4、 V C 1 3V D 7 9 V 7为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾 分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由10位同学组成了 四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣 传小组各有3位同学现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小 组至少选派1人的概率为 A 5 14 B 9 14 C 3 7 D 4 7 8已知直线l：2yx与x轴的交点为抛物线C： 2 2ypx的焦点，直线l与抛物线C交 于A，B两点，则AB的中点到抛物线C的准线的距离为 A8 B6 C5 D4 9等差
5、数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1 3 a ， 25 4aa，若48 nn Sa * nN， 则 n 的最小值为 A8 B9 C10 D11 10已知点 00 ,P xy是曲线C： 32 1yxx上的点，曲线C在点P处的切线方程与直线 811yx平行，则 A 0 2x B 0 4 3 x C 0 2x 或 0 4 3 x D 0 2x 或 0 4 3 x 理科数学试题 A 第 3 页 共 6 页 11 已知O为坐标原点， 设双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左， 右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P是双曲线C上位于第一象限上的点， 过点 2 F作 12 FPF
6、的平分线的垂线， 垂足为A， 若 12 2bFFOA，则双曲线C的离心率为 A 5 4 B 4 3 C 5 3 D2 12已知函数 2 2 1,0 ( ) 1,0 xxx f x xxx ， ， 若 sin 20201F xf xx在区间1,1 上有m个零点 1 x， 2 x， 3 x， m x，则 123 ( )()()() m f xf xf xf x A4042 B4041 C4040 D4039 二、填空题：二、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共共 2020 分分 13如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等 边三角形，俯视图为一个半径为
7、 1 的圆及其圆心，则这个 几何体的体积为 ，表面积为 14在 5 2 1 1axx x 的展开式中， 3 x的系数是15，则实数a 15已知单位向量 1 e与 2 e的夹角为 3 ，若向量 12 2ee与 12 k2ee的夹角为 5 6 ，则实数k的 值为 16记数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 cossin 22 nn aann n * nN ，且 2019 1009mS ， 1 0a m ，则 1 19 am 的最小值为 理科数学试题 A 第 4 页 共 6 页 三、三、解答题：共解答题：共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤解答应写出文字说明、证明过程和演算
8、步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题（一）必考题：共：共 60 分分 17 （12 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知3c ，且满足 sin 3 sinsinsin abC aAbBcC （1）求角C的大小； （2）求2ba的最大值 18 （12 分） 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加为此， 某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动 的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均
9、每月进行训练的天数x 5x 520x 20x 人数 15 60 25 （1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松运动训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松运动训练的人中随机抽取 4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中 随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分 布列及数学期望 E Y 理科数学试题 A 第 5 页 共 6 页 19 （12 分） 如图 1，在边长为2的等边ABC
10、中，D，E分别为边AC，AB的中点将AED沿 DE折起，使得ABAD,ACAE,得到如图2的四棱锥ABCDE,连结BD，CE，且 BD与CE交于点H （1）求证：AH 平面BCDE； （2）求二面角BAED的余弦值 20 （12 分） 已知M过点A 3,0，且与N： 2 2 316xy内切，设M的圆心M的 轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2） 设直线l不经过点2,0B且与曲线C相交于P，Q两点 若直线PB与直线QB的 斜率之积为 1 2 ，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明 理由 图2图1 B C DE H A B C D E A 理科数学试题 A 第
11、6 页 共 6 页 21 （12 分） 已知函数 32 4 e6 x f xxxx， 1 1 ln 3 g xaxx （1）求函数 f x在0,上的单调区间； （2）用max,m n表示m，n中的最大值， fx为 f x的导数设函数 max,h xfxg x ，若 0h x 在区间0,上恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明： 11111 ln3 12313nnnnn * nN （二）选考题（二）选考题：共共10分请考生在第分请考生在第22、23题中任选题中任选一题作答如果一题作答如果多多做，则按所做的第一做，则按所做的第一 题计分题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面
12、直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3, 1 2 xt yt （t为参数） ，曲线 2 C的参 数方程为 3 , cos 3tan x y (为参数，且, 22 ) （1）求曲线 1 C和 2 C的普通方程； （2）若A，B分别为曲线 1 C， 2 C上的动点，求AB的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数|63|)(axxxf，aR （1）当1a时，解不等式3)(xf； （2）若不等式( )11 4f xx对任意 3 4, 2 x 成立，求实数a的取值范围 理科数学试题 A 第 1 页 共 15 页 绝密 启用前 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）年广
13、州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一一、选择题、选择题 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A D
14、D B C B C A C B C B 二二、填空题、填空题 13 3 3 ，3 145 1510 1616 说明：第说明：第13题中第题中第1个空个空2分，第二个空分，第二个空3分分 三、三、解答题解答题 17解解： （1）根据正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 得 222 3 abc abc 因为3c ，所以 222 ababc【或 22 3abab】 由余弦定理，得 222 1 cos 22 abc C ab 【或 22 31 cos 22 ab C ab 】 ， 因为0C，所以 3 C 理科数学试题 A 第 2 页 共 15 页 （2）由已知与（1）知3c ， 3 C 由
15、正弦定理 sinsinsin abc ABC 3 2 sin 3 ， 得2sinaA， 2 2sin2sin 3 bBA 所以2ba 2 2sin4sin 3 AA 5sin3cosAA 2 7sin+A（其中 3 tan 5 ，0 2 ） 因为 2 0 3 A ，0 6 ，所以 5 0 6 A 所以= 2 A 时，22 7sin+baA取得最大值2 7 所以2ba的最大值为2 7 18解： （解： （1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均 每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A， 则 251 1004 P A 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于
16、20天”的人数为， 则 1 4 4 B ， 所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为 22 2 4 3127 2C 44128 P （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练 的天数不少于20天”有3个 理科数学试题 A 第 3 页 共 15 页 现从这 12 人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y服从超 几何分布，Y的所有可能的取值为0，1，2，3 则 03 39 3 12 C C21 0 C55 P Y ， 12 39 3 12 C C27 1 C55 P Y ， 21 39 3 12 C C27 2
17、 C220 P Y ， 30 39 3 12 C C1 3 C220 P Y 所以Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 P 21 55 27 55 27 220 1 220 所以 27272111653 0123= 22555522022400 E Y 19 （1）证明证明 1：在图1中，因为ABC为等边三角形，且D为边AC的中点， 所以BDAC 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD，所以3BD 因为,D E分别为边,AC AB的中点，所以/EDBC 在图2中，有 1 2 DHED HBBC ，所以 13 33 DHBD 因为ABAD，所以ABD为直角三角形 因为1AD ，3BD ，所以 3
18、 cos 3 AD ADB BD 在ADH中，由余弦定理得 222 2cosAHADDHAD DHADB 1332 12 1 3333 ， 所以 6 3 AH 理科数学试题 A 第 4 页 共 15 页 在ADH中，因为 222 21 1 33 AHDHAD ， 所以AHBD 同理可证AHCE 因为CEBDH,CE 平面BCDE，BD 平面BCDE， 所以AH 平面BCDE 证明证明 2：在图1中，因为ABC为等边三角形，且D为边AC的中点， 所以BDAC 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD，所以3BD 因为,D E分别为边,AC AB的中点，所以/EDBC 在图 2 中，有 1 2 DH
19、ED HBBC ，所以 13 33 DHBD 在Rt BAD中，3BD ，1AD ， 在BAD和AHD中，因为3 DBDA DADH ,BDAADH , 所以BADAHD 所以 0 90AHDBAD 所以AHBD 同理可证AHCE 因为CEBDH,CE 平面BCDE，BD 平面BCDE， 所以AH 平面BCDE （2）解法解法 1：以E为原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，平行于AH的直线 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则1,0,0B， 0, 3,0C， 36 0, 33 A ， 理科数学试题 A 第 5 页 共 15 页 36 0, 33 EA , 1,0,0EB
20、 , 113 ,0 222 EDBC 设平面ABE的法向量为 111 ( ,)x y zm， 则 11 1 36 0, 33 0, EAyz EBx m m 取 0, 2, 1m 设平面ADE的法向量为 222 (,)xy zn， 则 22 22 36 0 33 13 0 22 EAyz EDxy ， ， n n 取 6, 2, 1n 所以, 33 cos 333 m n m n m n 由图可知，二面角BAED的平面角是钝角， 故二面角BAED的余弦值为 3 3 解法解法 2：在四棱锥A BCDE中，分别取AE，AB的中点M，N，连接DM，MN， ND 因为ADE为等边三角形，所以DMAE，
21、 因为BEEC，BEAH，CEAHH， 且,CE AH平面AEC，所以BE平面AEC 因为AE 平面AEC，所以BEAE 因为点M，N分别为边AE，AB的中点， 所以/NMBE. y z x A H ED C B N M A H ED C B 理科数学试题 A 第 6 页 共 15 页 所以NMAE 所以DMN为所求二面角的平面角. 在等边三角形ADE中，因为1AD，所以 2 3 DM. 在ABE中， 11 22 MNEB 在RtABD中，1AD ， 3BD ，所以 2AB. 所以 22 16 1 22 DNANAD . 在DMN中，由余弦定理得 22 2 316 222 3 cos 331
22、2 22 DMN . 所以二面角BAED的余弦值为 3 3 . 20 （ （1）解：）解：设M的半径为R，因为M过点A 3,0，且与N相切， 所以 , 4, RMA MNR 即4MNMA 因为4NA ，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆 设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab 0ab， 则24a，且 22 3cab，所以2a ，1b 所以曲线C的方程为 2 2 1 4 x y （2）解法解法 1：依题意，直线,BP BQ的斜率均存在且不为 0， 设直线BP的斜率为k0k ，则直线BP的方程为2yk x 理科数学试题 A 第 7 页 共 15 页 由 2 2 2 , 1, 4 yk x x
23、 y 得 2222 14161640kxk xk， 解之得 1 2x ， 2 2 2 82 1 4 k x k 因此点P的坐标为 2 22 824 , 1 41 4 kk kk 因为直线BQ的斜率为 1 2 k ， 所以可得点Q的坐标为 2 22 222 , 11 kk kk 当 2 2 k时，直线l的斜率为 2 3 = 2 1 2 PQ k k k 所以直线l的方程为 2 22 2 3 2 1 2 222 11 kk yx k k kk ， 整理得 2 2 3 2 1 21 2 k yx kk k 即 2 3 2 1 2 32 k xy k 此时直线l过定点 2 ,0 3 当 2 2 k时，
24、直线l的方程为 2 3 x，显然过定点 2 ,0 3 综上所述，直线l过定点 2 ,0 3 解法解法 2：当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为： 1 xx 设点 11 ,P x y，则点 11 ,Q xy，依题意 1 2x ， 因为 2 111 2 1111 1 22442 BPBQ yyy k k xxxx ， 理科数学试题 A 第 8 页 共 15 页 所以 2 2 11 1 44 2 xx y 因为 2 2 1 1 1 4 x y，且 1 2x ，解得 1 2 3 x 此时直线l的方程为 2 3 x 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxm 由 2 2 , 1 4 ykxm
25、x y 得 222 418410kxkmxm 需要满足 2 22 816 4110kmkm ，即 22 41mk 设点 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 则有 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 41 41 m x x k 因为 11 ykxm， 22 ykxm， 所以 22 1212 2 4 41 mk y ykxmkxm k 因为 1212 121 212 1 22242 BPBQ yyy y k k xxx xxx ， 所以 1 21212 242x xxxy y 即 222 222 4124 16 4 414141 mmk km kkk ， 即 22 384
26、0mkmk 所以 2 3 mk 或2mk 当 2 3 mk 时，满足 22 41mk，直线l的方程为 2 3 yk x ，恒过定点 2 ,0 3 理科数学试题 A 第 9 页 共 15 页 当2mk时，满足 22 41mk，直线l的方程为2yk x，恒过定点2,0，不 合题意 显然直线 2 3 x 也过定点 2 ,0 3 ， 综上所述，直线l过定点 2 ,0 3 21 （1）解：）解：因为 32 4 e6 x f xxxx， 所以 33 3 e263e2 xx fxxxx 当03x时， 0fx，当3x 时， 0fx，所以函数 f x在0,3上单调递 减，在3,上单调递增， 所以函数 f x的单
27、调递减区间为0,3，单调递增区间为3, （2）解：解：由（1）可知，当x3,时， 0fx 所以要使 0h x 在区间0,上恒成立， 只需 0g x 在区间0,3上恒成立即可 因为 0g x 1 1 ln0 3 axx 以下给出以下给出四种四种求解思路：求解思路： 思路思路1 1：因为0x，所以 1 1 ln0 3 axx 在区间0,3上恒成立， 转化为 1 ln1 3 x a x 在区间0,3上恒成立 令 1 ln1 3 x m x x ，则 2 ln x m x x 因为当0,1x时， 0m x，当1,3x时， 0m x 理科数学试题 A 第 10 页 共 15 页 所以 m x在0,1上单
28、调递增，在1,3上单调递减 所以 4 1 3 m xm所以 4 3 a 所以实数a的取值范围为 4 , 3 思路思路2 2：因为 1 1 ln 3 g xaxx， 则 11 3 gxa x 313 3 ax x 03x 若 1 3 a，则 0gx在0,3上恒成立，所以 g x在0,3上单调递减， 所以 1 33 1 ln3 3 g xga ，由 30g，解得 2ln3 3 a 此时实数a不合题意 若 12 33 a，则 0gx在0,3上恒成立，所以 g x在0,3上单调递减， 所以 1 33 1 ln3 3 g xga ，由 30g，解得 2ln3 3 a 此时实数a不合题意 若 2 3 a，
29、则当 3 0 31 x a 时， 0gx，当 3 3 31 x a 时， 0g x 所以函数 g x在 3 0, 31 a 上单调递减，在 3 ,3 31 a 上单调递增 所以 33 ln 3131 g xg aa ，由 3 ln0 31 a ，解得 4 3 a 此时实数a满足 4 3 a 综上所述，实数a的取值范围为 4 , 3 理科数学试题 A 第 11 页 共 15 页 思路思路3 3：因为 1 1 ln 3 g xaxx，则 11 3 gxa x 因为 1 1 ln0 3 g xaxx在0,3上恒成立， 则 1 110 3 ga，即 4 3 a 因为 11 3 gxa x 在0,3上单
30、调递增， 因为 11 0 3 g a ， 【或【或0x时时， g x】 2 30 3 ga 所以存在 0 x 0,3，使得 0 0 11 0 3 gxa x 当 0 0,xx时， 0 0g x，当 0,3 xx是， 0 0g x 所以函数 g x在 0 0,x上单调递减，在 0,3 x上单调递增 所以 000 11 1 lnln 33 g xg xaxxa 要使 1 1 ln0 3 g xaxx在0,3上恒成立， 只要 1 ln0 3 a ，解得 4 3 a 所以实数a的取值范围为 4 , 3 思路思路4：因为0x，所以 1 1 ln0 3 axx 在区间0,3上恒成立， 转化为 1 1 ln
31、 3 axx 在区间0,3上恒成立 理科数学试题 A 第 12 页 共 15 页 令 1 lns xx ，则 1 0sx x ， 0,3x 所以 s x在0,3上单调递增 而 1 3 yax 是经过原点的直线， 设过原点的直线与 1 lns xx 相切于点 00 ,x y， 则切线方程为 00 0 1 yyxx x ， 因为 00 0 1 yyxx x 过原点，所以 0 1y 因为 00 1 ln yx，所以 0 1x即切点为1,1 所以经过原点且与 1 lns xx 相切的直线方程为yx 所以满足 1 1 ln 3 axx 的条件是 1 1 3 a，解得 4 3 a 所以实数a的取值范围为
32、4 , 3 （3）证明证明1：由（2）可知，当 4 3 a 时，有ln1xx 即ln1xx 则 111 ln1ln n nnn ， 同理 12 ln 11 n nn ， 13 ln 22 n nn ， 131 ln 33 n nn 所以 11111311 lnln 3ln3 12313 n nnnnnnn 所以 11111 ln3 12313nnnnn 证明证明 2：要证 11111 ln3 12313nnnnn ， 即证 11111 1231 3 e3 nnnnn ， 理科数学试题 A 第 13 页 共 15 页 即证 11111 12313 eeeee3 nnnnn 先证明e1 x x 0
33、x ， 事实上，设 =e1 x p xx ，则 =e1 x p x， 当0x 时， =e10 x p x ， 所以 p x在0,上单调递增 所以 00p xp，所以e1 x x 0x 所以 11111 12313 1111 eeeee1+1+1+1+ 1313 nnnnn nnnn 1233131 3 1313 nnnnn nnnnn 所以 11111 ln3 12313nnnnn 22解解： （1）因为曲线 1 C的参数方程为 3, 1 2 xt yt （t为参数） ， 消去参数t，得250xy 所以曲线 1 C的方程为250xy 因为曲线 2 C的参数方程为 3 , cos 3tan x
34、y （为参数） ， 则由 3 cos x ，得 3 cos x ，代入3tany得sin y x ， 消去参数，得 22 3xy 因为, 22 ，所以0x 所以曲线 2 C的方程为 22 3xy0x 理科数学试题 A 第 14 页 共 15 页 （2）因为点A，B分别为曲线 1 C， 2 C上的动点， 设直线20xyb与曲线 2 C相切， 由 22 20, 3, xyb xy 消去y得 22 3430xbxb 所以 2 2 44 330bb ，解得3b 因为0x，所以3b 因为直线250xy与230xy间的距离为： 2 2 35 21 d 8 5 5 所以AB的最小值 8 5 5 23 （1）
35、解：解：因为1a，所以( )321f xxx 当1x时，由347)(xxf，解得1x ，此时x 当21 x时，325)(xxf，解得1x ，此时12x 当2x时，374)( xxf，解得 5 2 x ，此时 5 2 2 x 综上可知， 5 1 2 x 所以不等式的解集为 5 1, 2 （2）解法解法 1：由( )11 4f xx，得3211 4xxax， 因为 3 4, 2 x ，所以5xax 问题转化为5xax 对任意的 3 4, 2 x 恒成立， 所以55xxax 【或【或 22 5xax】 理科数学试题 A 第 15 页 共 15 页 所以255xa 因为当 3 4, 2 x 时，max258x 所以实数a的取值范围为8,5 解法解法 2：由( )11 4f xx，得3211 4xxax， 因为 3 4, 2 x ，所以| 5xax 问题转化为5xax 对任意的 3 4, 2 x 恒成立， 分别作出函数5yx与函数yxa 的图像，如图所示， 要使5xax对任意的 3 4, 2 x 恒成立， 则当 3 4, 2 x 时，函数5yx的图 像在函数yxa的图像的上方 所以当 3 4, 2 x 时，需要满足5axx 且5xax 因为当 3 4, 2 x 时，max258x 所以实数a的取值范围为8,5
