1、2023年中考数学突破训练二次函数-动态几何问题一、综合题1如图1，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴为x1（1）求抛物线L的解析式；（2）如图2，设点P是抛物线L在x轴上方任一点，点Q在直线x3上，PBQ能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由2如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 . （1）求点 ，点 和点 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点 ，求 的值最小时的点 的坐标；（3）若点 是直线 下方抛物线上一动点， 运动到何处时四边形 面积最大，最大值
2、面积是多少？3已知：如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动 （1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？ （2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 ？ 4如图，已知：二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上，（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使ABM
3、的面积等于ABC的面积，求M点坐标5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 轴上的 点，直线 与抛物线在第一象限交于点 （1）求直线 的函数解析式； （2）已知点 是抛物线的对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的面积； （3）若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是 6矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线 与BC边相交于点D （1）求点D的坐标；（2）若抛物线 经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与
4、ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.7如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求二次函数的解析式；（2）若点D在该二次函数的图象上，且SABD2SABC，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且SAPCSAPB，直接写出点P的坐标8如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求AOC和BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点，使PAC
5、的周长最小若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由9如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x1，与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标 （2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积 10如图，已知抛物线上有三点A(-4，0)、B(1，0)
6、、C(0，-3)（1）求出抛物线的解析式； （2）是否存在一点D，能使A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在请求出D点坐标，若没有，请说明理由 （3）在（2）问的条件，P为抛物线上一动点，请求出|PD-PB|取最大值时，点P的坐标 11已知：抛物线经过，三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值（3）如图，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点直接写出的周长 ；直接写出的值 12综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 、 的长
7、是不等式组 的整数解 ，点 在抛物线上（1）求抛物线的解析式及 的值； （2） 轴上的点 使 + 的值最小，则 ； （3）将抛物线向上平移，使点 落在点 处当 时，抛物线向上平移了 个单位； （4）点 在 轴上，平面直角坐标系内存在点 使以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 的坐标 13如图，抛物线yax22ax+c的图象经过点C（0，2），顶点D的坐标为（1， ），与x轴交于A、B两点 （1）求抛物线的解析式 （2）连接AC，E为直线AC上一点，当AOCAEB时，求点E的坐标和 的值 （3）点C关于x轴的对称点为H，当 FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使
8、QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 14如图，已知直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x1（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由15如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像交x轴于点 ， ，交y轴于点 ，在y轴上有一点 ，连接 （1
9、）求二次函数的解析式； （2）若点D在第二象限且是抛物线上的一个动点，求 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 16如图，已知直线y x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC3OA.（1）求抛物线的解析式；（2）点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当DBC的面积为 时，求D点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CD，作DEx轴于E，BC、DE交于点H，点P为线段CD上一个动点，过点P作PFAC交x轴于点F，连接FH，当PFH45时，求点
10、F的坐标；（4）若M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，如果MBC为锐角三角形，请直接写出点M的横坐标m的取值范围 .答案1（1）解：对称轴为直线x1，且抛物线经过点B（3，0），C（0，3）， ，解得： ，抛物线L的解析式为：yx2+2x+3；（2）解：过点P作PM直线x3，过点B作BNx轴，PM与BN交于点D， PBQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，PQPB，BPQ90，BNx轴，PM直线x3，PMQPDB90，MQP+MPQ90，BPD+MPQ90，MQPBPD，MPQDBP（AAS），MPBD，设P点坐标为（x，x2+2x+3），点P是抛物线L在x轴上方一点，BDx2+2x+3，P
11、Mx（3）x+3，x2+2x+3x+3，解得：x0或x1，当x0时，x2+2x+33，当x1时，x2+2x+34，综上，符合条件的点P的坐标为（0，3）或（1，4）2（1）由y=0，得x2+x2=0 解得 x1=2，x2=l， A（2，0），B（l，0），由x=0，得y=2，C（0，2）.（2）连接AC与对称轴的交点即为点P. 设直线AC为y=kx+b，则 ，得 k=l，y=x2.对称轴为x= ，当 x= 时，y=-（ ）2= ，P（ ， ）.（3）过点M作MN丄x轴与点N， 设点M（x，x2+x2），则OA=2，ON=x，OB=1，OC=2，MN=（x2+x2）=x2x+2，S四边形ABCM
12、=SAOM+SOCM+SBOC= 2（x2x+2）+ 2（x）+ 12=x22x+3=（x+1）2+4.a=10，当x=1时，S四边形ABCM的最大值为4.点M坐标为（1，2）时，S四边形ABCM的最大值为4.3（1）解：设经过x秒以后，PBQ面积为4cm2（0x3.5），此时APxcm，BP（5x）cm，BQ2xcm， PBQ面积为： ，得 ，整理得：x25x+40，解得：x1或x4（舍去）；答：1秒后PBQ的面积等于4cm2；（2）解：设经过t秒后，PQ的长度等于 ，由PQ2BP2+BQ2， 即40（5t）2+（2t）2，解得：t1（舍去）或3则3秒后，PQ的长度为 ；4（1）解：二次函数
13、yx2+bx+c的图象过点A（3，0），点D（2，3）， (-3)2+b(-3)+c0(-2)2+b(-2)+c-3 ，得 ，即二次函数的解析式为yx2+2x3；（2）解：yx2+2x3， y0时，x3或x1，当x1时，y0，点B的坐标为（1，0），连接BD交对称轴于点P，PAPB，PA+PD的最小值是线段BD的长，点B（1，0），点D（2，3），BD ，PA+PD的最小值是 ；（3）解：yx2+2x3， x0时，y3，点C的坐标为（0，3），设点M的坐标为（a，a2+2a3），ABM的面积等于ABC的面积，点A（3，0），点B（1，0），点C（0，3），ABC的面积是： ， =6，|a2+2
14、a3|3，解得，a11 ，a21+ ，a32，a40（舍去），点M的坐标为（1 ，3），（1+ ，3）或（2，3）5（1）解：当y=0时， ， 解得x1=-4，x2=0，点A（-4，0），设直线 的函数解析式 ，过A、B两点，代入得 ，解方程组得 ，直线 的函数解析式为 ；（2）解：点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线对称轴为x= =-2， CBOQ的周长=OQ+QB+OB，点O，点B是定点，OB长是定值，当 的周长最小时，就是OQ+QB最小，点A与点O关于抛物线的对称轴对称，点A，点Q，点B三点共线时，OQ+QB=AQ+QBAB最短，当x =-2式， ，点Q（-2，2），SBOQ的面积=
15、SBAO-SQAO= ；（3）（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）6（1）解：四边形OABC为矩形，C（0，3） BCOA，点D的纵坐标为3直线 与BC边相交于点D， 点D的坐标为（2，3）（2）解：若抛物线 经过A（6，0）、D（2，3）两点， 解得： ，抛物线的解析式为 （3）解：抛物线 的对称轴为x=3， 设对称轴x=3与x轴交于点P1，BAMP1，BAD=AMP1AP1M=ABD=90，ABDAMP1P1（3，0）当MAP2=ABD=90时，ABDMAP2AP2M=ADBAP1=AB，AP1P2=ABD=90AP1P2ABDP1P2=BD=4点P2在第四象限，P2（3，-4）符合条
16、件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，-4）7（1）解：点A和点B在二次函数yx2+bx+c图象上， ，解得 ，二次函数的解析式为yx22x3；（2）解：连接BC， 由题意可得：A（1，0），B（3，0），C（0，3），yx22x3，SABC 6，SABD2SABC，设点D（m，m22m3）， |yD|26，即 4|m22m3|26，解得：m1+ 或1 ，代入yx22x3，可得：y值都为6，D（1+ ，6）或（1 ，6）；（3）解：设P（n，n22n3）， 点P在抛物线位于x轴上方的部分，n1或n3，当点P在点A左侧时，即n1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，SAPCSAPB，不
17、成立；当点P在点B右侧时，即n3，APC和APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BCAP，设直线BC的解析式为ykx+p，则 ，解得： ，则设直线AP的解析式为yx+q，将点A（1，0）代入，则1+q0，解得：q1，则直线AP的解析式为yx+1，将P（n，n22n3）代入，即n22n3n+1，解得：n4或n1（舍），n22n35，点P的坐标为（4，5）8（1）解：A，B两点关于x=1对称，B点坐标为（3，0），根据题意得： ，解得a=1，b=-2，c=-3抛物线的解析式为y=x2-2x-3（2）解：（3）解：存在一个点PC点关于x=1对称点坐标C为（2，-3），令直
18、线AC的解析式为y=kx+b ，k=-1，b=-1，即AC的解析式为y=-x-1当x=1时，y=-2，P点坐标为（1，-2）9（1）解：函数的对称轴为：x 1，解得：b2， yx22x+c，再将点C（0，3）代入得到c=-3，,抛物线的表达式为：yx22x3，令y0，则x1或3，故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0）；（2）解：存在，理由： 如图1，四边形POPC为菱形，则yP OC ，即yx22x3 ，解得：x1 （舍去负值），故点P（1+ ， ）；（3）解：过点P作PHy轴交BC于点P， 由点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：yx3，设点P（x，x22x3），则点H（x，x3），
19、ABPC的面积SSABC+SBCP ABOC+ PHOB 43+ 3（x3x2+2x+3） x2+ x+6，= - 0， 当x= 时，S有最大值为 ，此时点P（ ， ）10（1）解：设抛物线的解析式为 ， 抛物线过点A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-3)， ，把C(0，-3)代入上式可得 ， ，解析式为： （2）解：根据题意可得如图所示： A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-3)且四边形ABDC是菱形，CD=AB=BD=5，作 轴，可得 ， ，点D在第四象限，点D的坐标为 （3）解：设直线DB的解析式为 ， ， ， ，解得： ， ，直线DB的解析式为 ，当点P与点D、点B不在同一直线
20、上时，根据三角形的三边关系 ，当点P与点D、点B在同一直线上时， 的值最大，即点P是直线DB与抛物线的交点，解方程组 ，解得 或 ，所以点P的坐标为 或 时，有最大值，故P点的坐标是 11（1）解：抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），C（0，3），解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）解：如图1，过点P作PHy轴交直线BC于点H，PEHOEC，k，OC3，kPH，设直线BC的解析式为ykx+n，B（3，0），C（0，3），解得：，直线BC的解析式为yx+3，设点P（t，t2+2t+3），则H（t，t+3），PHt2+2t+3（t+3）t2+3t，k（t2+3t）（t
21、）2，0，当t时，k取得最大值，此时P（，）；（3）；12（1）解：所给不等式组的解集为 ， 其整数解为2，3 OA，OB的长是所给不等式组的整数解，且OAOB， ，则A（-2，0），B（3，0）点A、B在抛物线上， ，解得， 所求的抛物线的解析式为 点D（2，m）在抛物线上，（2）2（3）9（4）解：以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分， 由AB与MN不能作为一组对角线分两种情况：以AM与BN为对角线时，如图2和图2如图2，AB=OA+OB=2+3=5，四边形ABMN是菱形，MNABx轴，MN=MB=AB=5在 中， M（0，4）N（-5，4）如图2，同理可得：N（-5
22、，-4）以AN与BM为对角线时，如图2和图2如图2，菱形的边长仍为5，MNx轴，如图2，同理可得： 综合上述、两种情况，符合条件的点N的坐标为：13（1）解：由题可列方程组： ，解得： 抛物线解析式为：y x2 x2；（2）解：由题意和勾股定理得，AOC90，AC ，AB4， 设直线AC的解析式为：ykx+b，则 ，解得： ，直线AC的解析式为：y2x2；当AOCAEB时 （ ）2（ ）2 ，SAOC1，SAEB ， AB|yE| ，AB4，则yE ，则点E（ ， ）；由AOCAEB得： ；（3）解：如图2，连接BF，过点F作FGAC于G， 则FGCFsinFCG CF， CF+BFGF+BF
23、BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知ABEACO|y|OBtanABEOBtanACO3 ，当y 时，即点F（0， ）， CF+BF有最小值；当点Q为直角顶点时（如图3） F（0， ），C（0，2）H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QMy轴于点M则RtQHMRtFQMQM2HMFM，12（2m）（m+ ），解得：m ，则点Q（1， ）或（1， ）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1， ）；综上，点Q的坐标为：（1， ）或（1， ）或Q（1，2）或Q（1， ）14（1）解：当x0时，y4，C （0，4），当y0时，x
24、+40，x3，A （3，0），对称轴为直线x1，B（1，0），设抛物线的表达式：ya（x1）（x+3），43a，a，抛物线的表达式为：y（x1）（x+3）x2x+4；（2）解：如图1，作DFAB于F，交AC于E，D（m，m+4），E（m，m+4），DEm+4（m+4）m24m，SADCOA（m24m）2m26m，SABC6，S2m26m+62（m+）2+，当m时，S最大，当m时，y5，D（，5）；（3）解：设P（1，n），以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，PAPC，即：PA2PC2，（1+3）2+n21+（n4）2，n，P（1，），xP+xQxA+xC，yP+yQyA+yC
25、xQ3（1）2，yQ4，Q（2，）15（1）解：二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6）， ，解得： ，所以二次函数的解析式为：y= ；（2）解：由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y= ， 过点D作DGx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图，设D（m， ），则点F（m， ），DF= （ ）= ，SADE=SADF+SEDF= DFAG+ DFEH= DFAG+ DFEH= 4DF=2（ ）= ，当m= 时，ADE的面积取得最大值为 （3）y= 的对称轴为x=1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求P
26、A= ，PE= ，AE= ，分三种情况讨论： 当PA=PE时， = ，解得：n=1，此时P（1，1）；当PA=AE时， = ，解得：n= ，此时点P坐标为（1， ）；当PE=AE时， = ，解得：n=2 ，此时点P坐标为：（1，2 ）综上所述：P点的坐标为：（1，1），（1， ），（1，2 ）16（1）解：直线y x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C， 点 ，OB=4，OC=3，OC=3OA，OA=1，且点A在x轴负半轴， ，抛物线yax2+bx+3经过 ， ， ，解得： ，抛物线解析式为 ；（2）解：如图，过点D作DHy轴交直线BC于点H， ，抛物线对称轴为直线 ，设点 ，则 ， ， ， ，解得： 或 ，点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点， ，点 ；（3）解：由（2）知，点 ， DEx轴， ， ，PFAC，PFB=CAO，取点G ，连接CG，过点A作ANCG于点N，如图，OC=OG，AG=2，COG=ANG=90，CGO=45， ， ， ， ， ，HFE=ACG， ， ， ， ，点 ；（4）29
