1、2021年四川省成都市公立名校（高中）自主招生数学试卷一、选择题（本大题共9个小题。每小题6分，共54分）1无论k取何值时，关于x，y的方程（k1）x+（k+1）yk+30均有解，则m2015+n2015的值为（）A0B2C220151D2201512如图，A，B是反比例函数y（k0）的图象上的两点，ACx轴于点C，BDy轴于点D，AC，BD交于点E，则ADE与BCE的面积关系是（）ASADESBCEBSADESBCECSADESBCED不确定3方程2x22x有（）个实数根A0B1C2D34某纺织厂的一个车间有技术工人m名（mN*），编号分别为1，2，3，m，有n台（nN*）织布机，编号分别为
2、1，2，3，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij1，否则aij0，则等式a41+a42+a43+a4n3的实际意义是（）A第4名工人操作了3台织布机B第4名工人操作了n台织布机C第3名工人操作了4台织布机D第3名工人操作了n台织布机5已知，2，则a的取值范围是（）Aa1B1a1Ca1D1a06一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）ABCD7如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、已知该三角形数表中每个“口”中的数均为正整数的倒数，且等于其两脚下数之和（如：a2a4+a5）若
3、a1，则第三行中的数a4，a5，a6，从左到右的填法种数为（）A2B4C5D68设空间几何体三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为1，有一只蚂蚁从点A开始按以下规则前进；在每一个顶点处随机地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点A的不同路径的条数为（）A21条B19条C18条D15条9在ABC中，C90，BCa，CAb，ABc，两条内角平分线AE，BF交于点O若OEF和OAB的面积分别为SOEF和SOAB，则（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）10当A时，则A（A+4） 11在ABC中，AD是BC边上的中线，AB，AD，A
4、C，则ABC 12如图，在矩形ABCD中，AB，AD1，E是线段DC上的一动点，连接AE，点K在线段AE上且满足条件AD2AKAE，则当点E从点D运动到点C时，点K移动的路程为 13已知二次函数yax2+bx+c（a0），且满足条件abc，a+b+c0，给定下列5个命题，其中正确命题的序号是 abc0；存在满足条件的a，b，c，使得二次函数在x时取得最小值；4a2|b|+c0；对任意满足am2+bm+c0的实数m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c0；无论a，b，c为满足条件的任何值，一定存在满足am+bm0+c0的实数m0，使得（m02）2+b（m02）+c0三、解答题（本大题头5个小题，
5、72分）14（1）已知，是方程x2x10的两个实数根，求25+53的值（2）关于x的不等式组只有5个整数解，求a的取值范围15设一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根为x1，x2，那么ax2+bx+ca（xx1）（xx2），从而可得一元二次方程根与系数的关系：x1+x2，x1x2（1）根据以上信息，设三次方程ax3+bx2+cx+d0（a0）的三个根为x1，x2，x3，请推证一元三次方程根与系数的关系，即用系数a，b，c，d表达x1+x2+x3，x1x2+x1x3+x2x3和x1x2x3的值；（2）若三次方程x3+ax2+bx+c0的三个根分别为a，b，c，并且a，b，c为不全为0的整数
6、，求ab，c的值16如图已知直线l1：yx+与直线l2：y2x+16相交于点C，l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在直线l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合（1）求矩形DEFG的边DE与EF的长和点G的坐标；（2）若矩形DEFG从原位置出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0t12）秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值和取得最大值时t的值17如图，已知AB为O的弦，点M为AB的中点，P为O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆交O于C，D两点，AC，BD交于点Q（1）求证：
7、点Q是PAB的垂心；（2）判断点Q是否在P上，并证明你的结论18已知二次函数yax2+bx+c（0a1）的最小值为1，且直线yx与二次函数图象的两个交点的横坐标分别为2和4（1）求二次函数的表达式（2）如图1，以点H（1，h）（h）为圆心，为半径作圆，抛物线yax2+bx+c上仅有唯一点J，使得过点J向H做切线的切线段JK长度最小，求h的取值范围（3）如图2，过定点F（1，2）的直线ykxk+2（k0）与抛物线yax2+bx+c交于A、B两个不同点，与x轴交于R点，令ARO（O为坐标原点（i）判断以A为圆心，AF为半径的圆与x轴的位置关系，并加以证明（ii）cos为何值时，x轴上存在点Q，使得ABQ为等边三角形，并求出此时ABQ的面积5
