1、第 1 页 共 14 页 专题专题 1：基本初等函数：基本初等函数 问题归类篇问题归类篇 类型一：类型一：分段函数分段函数 一、前测回顾一、前测回顾 1已知函数 f(x) x1， x1， x24， x1 ，若 f(x)2，则 x 的取值范围为 f(x)在区间1，3的 值域为 答案： 2，)；2，4 2设函数 f(x) 2x 3 1， x0， 1 x， x0 ，若 f(f(b)2，求实数 b 的值 答案：b3 4或2 二、方法联想二、方法联想 方法 1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)； 方法 2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题 三、归类巩固三、
2、归类巩固 *1已知 f(x) 2x， x1， log2x1， x1 ，则 ff(1) 答案：0(考查分段函数求值问题) *2设函数 f(x) 1log2(2x)，x1 2x1，x1 ，则 f(2)f(log212) 答案：9 *3设函数 f(x) 21 x，x1， 1log2x，x1， 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_ 答案：0，) *4已知函数 f(x) x22x，x0 ln(x1)，x0 ，若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是 答案：2，0 *5已知函数 f(x) |lnx|，x0 x24x1，x0，若关于 x的方程 f(x)2bf(x)c0(b，cR)有 8 个不同的实数
3、根，则 bc 的取值范围是 答案：(0，3) 第 2 页 共 14 页 6 已知函数 f(x)|lnx|，g(x) 0，0x1 |x24|2，x1，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_ 答案：4 类型二：求函数的解析式类型二：求函数的解析式 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 ff(x)94x，且 f(x)是一次函数，则 f(x) 若 f(x21)x2，则 f(x) 答案：2x3 或2x9；x1(x1) 2已知函数满足 2f(x)f(1 x)x，则 f(2) ；f(x) 答案：7 6， 2 3x 1 3x 二、方法联想二、方法联想 方法 1：待定系数法； 方法 2：换元法、拼凑法； 方法
4、 3：函数方程法 三、归类巩固三、归类巩固 *1已知 f(x)x23x2，则 f(x1)_答案：x25x6 *2已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_答案：2x7 *3已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1)f(x)x1，则 f(x)的表达式为_答案：1 2x 21 2x *4已知 f 2 x1 lgx，则 f(x)_答案：lg 2 x2 *5若 2f(x)f(x)x，则 f(x) 答案：则 f(x)x 3 *6若 f(x2 x)x 24 x23x 6 x，则 f(x) 答案：x 23x4 类型三：二次函数类型三：二次函数 一、前测回
5、顾一、前测回顾 1若二次不等式 f(x)0 的解集为(1，2)，且函数 yf(x)的图象过点(1，2)，则 f(x) 答案：1 3x 2x2 3； 2已知 f(x)x22x2，xt，t1，若 f(x)的最小值为 h(t)，则 h(t) 已知函数满足 2f(x)f(1 x)x，则 f(2) ；f(x) 答案： t 22t2，t1 2 t21， t1 2 第 3 页 共 14 页 二、方法联想二、方法联想 二次函数的解析式一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)； (3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 二次函数在给
6、定区间内的值域与最值问题二次函数在给定区间内的值域与最值问题: 方法方法: 结合图象，分区间讨论 步骤步骤: 配方求对称轴（也可以用公式） ，画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)； 结合图象，由函数的单调性，求出最值若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的 函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值 三、归类巩固三、归类巩固 *1已知二次函数f(x)ax2bxc图象的顶点为(1，10)，且方程ax2bxc0的两根的平方和为12， 则f(x)的解析式是_ 答案：f(x)2x24x8 *2已知函数f(x)x24xa，x0，1若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为_ 答案：1
7、*3若定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0，且有 f(1x)f(1x)，直线 g(x)4(x1)被 f(x)的图像 截得的线段长为 4 17，则函数 f(x)的解析式为_ 解析：设 f(x)a(x1)2(a0) 由 yax 2， yx， 得 ax2(42a)xa40 由韦达定理，得 x1x242a a ，x1 x2a4 a 由弦长公式，得 4 17 42 42a a 24 a4 a a1f(x)(x1)2 答案：f(x)(x1)2 *4已知函数 f(x) x24x，x0， 4xx2，x0. 若 f(2a2)f(a)，则实数 a 的取值范围是_ 答案：(2，1) *5方程 mx2(m
8、1) x10 在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为_ 解析：令 f(x)mx2(m1)x1， 第 4 页 共 14 页 则 f(x)的图像恒过定点(0，1)，由题意可得 m0， m 24m0， 0m1 2m 1， f()20. 解得 m32 2 答案：m32 2 *6函数f(x)2x22ax3在区间1，1上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式为_ 答案：g(a) 2a5，a2 3a 2 2 ，2a2 52a，a2 类型四：指数函数与对数函数类型四：指数函数与对数函数 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 2x 2x(1 4) x2，则函数 y( 3)x 22x的值域为
9、 答案： 答案： 3 3 ，81 2设 loga1 32，则实数 a 的取值范围为 答案： 答案：(0， 3 3 )(1，) 3已知函数 ylog0.5(x22x2)，则它的值域为 答案：答案：(，0 二、方法联想二、方法联想 （1）指指(对对)数方程与不等式问题：数方程与不等式问题： 方法 1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题 要注意定义域及转化过程中的等价性 方法 2：利用换元法，转化为代数方程或不等式 变式：解不等式 lg2xlgx230 (答案：0x 1 10或 x1000，考查利用换元法解指(对)不等式) （2）与指）与指(对对)数函
10、数有关的值域问题，数函数有关的值域问题， 方法 1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性； 方法 2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求 （3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性 三、归类巩固三、归类巩固 *1若点(a，9)在函数 y3x的图像上，则 tana 6 的值为_ 答案： 3 第 5 页 共 14 页 *2已知 a 51 2 ，函数 f(x)ax，若实数 m，n 满足 f(m)f(n)，则 m，n 的大小关系为_ 答案：mn *3函数yax 21(a0，a1)的图像恒过定点_答案：(2，0) *4解不等式 lg2xlgx230 的解集
11、是_答案：0x 1 10或 x1000 *5已知函数 f(x)axlogax(a0，且 a1)在1，2上的最大值与最小值之和为 loga26，则 a 的值为 _ 解析：由题可知函数 f(x)axlogax 在1，2上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为 f(1)f(2) aloga1a2loga2loga26，整理可得 a2a60，解得 a2 或 a3(舍去)，故 a2 答案：a2 *6已知函数 f(x)log2(a2x)x2，若 f(x)0 有解，则实数 a 的取值范围是_ 解析：方法一：f(x)log2(a2x)x20，得 a2x22 x，即 a2x4 2x，令 t2 x(t0)，则 t
12、2at4 0 在 t(0，)上有解，令 g(t)t2at4，g(0)40，故满足 a 20， a2160， 得 a4 方法二：f(x)log2(a2x)x20，得 a2x22 x，a2x4 2x4 答案：a4 类型五：函数的零点问题类型五：函数的零点问题 一、前测回顾一、前测回顾 1函数 f(x)lgxsinx 零点的个数为 答案：答案：3 2函数 f(x)2xx4 零点所在区间为(k，k1 )，kN，则 k 答案：答案：1 二、方法联想二、方法联想 零点存在定理：零点存在定理：连续函数 yf(x)在区间(a，b)上有 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)上至少存在一个零点反 之不一定
13、成立 零点存在问题：零点存在问题：能解出 xx0；x0A（定义域） ；方法 2：分离参数，转化为求值域（要分清谁是 参数，谁是自变量） ；方法 3：数形结合法 零点个数问题：零点个数问题：方法 1：数型结合；方法 2：解出 xxi(1，2，n)，根据问题中零点有 k 个， 则选择 k 个 xA（定义域） ，nk 个 xA 三、归类巩固三、归类巩固 *1若一次函数 f(x)axb 有一个零点为 2，那么函数 g(x)bx2ax 的零点是 第 6 页 共 14 页 答案：0 和1 2 *2函数函数 f(x)log2(x+2)x 有_个零点 答案：2 *3已知函数 f(x) 0， x0， 2x， x
14、0 则使函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值范围是 答案：m0 或 m1 *4已知三个函数 f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小 关系是_ 解析：由于 f(1)1 21 1 20，f(0)10， 故 f(x)2xx 的零点 a(1，0) 因为 g(2)0，故 g(x)的零点 b2； h 1 2 11 2 1 20，h(1)10， 故 h(x)的零点 c 1 2，1 ，因此 acb 答案：acb *5若函数 x2m x4(x0)存在零点，则实数的取值范围是_答案：2，) *6已知函数 f(x) kx2，x0 lnx，
15、x0 (kR)，若函数 y|f(x)|k 有三个零点，则实数 k 的取值范围 是 答案：k2 综合应用篇综合应用篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 已知函数 f(x)loga(82x)(a0，且 a1) （1）当 a2 时，求满足不等式 f(x)2 的实数 x 的取值范围； （2）当 a1 时，求函数 yf(x)f(x)的最大值 答案： （1）实数 x 的取值范围为2，3) （2）函数 yf(x)f(x)的最大值为 loga49 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1解指(对)数不等式问题： 方法：利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解 换元
16、法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域 第 7 页 共 14 页 2与指(对)数有关的函数值域： 方法：考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理 用换元法，转化为几个基本函数的值域问题 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 对于问题 1，学生一般会选择方法，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化 为代数不等式，所以选择方法 对于问题 2，学生一般会选择方法，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方 便，所以选择方法 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时， 首先要看底数的范围 本题的易错点有
17、两个，一是第一问中的“82x0”的定义域部分；二是第二问中函数 yf(x)f( x)的定义域 例 2 已知函数 f(x)a 1 |x| （1）求证：函数 yf(x)在(0，)上是增函数； （2）若 f(x)2x 在(1，)上恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 yf(x)在m，n上的值域是m，n(mn)，求实数 a 的取值范围 解： （1）f(x)在(0，)上为增函数 （2）a 的取值范围为(，3 （3）a 的取值范围为0(2，) 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 1讨论函数的单调性问题： 方法:利用函数的图象； 复合函数的单调性； 利用函数单调性的定
18、义 利用导函数来求函数的单调区间 2不等式恒成立问题： 3已知函数的值域，求参数的取值： (2)方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 对于问题 1，学生一般会选择方法或，因为本题是证明函数的单调性，方法不能用作证明，所 第 8 页 共 14 页 以选择方法或 对于问题 2，学生一般会选择方法，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所 以选择方法 例 3 已知函数 f(x)a 2xb 3x，其中常数 a，b 满足 ab0 （1）若 ab0，判断函数 f(x)的单调性，并证明； （2）若 ab0，求 f(x1)f(x)时 x 的取值范围 解： （1）当 a0，b0 时，函数 f
19、(x)在 R 上是增函数 当 a0，b0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数 （2）当 a0，b0 时，x 的取值范围为(log15 a 2b ，)； 当 a0，b0 时，x 的取值范围为(，log15 a 2b ) 解析： （1）当 a0，b0 时，任意 x1，x2R， x1x2，则 f(x1)f(x2)a（2x12x2）b（3x13x2） 2x12x2，a0 a（2x12x2）0，同理 b（3x13x2）0 f(x1)f(x2)0函数 f(x)在 R 上是增函数 同理，当 a0，b0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数 （2）f(x1)f(x)a 2x2b 3x0 当 a0，b0 时，
20、 （3 2） xa 2b，则 x 的取值范围为(log15 a 2b ，)； 当 a0，b0 时， （3 2） xa 2b，x 的取值范围为(，log1.5 a 2b ) 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 1讨论函数的单调性问题： 方法:利用函数的图象； 复合函数的单调性； 利用函数单调性的定义； 利用导函数 2与指(对)数有关的解不等式问题： 方法：利用函数的单调性，转化为代数不等式； 用换元法，依次解几个代数不等式 (2)方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 对于问题 1，学生一般会选择方法或，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法不能用作 第 9 页
21、 共 14 页 证明，所以选择方法或 对于问题 2，学生一般会选择方法，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法 本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab0”和“ab0”的含义是字母 a、b 同号或异号， 因此需要具体到 a、b 各自的符号 例 4 已知 a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点 （1）求 a 和 b 的值； （2）设 h(x)f(f(x)c，其中 c2，2，求函数 yh(x)的零点个数 解： （1）a0，b3； （2）有 9 个零点 教学建议教学建议 （1）主要
22、问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1求函数的解析式问题: 方法：待定系数法，换元法，函数方程法 2讨论函数的零点个数问题： 方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 对于第 1 小题，是常规问题，方法也非常清楚待定系数法。 第 2 小题函数零点的个数问题，用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行，因为本题应用图 象法来讨论。 用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数，且这两个曲线尽量满足: 图像尽量为直线和曲 线，两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画 本题可以有两种考虑:一是直接画函数的 yf(f(x)和 yc，尽管 y
23、f(f(x)是 9 次函数，其图像还是 能够画出来的，二是将问题分解成( )( )h xf tc和 tf(x)，通过两个三次函数的图像来看解的个数问 题本题采用第二种想法，会简单些。 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1已知函数 yf(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)lgx，则 f(f( 1 100)的值等于 答案：lg2 (考查函数的奇偶性，对数运算) *2 已知 f(x) x2x（x0）， x2x（x0），则不等式 f(x 2x1)12 的解集是_答案：(1，2) 第 10 页 共 14 页 (考查分段函数及利用函数的单调性解不等式) *3 函数 y(1 3) x2+1的值域为_答案：(0，
24、1 3(考查指数函数) *4 函数 f(x)lnx2x1 零点的个数为_答案：1 (考查函数的图象，数形结合的思想方法) *5已知实数 a0，函数 f(x) 2xa， x1， x2a，x1. 若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_ 答案：3 4 (考查分段函数的问题，解方程，分类讨论的思想) *6已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m 6)，则实数 c 的值为_答案：c9 (考查二次函数的值域，一元二次不等式的解集) *7 已知 f(x) (32a)x2a+2 ，x1， logax ， x1， 是(，)上的增函数，那么 a
25、 的取值范围是_ 解析： 32a0， a1， （32a）2a2 loga1 答案：5 4， 3 2) （本题考查分段函数的单调性和一次函数与对数函数） *8 已知函数 f(x) x1， x0， x22x1，x0. 若关于 x 的方程 f 2(x)af(x)0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范围是 ； 答案 (0，1) (考查函数的零点) *9 已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围 是 ；答案 1 , 2 1 (考查方程解的问题) *10 已知函数 f(x)x3x，对任意的 m2，2，f(mx2)f(x)0 恒成立
26、，则 x 的取值范围是 _答案：(2，2 3) （考查函数的单调性，不等式恒成立） *11 若二次函数 f(x)ax2bxc(a0)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1 (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间1，1上，不等式 f(x)2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)由 f(0)1 得，c1， 第 11 页 共 14 页 f(x)ax2bx1 又 f(x1)f(x)2x a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x， 2a2， ab0， a1 b1 因此，f(x)x2x1 (2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此
27、不等式在1，1上恒成立，只 需使函数 g(x)x23x1m 在1，1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1，1上单调递减， g(x)ming(1)m1，由m10 得，m1 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) (考查二次函数的解析式，不等式恒成立) *12已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)当1x1，f(x)x3 （1）求证：x1 是函数 yf(x)的一条对称轴； （2）当 x1，5时，求 f(x)的表达式 答案： （1）略； （2）f(x)的解析式为 f(x) (x2)3， 1x3， (x4)3，3x5 (考查用定义证明函数的对称性，利用函数的奇偶性
28、、周期性求函数的解析式) *13设函数 f(x) x2bxc， x0， 2， x0， 其中 b0，cR当且仅当 x2 时，函数 f(x)取得最小 值2 （1）求函数 f(x)的表达式； （2）若方程 f(x)xa(aR)至少有两个不相同的实数根，求 a 的取值集合 答案：(1)f(x) x24x2，x0， 2，x0. (2)实数 a 取值的集合为 1 4，2 (考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法) *14已知函数 f(x)ax3bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值4 3 (1)求函数的解析式； (2)若关于 x 的方程 f(x)k 有三个零点，求实数
29、k 的取值范围 解析：由题意，可知 f(x)3ax2b (1)于是 f12ab0， f8a2b44 3， 解得 a1 3， b4. 故所求的解析式为 f(x)1 3x 34x4 第 12 页 共 14 页 (2)由(1)可知，f(x)x24(x2)(x2) 令 f(x)0，得 x2，或 x2 当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表所示： x (，2) 2 (2，2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 单调递增 28 3 单调递减 4 3 单调递增 因此，当 x2 时，f(x)有极大值28 3 ； 当 x2 时，f(x)有极小值4 3 所以函数的大致图像如图 故实数 k 的取
30、值范围是4 3k 28 3 (考查待定系数求解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法) *15已知 f(x)3x，并且 f(a2)18，g(x)3ax4x的定义域为1，1 （1）求函数 g(x)的解析式； （2）判断 g(x)的单调性； （3）若方程 g(x)m0 有解，求 m 的取值范围 答案： （1）g(x)2x4x，x1，1； （2）g(x)在1，1上单调递减； （3）2，1 4 说明： （1）考查解指数方程； （2）考查函数的单调性； （3）考查方程有解的问题：分离变量，求函数的值域；数形结合，对应函数图象有公共点 解析：f(a2)18，得到 3a 218，3a2，g(x
31、)2x4x，x1，1 令 t2x，1 2t2，则 ytt2，g(x)在1，1上单调递减； 方程 g(x)m0 有解，则 yg(x)， ym 有交点 1 2t2，则 ytt2的范围是2， 1 4，所以 m2， 1 4 第 13 页 共 14 页 *16设函数 f(x)3ax22(ac)xc (a0，a，cR) (1)设 ac0若 f(x)c22ca 对 x1，)恒成立，求 c 的取值范围； (2)函数 f(x)在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ (考查不等式恒成立，函数零点) 解 (1)因为二次函数 f(x)3ax22(ac)xc 的图象的对称轴为 xac 3a ，由条件 ac0
32、，得 2aa c， 故ac 3a 2a 3a 2 31， 即二次函数 f(x)的对称轴在区间1，)的左边， 且抛物线开口向上，故 f(x)在1，)内是增函数 若 f(x)c22ca 对 x1，)恒成立， 则 f(x)minf(1)c22ca， 即 acc22ca，得 c2c0，所以 0c1 (2)若 f(0) f(1)c (ac)0， 则 c0，或 ac，二次函数 f(x)在(0，1)内只有一个零点 若 f(0)c0，f(1)ac0，则 ac0 因为二次函数 f(x)3ax22(ac)xc 的图象的对称轴是 xac 3a 而 f ac 3a a 2c2ac 3a 0， 所以函数 f(x)在区间
33、 0，ac 3a 和 ac 3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0，1)内有两个零点 *17已知 aR，函数 f(x)log2(1 xa) （1）当 a5 时，解不等式 f(x)0； （2）若关于 x 的方程 f(x)log2(a4)x2a50 的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； （3）设 a00a ，若对任意 t 1 2，1，函数 f(x)在区间t，t1上的最大值与最小值的差不超过 1， 求a的取值范围 答案：（1） 1 ,0, 4 x （2）1,23,4（3） 2 , 3 说明：本题综合性较强，考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解问题。 解析： （1）由 2 1
34、 log50 x ，得 1 51 x ， 第 14 页 共 14 页 解得 1 ,0, 4 x （2） 1 425aaxa x ， 2 4510axax ， 当4a时，1x，经检验，满足题意 当3a 时， 12 1xx ，经检验，满足题意 当3a且4a时， 1 1 4 x a ， 2 1x ， 12 xx 1 x是原方程的解当且仅当 1 1 0a x ，即2a； 2 x是原方程的解当且仅当 2 1 0a x ，即1a 于是满足题意的1,2a 综上，a的取值范围为1,23,4 （3）当 12 0xx时， 12 11 aa xx ， 22 12 11 loglogaa xx ， 所以 f x在0,上单调递减 函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值分别为 f t，1f t 22 11 1loglog1 1 f tf taa tt 即 2 110atat ，对任意 1 ,1 2 t 成立 因为0a，所以函数 2 11yatat在区间 1 ,1 2 上单调递增， 1 2 t 时，y有最小值 31 42 a ，由 31 0 42 a，得 2 3 a 故a的取值范围为 2 , 3 (考查对数函数的图像和性质，函数零点)
