1、12023-1-25教学目标知识与技能 1.理解直线倾斜角和斜率的概念；2.掌握过两点的直线的斜率公式及应用.过程与方法1.培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；2.使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法.情感、态度与价值观1.通过对直线倾斜角及斜率的学习，体会用代数方法刻画直线斜率的过程；2.通过坐标法的引入，培养学生联系、对应转化等辩证思维.22023-1-25重点与难点重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式.32023-1-25教学过程教学过程一、直线的倾斜角的概念 1、经过原点的直线有多少条？彼此
2、间的位置关系？2、与x轴正方向所成的角为300的直线有多少条？彼此间的位置关系？答：经过原点的直线有无数条，他们都相交于一点（原点）.答：与x轴正方向所成的角为300的直线有无数条，他们相互平行.42023-1-25 3、经过原点的直线并与x轴正方向所成的角为300的直线有多少条？答：这样的直线有且只有一条.4、在平面直角系中，怎样确定一条直线？答：我们可以利用一个点和直线的一个方向来确定一条直线.52023-1-25按照你的理解：什么叫倾斜角？倾斜角的范围是什么？按照你的理解：什么叫倾斜角？倾斜角的范围是什么？倾斜角：直线l与x轴正方向所成的角，叫做直线的倾斜角.常用表示.（1）倾斜角的取值
3、范围：01800（2）倾斜角的作用刻画直线相对x轴的倾斜程度.62023-1-25结论：结论：坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡0.8m1m0.4m72023-1-25由于直线的倾斜角不利于用坐标法刻画直线，引入直线的斜率二、直线的斜率二、直线的斜率 一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角a（a90）的正切值叫作这的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是表示，也就是k=tan a.)(01809090)(0,90000000 从从，从从不不存存在在时时，从从从从kkk a为什么不能等为什么不能等于于900呢？呢？82023-1-25问题：已知直线上的
4、两个点，如何求直线的斜率呢？问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？21)1y,1x(1P)2y,2x(2Pxy1212xxyyxyk三、直线的斜率公式三、直线的斜率公式92023-1-25你注意到了吗？1.当当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存时，公式右边没有意义，直线的斜率不存在；在；2.K与点与点P1、P2的顺序无关；的顺序无关；3.斜率斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求得；得；4.当当y1=y2时，斜率时，斜率k=0，直线的倾斜角直线的倾斜角a=0，直线与直线与x轴平行或重合轴平行或重合;5.求直线的倾斜角可以求直线的倾
5、斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率由直线上两点的坐标先求斜率而得到而得到.102023-1-25四、例题例1：求过已知两点的直线的斜率（1）直线PQ过点P（2，3），Q（6，5）；（2）直线AB过点A（-3，5），B（4，-2）.答：（1）；（2）-1.112023-1-25例例2 2经过点（经过点（3，2）画直线，使）画直线，使直线的斜率分别为直线的斜率分别为：3(1);44(2).5-122023-1-25若三点若三点(1,1),(3，3),(5，a)在一在一条直线上，求实数条直线上，求实数a的值的值例3、例例4 4、直线、直线l过点过点M（1，1），），且与以且与以P（2，2），），Q（
6、3，3）为两端点的线段为两端点的线段PQ有公共点，求直线有公共点，求直线l的斜率的取值范的斜率的取值范围围学以致用132023-1-25五、当堂达标五、当堂达标1.直线l过点 求它的斜率和倾斜角），（、31)32,2(QP 2.已知已知三点三点A(3,1),B(2,1)，C(0,2)，求直线求直线AB、AC、BC的的斜率斜率.O x y 4444ABC大显身手大显身手142023-1-25六、课堂小结六、课堂小结1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.直线的斜率公式.教材习题3.1A组1，3.我努力，我收获，我自信，我成功！152023-1-25162023-1-25X.pYO172023-1-25
7、一、直线的倾斜角一、直线的倾斜角1 1、直线倾斜角的定义：直线倾斜角的定义：当直线当直线l与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为轴作为基准，基准，x轴正向轴正向与与直线直线l向上方向向上方向之间所成的之间所成的角叫做直线的角叫做直线的倾斜角倾斜角.yxol182023-1-25下列四图中，表示直线的倾斜角的是下列四图中，表示直线的倾斜角的是()练习：yxoAyxoByxoCyxoDA 192023-1-252、直线倾斜角的范围：当直线当直线 与与 轴平行或重合时，我轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为们规定它的倾斜角为 ，因此，直线，因此，直线的倾斜角的取值范围为：的倾斜角的取值范围为
8、：00180 xlyxo零度角 yxo锐角 yxo直角 yxo钝角 按倾斜角去分类，直线可分几类？202023-1-253、直线倾斜角的意义 体现了直线对x轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。倾斜角倾斜程度 2l3lx1lyo倾斜角能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线212023-1-254、如何才能确定直线位置？yxo一点+倾斜角 确定一条直线 过一点且倾斜角为 能不能确定一条直线？（两者缺一不可）能 l222023-1-25 在同一个坐标系中画出过原点并且倾斜角分别是1354530000,的直线,试着写出它们的直线方程.然后观察思考:直线的
9、倾斜角在直线方程中是如何体现出来的?232023-1-25xyxyxy135453000033系数是倾斜角正切值系数是倾斜角正切值242023-1-25定义:倾斜角不是 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作 ,即900ktank 倾斜角为 的直线没有斜率.900252023-1-25练习:指出下列直线的倾斜角和斜率.025tanxy)4(x33y)3(x3y)2(x3y)1(262023-1-25问题3:已知两个点如何求斜率？272023-1-253、探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212112,yyxxQPP且如图，当为锐角时，能不能构造能不能构造
10、一个直角三一个直角三角形去求？角形去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角 282023-1-25xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图，当为钝角时，2121,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk01x2x1y2y钝角 292023-1-25思考？xyo(3),(12yxQ),(111yxP),(222yxPyox(4),(12yxQ),(111yxP),(222yxP21pp1、当
11、的位置对调时，值又如何呢？k1212xxyytank 302023-1-25思考？2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答：成立，因为分子为0，分母不为0，k=0 1212xxyytank 312023-1-253、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成立，因为分母为0。1212xxyytank 322023-1-254、直线的斜率公式：综上所述，我们
12、得到经过两点),(111yxP)(21xx),(222yxP的直线斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P332023-1-25例:求出经过 两点的直线的斜率和倾斜角.)3,5()0,2(BA342023-1-251.哪些条件可以确定一条直线？两点；一点与直线的倾斜角2.给定直线的倾斜角为，如何求斜率？90时，k=tan ；=90时，k不存在.3.设是直线 l 的倾斜角,k为其斜率 当0 k1时,的取值范围是_0 45 352023-1-25 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？y
13、xo.ABC 直线AB的斜率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线BC的斜率直线CA的斜率0ABk 直线CA的倾斜角为锐角直线BC的倾斜角为钝角。解：0CAk直线AB的倾斜角为零度角。0BCk例1362023-1-25例例2 2、在平面直角坐标系中，、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别画出经过原点且斜率分别为为1 1，-1-1，2 2和和-3-3的直线的直线 。4321,llll及Oxy3l1l2l4lA3A1A2A4372023-1-25例例3,已知三点已知三点A(a,)，（，），（，），（，（，a）在同一直线上，求）在同一直线上，求a的值的值3820
14、23-1-25例，过点例，过点(，-)作直线与线段有作直线与线段有公共点，公共点，(-3，),(，)（）求直线（）求直线l的斜率的斜率k的范围的范围（）求直线（）求直线l倾斜角的范围倾斜角的范围41113244kkk例，直线的斜率为，倾斜角为，（）若 ，求 的范围（）若，求 的范围392023-1-25三、小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：tank3、斜率k与倾斜角 之间的关系：0tan00090tan090tan()90180tan0kkakk不存在不存在4、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或)90(a402023-1-254.判断正误:(1)
15、直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan;()(2)直线的斜率值为tan,则直线的倾斜角为;()(3)因为所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有斜率;()(4)因为平行于y轴的直线斜率不存在,所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在;()(5)如果直线l1的倾斜角是直线l2的2倍,那么l1的斜率是l2的2倍.()XXXXX412023-1-25回顾总结:(1)直线倾斜角的概念要注意什么?(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗?(3)已知两点求斜率的时候,斜率公式的下标1和2有顺序吗?课后思考:还有没有另外得出已知两点求出直线斜率公式的方法?422023-1-25432023-1-25yOxPQ用什么量来
16、刻画直线用什么量来刻画直线的倾斜程度？的倾斜程度？1l3l2l123442023-1-25直线的倾斜角直线的倾斜角xayo倾斜角倾斜角规定规定 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，它的倾斜角为它的倾斜角为 .0 0 2 定义：当直线定义：当直线 l 与与x轴相交轴相交时，我们取时，我们取x轴作轴作为基准，为基准，x轴正向轴正向与与直线直线 l 向上方向向上方向之间所成的之间所成的角角 叫做叫做直线直线 l 的倾斜角的倾斜角452023-1-25OyxOyxyxOyx 0 l l l lO462023-1-25思考思考直线倾斜角的范围？0,180472023-1-25xyOl1l
17、2l3132321482023-1-25日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）492023-1-25前进前进升升高高例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者比较，前者更陡一些，因为坡度（比）更陡一些，因为坡度（比）32.22前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）502023-1-25直线的斜率直线的斜率 一条直线的倾斜角的正切值叫做这一条直线的倾斜角的正切值叫做这条条直线的斜率直线的斜率.tan k)2(a),2()2,0512023-1-25时，2aakO2232
18、0a tan k0a0k20 a0k a20kk不存在k),2()2,0),(k522023-1-25 判断正误：判断正误：任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有 斜率斜率.（）直线的倾斜角为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则直线的斜率为 （）tan直线的倾斜角越大直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大则直线的斜率越大 ()()两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ()()平行于平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是 ()()或0 直线的斜率的范围是直线的斜率的范围是 （）),(532023-1-25 给定两点
19、给定两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），并且并且x1 x2，如何计算直线，如何计算直线P1 P2的斜率的斜率k？lP1（x1，y1）P2（x2，y2）Q（x2，y1）xOy tan k542023-1-25 当当 为锐角时，为锐角时，.,212121yyxxPQP 在直角在直角 中中QPP21.|tantan12121221xxyyQPQPPQP552023-1-25.tan)180tan(tan当当 为钝角时，为钝角时，,18021PQP ,21xx .21yy 在直角在直角 中中QPP21，1212211212|tanxxyyxxyyQPQP.tan1212xxyy 562
20、023-1-25 同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有12PP.tan1212xxyyak572023-1-25 1已知直线上两点已知直线上两点 ，运用，运用上述公式计算直线上述公式计算直线 斜率时，与斜率时，与 两点坐标的顺两点坐标的顺序有关吗？序有关吗？),(),(222111yxPyxPAB 21,PP无关无关 2当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？率公式还适用吗？为什么？不适用不适用1212tanxxyyak582023-1-25 当直线当直线 与与 轴平行或重合时，上述式子还成轴平行或重合时，上述式
21、子还成立吗？为什么？立吗？为什么？12PPx 经过两点经过两点 的直线的的直线的斜率公式为：斜率公式为：)(,(),(21222111xxyxPyxP成立成立.1212xxyyk1212tanxxyyak592023-1-25 例例1 如图如图，已知，已知 ，求，求直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是锐角还是钝角),2,3(A),1,4(B)1,0(C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率;1333021 CAk 由由 及及 知，直线知，
22、直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0BCk1212xxyyk602023-1-25动动脑动动脑2121,kkll的斜率分别为设任意两直线21ll？121kk612023-1-25已知直线已知直线 经过三点经过三点),1(),7,(),5,3(321ypxppl若直线若直线l的斜率为的斜率为.,.,2的值求yxk 解：由斜率公式得解：由斜率公式得.2315,2357yx.3.4yx所以练习练习1课堂练习课堂练习 P.86 T1,2,3,4.622023-1-25 例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点
23、且斜率分在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 321,lll4l,00111 xy即即.11yx 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式有有:1l),(11yx1A 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过过原点及原点及 的直线即为的直线即为 11 x11 y1A)1,1()1,1(1A1lxy1A3A2A4A1l3l2l4l 是过原点及是过原点及 的直线，的直线，是过原点及是过原点及 的直线，的直线，是过原点及是过原点及 的直线的直线2l),(222yxA),(333yxA),(444yxA3l4l632023-1-251.1.直线的倾斜角的定义直线的倾斜角的定义2.2.直线的斜率的定义直线的斜率的定义3.3.两点间斜率公式两点间斜率公式642023-1-25P.89P.89习题习题3.1 A3.1 A组组 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 652023-1-25
