1、 3 3- -4 4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载 矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量 qL qL L L y 0 x 2 h 2 h q 半逆解法框图半逆解法框图 由边界条件选择某 应力的函数式 ?0 4 吗满足 YES 求应力分量 NO 满足边界条件吗? YES 结论 NO 积分求函数 逆解法框图逆解法框图 选择应力函数 ?0 4 吗满足 YES 求应力分量 NO 满足几何边界条件？ YES 结论 NO 上、下边界上、下边界(主要边界主要边界)的边界条件：的边界条件： 0 2 h y y qh y y 2 由于由于q q沿沿x x轴不变化，与轴不变
2、化，与x x无关，故可假设无关，故可假设 )(yf y 也与也与x x无关无关 则则 )( 2 2 yf x y yfxyf x 1 )( yfxyfxyf 21 2 )( 2 1 其中：其中： yfyfyf 21 ,),(为待定函数为待定函数 （a） q 0 x y L L 2 h 2 h （2 2） 必须必须满足相容方程满足相容方程， ，据此求待定函数 据此求待定函数 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 02 2 2 2 4 2 4 4 1 4 2 4 4 dy yfd dy yfd x dy yfd x dy yfd 代入应力函数后得到： yfxyfxyf 21 2 )( 2 1
3、方程为方程为x x的二次方程的二次方程( (最多只有两个根最多只有两个根) )，要求全梁，要求全梁 范围内无论范围内无论x x取何值均成立取何值均成立( (无数个根无数个根) )，只有，只有x x的各的各 次幂的系数均为零：次幂的系数均为零： 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 零次项零次项 0 4 1 4 dy yfd 0 4 4 dy yfd 02 2 2 4 2 4 dy yfd dy yfd （1） （2） （3） 由（由（1 1）、（）、（2 2）式：）式： DCyByAyyf 23 )( )()( 23 1 常数项GyFyEyyf 02 2 2 2 4 2 4 4 1 4
4、2 4 4 dy yfd dy yfd x dy yfd x dy yfd yfxyfxyf 21 2 )( 2 1 由（由（3 3）式（）式（x x的零次幂项）的零次幂项）： BAy dy yfd dy yfd 4122 2 2 4 2 4 )()( 610 )( 2345 2 常数项一次项 KyHyy B y A yf 故故： 2345 23 23 2 610 2 ),( KyHyy B y A GyFyEyx DcyByAy x yx （b） 上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只 要选择适当的系数要选择适当的系数A A、B BK K常数，使
5、所有边界条常数，使所有边界条 件满足，则（件满足，则（c c） 、 （d d）、（）、（e e）为正确解答。）为正确解答。 （3 3）根据（）根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 ； )23( 23 2622 )26()26( 2 2 2 2 23 2 2 23 2 2 2 GFyEy cByAyx yx DCyByAy x KHyByAy FEyxBAy x y xy y x （c） （d） （e） L L y 0 x 2 h 2 h q a a）考察上边界（主边界）考察上边界（主边界） 2 h y 0 2 h y xy 0) 4 3 ( 2 cBhAhx )23(23 22 2
6、3 2 2 GFyEycByAyx DCyByAy x xy y qDC h B h A h 248 23 q h y y 2 0)2 4 3( 2 GFh h E y s y s xy x s xysx fm fm L L y 0 x 2 h 2 h q a a）考察下边界（主边界）考察下边界（主边界） 2 h y 下边界：下边界： 0 2 h y y )23(23 22 23 2 2 GFyEycByAyx DCyByAy x xy y 0 248 23 DC h B h A h 0) 4 3 ( 2 cBhAhx0)2 4 3( 2 GFh h E 0 2 h y xy y s y s
7、xy x s xysx fm fm 上下边界结果汇总 0 248 23 DC h B h A h 0) 4 3 ( 2 cBhAhx 0)2 4 3( 2 GFh h E 0) 4 3 ( 2 cBhAhx qDC h B h A h 248 23 0)2 4 3( 2 GFh h E 0B 0F 0)2 4 3( 2 GFh h E qL qL L L y 0 x 2 h 2 h q Yl Yl Lx xy Lx xy 左边界左边界(假设分布为假设分布为Y,m0)： 两端x=L处的积分边界条件 Y Y h y xy h y xy 2 2 代入两端的代入两端的l qLdyqLdyqLYdy h
8、 hLxxy h hLxxy h h 2 2 2 2 2 2 y s y s xy x s xysx fm fm 两端积分：两端积分： qLdyGFyEycAyLLx qLdyGFyEycAyLLx GFyEycAyx h h h h xy 2 2 22 2 2 22 22 )23()3(: )23()3(: )23(3 0 2 3 Gh h E 000) 4 3( 2 GEG h E 两端x=L处的积分边界条件 0 2 0)23( 3 2 2 2 Gh h EdyGFyEy h h 以上两个等式两端相加得到： 结合前页等式和上式得到： 注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
9、应力分量：应力分量： I QS h y h yq h y h y qy I M xy y x * 2 2 2 ) 2 1(1 2 5 3 4 （36） 注意到材力的表达方式：注意到材力的表达方式： qLQxL q M yh ShI ),( 2 28 , 12 1 22 22 *3 5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件，）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件， 可确定位移分量可确定位移分量 0| 0 y Lx u0| 0 y Lx v 与材力的结果比较与材力的结果比较 材力解材力解 弹力附加项（修正项）弹力附加项（修正项） y I M x 5 3 4 2 2 h y h y q 0
10、y 2 ) 2 1(1 2h y h yq I QS xy * 0| 0 y Lx u EI qL v y x 24 5 | 4 0 0 ) 25 4 ( 5 3 24 5 2 24 L h EI qL EI qL x y q q 材力 弹力 材力不考虑 这个应力 对于对称性问题 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的边界条件只需要考虑一 端。不考虑对称条件则需要考虑两端的边界条件。 没有把握判断对称性的结果，最好老老实实用最基 本的公式来做。结果与考虑对称性是一致的。这一 点是今后科研时思考问题的要点。 作业：作业：3 3- -1 1，3 3- -5 5，3 36 6
