1、第八章 位 移 法 8-2 等截面直杆的转角位移方程 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 8-6 对称性的利用 8-7 有侧移的斜柱刚架 8-8 温度变化时的计算 8-1 概述 8-1 概 述 位移法位移法：先确定某些位移，再推求内力。：先确定某些位移，再推求内力。 图图a a所示刚架在荷载所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将 结构分解如图结构分解如图b b、c c。 思路思路：将结点：将结点1的角位移的角位移Z1 作为基本未知量，求 作为基本未知量，
2、求 出出Z1，进而求出各杆，进而求出各杆 内力。内力。 需解决的问题需解决的问题：（：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力下的内力 （ （2）确定哪些位移作为基本未知量）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移）如何求出这些位移 8-2 等截面直杆的转角位移方程 图图a所示两端固定的等截面梁，所示两端固定的等截面梁， 两端支座发生了位移。取基本结构如两端支座发生了位移。取基本结构如 图图b。 X3对梁的弯矩无影响，可不考虑，对梁的弯矩无影响，可不考虑， 只需求解只需求解X1、X2。 符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；符号规
3、定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 均以顺时针方向为正；均以顺时针方向为正； AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。以使整个杆件顺时针方向转动为正。 BA 、 力法典型方程为力法典型方程为 B A XX XX 2222121 1212111 作作X1、X2分别等于分别等于1时的弯矩图如图时的弯矩图如图c、d。 EI l EI l EI l 6 3 , 3 2112 2211 由图由图e可得可得 l AB AB 21 AB弦转角，顺时针方向为正。弦转角，顺时针方向为正。 解典型方程得解典型方程得 ABAB ABBA l EI l EI l EI X l EI l EI l EI X 2 2 2
4、 1 624 624 8-2 等截面直杆的转角位移方程 令令 杆件的线刚度杆件的线刚度 l EI i MAB=X1，MBA=X2，可得，可得 固端弯矩固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。杆端弯矩。 FF BAAB MM、 ABABBA ABBAAB l i iiM l i iiM 6 24 6 24 当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为其杆端弯矩为 F BAABABBA F ABABBAAB M l i iiM M l i iiM 6 24 6 24 转角位移方程
5、转角位移方程 8-2 等截面直杆的转角位移方程 对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有端为铰支，则有 0 6 24 F BAABABBA M l i iiM ) 2 13 ( 2 1 F BAABAB M i l B 不是独立的不是独立的 FFF F 2 1 3 3 BAABAB ABABAAB MMM M l i iM 杆端弯矩杆端弯矩 杆端剪力杆端剪力 8-2 等截面直杆的转角位移方程 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 基本未知量基本未知量：结点的角位移、线位移。：结点的角位移、线位移。 1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移
6、未知量。图、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架所示刚架 独立结点角位移数目为独立结点角位移数目为2。 2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水点有相同的水 平位移。平位移。 确定独立的结点线位移另种一方法确定独立的结点线位移另种一方法 把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点把原结构的所有刚
7、结点和固定支座均改为铰结点铰结体系铰结体系，如图，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变，此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。平支座链杆，体系成为几何不变的。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 附加刚臂附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。阻
8、止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆附加支座链杆：阻止结点的线位移。：阻止结点的线位移。 图图a所示刚架，在刚结点所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点处分别加上刚臂，在结点3处加上一根处加上一根 水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。 这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构基本结构。如图。如图c。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 图图a所示刚架，结点所示刚架，结点角位移数目角位移数目=4（注意结点（注意结点2） 结点结点线位移数目线位移数目=2 加上加上4
9、个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 图图a所示刚架，结点所示刚架，结点线位移数目线位移数目=2 图图b所示刚架，结点所示刚架，结点角位移数目角位移数目=2 结点结点线位移数目线位移数目=2 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 图图a所示连续梁（所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点。在结点B 加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二，二 者的位移完全一致了。者的位移完全一
10、致了。 附加刚臂上的反力矩附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）引起的）+R1P（荷载引起的）（荷载引起的） 原结构没有附加刚臂，所以：原结构没有附加刚臂，所以：R1=R11+R1P=0 基本结构在荷载和基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为共同作用下的体系称为基本体系基本体系，如图，如图b。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 设设r11表示表示Z1=1引起的附加刚臂上的反力矩，所以：引起的附加刚臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1。 可得可得 0 P1111 RZr位移法基本方程位移法基本方程 系数系数 自由项自由项 作作 1 1 Z 及荷载作用下的弯矩图，如图及荷载作用下的弯矩
11、图，如图a、b。 由由a图，取结点图，取结点B为隔离体，由为隔离体，由MB=0，可得，可得r11=3i+3i=6i 由由b图，取结点图，取结点B为隔离体，由为隔离体，由MB=0，可得，可得R1P=-24kN m m8 EI i 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 将将 r11和和R1P代入方程求出代入方程求出 ir R Z mkN4 11 P1 1 结构的最后弯矩图由叠加法绘制结构的最后弯矩图由叠加法绘制 P11 MMZM 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 a图所示刚架，图所示刚架，13杆和杆和24杆有侧移产生，称为杆有侧移产生，称为有侧移结构有侧移结构。基本体系如图。基本体系如图b。 由图
12、由图c、d、e可得可得 0 0 2P22212 1P12111 RRRR RRRR 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 0 0 2P222121 1P212111 RZrZr RZrZr r11、r12分别表示分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。引起的刚臂上的反力矩。 r21、r22分别表示分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。可得引起的链杆上的反力。可得 位移法典型方程位移法典型方程 物理意义物理意义 基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每 一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。一个附加联系上的附加反力矩
13、和附加反力都应等于零。 原结构的静力平衡条件原结构的静力平衡条件 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 为求系数和自由项，绘弯矩图如图为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。 l i r 6 21 ir7 11 l i r 6 12 2 22 15 l i r 8 P1 Fl R 2 P2 F R 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 将系数和自由项代入典型方程并求解，可得将系数和自由项代入典型方程并求解，可得 i Fl Z i Fl Z 2 21 552 22 ， 552 9 结构的最后弯矩图可由叠加法绘制：结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： P2211 MZMZMM 内力图校核同力法，略。内力
14、图校核同力法，略。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 位移法计算步骤位移法计算步骤 （1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加 联系得到联系得到 基本结构。基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。）解典型方程：求出作为
15、基本未知量的各结点位移。 （5）绘制最后弯矩图：用叠加法。）绘制最后弯矩图：用叠加法。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 对于具有对于具有n个独立结点位移的结构，可建立个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下个方程如下 0 0 0 nP11 P11 1P11111 RZrZrZr RZrZrZr RZrZrZr nnninin ininiiii nnii 主系数：主斜线上的系数主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。，或称为主反力，恒为正值。 典型方程典型方程 副系数：其他系数副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji
16、。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩结构的结构的刚度系数；刚度系数； 位移法典型方程位移法典型方程结构的结构的刚度方程；刚度方程；位移法位移法刚度法。刚度法。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 例例8-1 试用位移法求图试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。常数。 解：结构的基本未知量：结点解：结构的基本未知量：结点B的角位移的角位移Z1、 竖向位移竖向位移Z2，基本体系如图，基本体系如图b。 典型方程为典型方程为 0 0 2P222121 1P212111 RZrZr RZrZr l EI i 设设 则
17、则iAB=3i，iBC=i 绘弯矩图绘弯矩图c、d、e。 取结点取结点B处的隔离体。处的隔离体。 ir16 11 l i r 12 21 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 2 22 48 l i r l i r 12 12 0 P1 RFR P2 代入典型方程解得代入典型方程解得 i Fl Z i Fl Z 39 ， 52 2 21 由由 P2211 MZMZMM 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 例例8-2 求图求图a所示刚架的支座所示刚架的支座A产生转角产生转角 ，支座，支座B产生竖向位移产生竖向位移 。试用位移法绘其弯矩图，。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。为常数。 l 4 3 解：
18、刚架的基本未知量：结点解：刚架的基本未知量：结点C的角位移的角位移Z1，基本体系如图，基本体系如图b。 典型方程为典型方程为 0 1111 RZr l EI i 设设 iiAC 则则 3 8i iBC 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 绘弯矩图绘弯矩图c、d。取结点。取结点C为隔离体。为隔离体。 ir12 11 iR6 1 代入典型方程解得代入典型方程解得 2 11 1 1 r R Z由由 MZMM 11 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 图图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角的转角Z1，结点，结点1、2的水平位移
19、的水平位移Z2。 如图如图b，由结点，由结点1的力矩平衡条件的力矩平衡条件M1=0 0 1312 MM 如图如图c，由隔离体的投影平衡条件，由隔离体的投影平衡条件Fx=0 0 42S13S FF 设设Z1为顺时针方向，为顺时针方向，Z2向右，可得向右，可得 112 2113 3 8 6 4 iZM Fl Z l i iZM 2 2 12S 2 2 113S 3 2 126 Z l i F F Z l i Z l i F 由平衡条件可得由平衡条件可得 0 2 156 0 8 6 7 2 2 1 21 F Z l i Z l i Fl Z l i iZ Z1、Z2 各杆端最后弯矩由转角位移方程求得
20、。各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 8-6 对称性的利用 图图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作 用下只有正对称的基本未知量，如图用下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基。在反对称荷载作用下只有反对称的基 本未知量，如图本未知量，如图c。 图图b利用对称性简化为图利用对称性简化为图d。 图图c利用对称性简化为图利用对称性简化为图e。 用位移法求解用位移法求解 用力法求解用力法求解 8-6 对称性的利用 图图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、
21、反对称两组。在正（反）对称所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称 荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。 荷荷 载载 位移法基本未知量数目位移法基本未知量数目 力法基本未知量数目力法基本未知量数目 正对称正对称 3（采用）（采用） 6 反对称反对称 6 3（采用）（采用） 8-6 对称性的利用 例例8-3 试计算图试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 梁的梁的EI=常数。常数。 3 m10 EI k 解：这是一个对称结构承受正对称荷载解：这是一个对称结构承受正对称荷载 取一半结构如图取一
22、半结构如图b，基本体系如图，基本体系如图c 0 0 P2222121 P1212111 RZrZr RZrZr 典型方程为典型方程为 8-6 对称性的利用 绘弯矩图绘弯矩图d、e、g。 m10 6 11 EI r 3 22 m1000 112EI r 2 2112 m100 6EI rr kN06 mkN100 2P P1 R R 解得解得 EI Z EI Z 3 2 2 1 m60.4kN6 m32.7kN2 由由 P2211 MZMZMM 8-7 有侧移的斜柱刚架 图图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、 D是不动的。是不动的。 B
23、点：当位移很小时，在垂直点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。方向上运动。 C点：点：BC杆平移至杆平移至BC，CC=BB。 C在垂直在垂直BC方向上运动，方向上运动， 作作CC垂直于垂直于BC。 同理，作同理，作CC垂直于垂直于DC。 CC与与CC的交点的交点C即即C位移后的位置。位移后的位置。 在图在图b中任选一点中任选一点O为不动点为不动点极点，极点，AD与与O重合。重合。 作作OB垂直于杆垂直于杆AB；过；过B作杆作杆BC的垂线；过的垂线；过O作杆作杆CD 的垂线，得交点的垂线，得交点C。 AB：代表：代表AB杆的相对线位移杆的相对线位移 BC：代表：代表BC杆的相对线位移杆的相对线
24、位移 CD：代表：代表CD杆的相对线位移杆的相对线位移 结点位移图结点位移图 8-7 有侧移的斜柱刚架 例例8-4 试用位移法计算图试用位移法计算图a所示刚架。所示刚架。 解：解： 基本体系如图基本体系如图b所示。所示。 0 0 P2222121 P1212111 RZrZr RZrZr 典型方程为典型方程为 1 l EI iCD令令 其余杆线刚度如图其余杆线刚度如图b 1 M 及及 MP图如图图如图c、d 8-7 有侧移的斜柱刚架 设设 1 2 Z CD 则结点位移图如图则结点位移图如图e 1 2 BC AB 附加链杆上反力的计算如图附加链杆上反力的计算如图g。 2 M 图如图图如图f 计算
25、可得计算可得 FRFlR l rrr 16 11 16 3 626 246 2P1P 212111 ， ， 由由MO=0有有 2 22 2129 l r 8-7 有侧移的斜柱刚架 2 2 1 02859. 0 02218. 0 FlZ FlZ 将系数和自由项代入典型方程，可得将系数和自由项代入典型方程，可得 叠加原理绘弯矩图叠加原理绘弯矩图 P2211 MZMZMM 8-8 温度变化时的计算 例例8-5 绘图绘图a所示刚架温度变化时的弯矩图。各杆的所示刚架温度变化时的弯矩图。各杆的EI=常数，截常数，截 面为矩形，其高度面为矩形，其高度h=l/10，材料的线膨胀系数为，材料的线膨胀系数为。 解
26、：解： 刚架有一个独立的结点角位移刚架有一个独立的结点角位移Z1，一个独立的结点线位移，一个独立的结点线位移Z2。基本体系。基本体系 如图如图b所示。所示。 0 0 P2222121 P1212111 RZrZr RZrZr 典型方程为典型方程为 8-8 温度变化时的计算 1 M 及及 图如图图如图c、d 2 M 2 22212111 15i6i 7 l r l rrir， 8-8 温度变化时的计算 为便于计算，将杆件两侧的温度变化为便于计算，将杆件两侧的温度变化t1和和t2对杆轴线分为对杆轴线分为 正、反对称两部分，如下图。正、反对称两部分，如下图。 2 21 tt t 平均温度变化平均温度
27、变化 22 122 ttt 温度变化之差温度变化之差 8-8 温度变化时的计算 （1）平均温度变化如图）平均温度变化如图e 可求得各杆两端相对线位移为可求得各杆两端相对线位移为 0 51520 20 24 12 13 lll l 查表得各杆端相固端弯矩为查表得各杆端相固端弯矩为 0 15 3 120 6 F 42 12 F 12 13 F 13 F 31 M i l i M i l i MM 8-8 温度变化时的计算 （2）温度变化之差如图）温度变化之差如图f 此时各杆并不伸长或缩短，此时各杆并不伸长或缩短， 查表计算各杆固端弯矩为查表计算各杆固端弯矩为 i l EI h tEI M i l
28、EI h tEI M i l EI h tEI MM 150 10/2 10 2 3 300 10/2 )20( 2 3 200 10/ )20( F 42 F 12 F 13 F 31 总的固端弯矩为（总的固端弯矩为（1）+（2） iM iiiM iiiM iiiM 150 28530015 80200120 320200120 F 42 F 12 F 13 F 31 8-8 温度变化时的计算 可绘可绘Mt图如图图如图g。 可求得可求得 l i l i l i R iiiR t t 90150240 20580285 2 1 将系数和自由项代入典型方程解得将系数和自由项代入典型方程解得 lZZ 23 200 23 845 21 ， 叠加原理绘弯矩图叠加原理绘弯矩图 t MZMZMM 2211 M图图
