1、 第十一章第十一章 能量方法能量方法 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法) 113 截面上的应力及强度条件截面上的应力及强度条件 111 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 一、能量原理：一、能量原理： 二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算： 1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算： L x EA xN Ud 2 )( 2 n i ii ii AE LN U 1 2 2 或 2 1 :u比能 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即 WU 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称
2、为能量方法。 2.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算： L P n x GI xM Ud 2 )( 2 n i Pii ini IG LM U 1 2 2 或 2 1 :u比能 3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算： L x EI xM Ud 2 )( 2 n i ii ii IE LM U 1 2 2 或 2 1 :u比能 三、变形能的普遍表达式：三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能 可以相互叠加。 细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。 L x EA xQ d 2 )( 2 S 剪切挠度因子 S x EI xM x GI xM x
3、EA xN U LL P n L d 2 )( d 2 )( d 2 )( 222 x EI xM x GI xM x EA xN U LL P n L d 2 )( d 2 )( d 2 )( 222 Q MN MT A A P N B j j T 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） 求内力 jjsin)(:PRMT弯矩 )cos1 ()(:jj PRM N 扭矩 A P R 外力功等于应变能 变形能： LL P L x EI xM x GI xM x EA xN Ud 2 )( d 2 )( d 2
4、)( 2 2 n 2 j j j j 0 222 0 222 d 2 )(sin d 2 )cos1( R EI RP R GI RP P EI RP GI RP P 44 3 3232 Uf P W A 2 EI PR GI PR f P A 22 3 33 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 C PfW 2 1 解：外力功等于应变能 L x EI xM Ud 2 )( 2 )0( ; 2 )(axx P xM 在应用对称性，得： EI aP xx P EI U a 12 d) 2 ( 2 1 2 32 0 2 EI Pa fUW C 6 3 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位
5、移？ q C a a A P B f 112 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法) AC fUUU1 0 L x EI xM Ud 2 )( 2 L x EI xM Ud 2 )( 2 0 0 L C x EI xMxM Ud 2 )()( 2 0 L A x EI xMxM fd )()( 0 求任意点A的位移f A 。 一、定理的证明：一、定理的证明： a A 图 fA q(x) 图c A 0 P =1 q(x) f A 图b A =1 P0 莫尔定理莫尔定理( (单位力法单位力法) ) 二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理 x EI xMxM f L A d )()( 0 L P
6、 nn L A x GI xMxM x EA xNxN d )()( d )()( 00 x EI xMxM L d )()( 0 三、使用莫尔定理的注意事项：三、使用莫尔定理的注意事项： M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 莫尔积分必须遍及整个结构。 M0去掉主动力，在所求 广义位移广义位移 点，沿所求 广义位移广义位移 的方向加广义单位力广义单位力 时，结构产生的内力。 M(x)：结构在原载荷下的内力。 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 2 )( 2 qx aqxxM )2( ; )
7、2( 2 )0( ; 2 )( 0 axaxa x ax x xM 解：画单位载荷图 求内力 B A a a C q B A a a C 0 P =1 x d )()( d )()( 2 0 0 0 a a a C x EI xMxM x EI xMxM f a x EI xMxM 0 0 d )()( 2 对称性对称性 EI qa x xqx qax EI a 24 5 d 2 ) 2 ( 2 4 0 2 变形 B A a a C 0 P =1 B A a a C q x 求转角，重建坐标系（如图） aa x a xqx qax EI x a xqx qax EI 0 2 2 2 2 2 0
8、 1 1 2 1 1 d 2 ) 2 ( 1 d 2 ) 2 ( 1 2 )( : 2 1 1 qx qaxxMAC a x xM 2 )( 1 0 0 2 )( : 2 2 2 qx qaxxMBC a x xM 2 )( 2 0 q B A a a C x2 x1 B A a a C MC0=1 d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 0 a BC a AB x EI x M x M dx EI x M x M c 例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能 上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。 PxxM AB
9、)( xxM AB )( 0 PxMnCA3 . 0)( 1 3 . 0)( 10 xM CAn 解：画单位载荷图 求内力 5 10 20 A P=60N B x 500 C x1 5 10 20 A B x 500 C =1 P0 PxxM AB )(xxM AB )( 0 PxMnCA3 . 0)( 1 3 . 0)( 10 xM CAn LL P nn B x EI xMxM x GI xMxM d )()( d )()( 0 1 101 3 . 0 0 2 5 . 0 0 1 dd 3 . 03 . 0 x EI Px x GI P P P ACAB AB AB GI LPL L EI
10、 PL 3 3 3 3 3 10 1052103 123 . 060 3 4 10 202104 . 0 325 . 03 . 060 3 . 0 mm22. 8 变形 113 卡氏定理卡氏定理 给Pn 以增量 dPn ，则： ),.,( 21n PPPUU n n P P U UUd 1 1. 先给物体加P1、 P2、 Pn 个力，则： 2.先给物体加力 dPn ，则： )d()d( 2 1 2nn PU 一、定理证明一、定理证明 1 P 2 P n n P 再给物体加P1、 P2、Pn 个力，则： )d( 21nn PUUU n n P U 1 P 2 P n n P n n P U 第二
11、卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程师阿尔 伯托 卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 18471884) 二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项： U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数 n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。 1 P 2 P n n P 三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理： LL P L x EI xM x GI xM x EA xN Ud 2 )( d 2 )( d 2 )
12、( 2 2 n 2 L n L n n P L nn n x P xM EI xM x P xM GI xM x P xN EA xN P U d )()( d )()( d )()( n 例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 变形 求内力 解：求挠度，建坐标系 xPxPxM A )( EI PL 3 3 将内力对P A求偏导 x P xM A )( L AA A x P xM EI xM P U fd )()( L x EI Px 0 2 d A L P EI x O 求转角 A 求内力 A MxPxM)( 没有与A向相对应的力（广义力），加之。 EI PL 2 2 “负号
13、”说明 A与所加广义力MA反向。 EI PL A 2 2 将内力对MA求偏导后，令M A=0 1 )( 0 A M A M xM L A A x M xM EI xM d )()( L x EI Px 0 d 求变形（ 注意：M A=0） L x O A P M A 例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 解：求挠曲线任意点的挠度 f（x） 求内力 将内力对Px 求偏导后，令Px=0 没有与f（x）相对应的力，加之。 )()()( 111 xxPxLPxM xAB )()( 11 xLPxM BC xx P xM P x AB 1 0 )( x 0 )( 0 x x BC P P xM P
14、 A L x B Px C f x O x1 变形（ 注意：Px=0） L xx x P xM EI xM P U xfd )()( )( x xxxxLP EI 0 111 d)( 1 ) 2 )( 3 ( 2 23 Lx xxLx EI P 例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。 求内力 解：1.依 求多余反力， 0 C f 将内力对RC求偏导 )5 . 0()()(xLPxLRxM CAB )()(xLRxM CBC xL R xM C AB )( 取静定基如图 xL R xM C BC )( P C A L 0.5 L B f x O P C A L 0.5 L B RC 变
15、形 L CC C x R xM EI xM R U fd )()( L C L xxLRxxLxLP EI 0 2 5.0 0 d)(d)()5.0( 1 0) 348 5 ( 1 33 LRPL EI C 16 5P RC 2.求 0 B f 将内力对P求偏导 )5.0()( 16 5 )(xLPxL P xM AB )( 16 5 )(xL P xM BC 16 311)(Lx P xM AB 16 )(5)(xL P xM BC 求内力 变形 L B x P xM EI xM P U fd )()( L L L xxLPx Lx P EI 5.0 22 5.0 0 2 d)() 16 5 (d) 16 311 ( 1 EI PL 768 7 3 变形 解：画单位载荷图 求内力 例例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。 P P A B 1 1
