1、三、分支稳定和增量三、分支稳定和增量 变刚度极限分析及程序变刚度极限分析及程序 本部分学习内容本部分学习内容 暂时参考暂时参考结构力学教程结构力学教程 第十八、十九章相关内容第十八、十九章相关内容 更多的例子可看更多的例子可看SMCAI 三、分支稳定和增量三、分支稳定和增量 变刚度极限分析及程序变刚度极限分析及程序 结构稳定性分析基本概念结构稳定性分析基本概念 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 结构极限分析基本概念结构极限分析基本概念 增量变刚度极限分析程序增量变刚度极限分析程序 3.1 结构稳定性分析基本概念结构稳定性分析基本概念 3.1.1 一些基本概念一些基本概念 薄壁、高强、受压结构，
2、设计不当容易产生部件薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件 或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、 刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。 结构稳定分结构稳定分静力静力和和动力动力稳定两大类，本章只讨论稳定两大类，本章只讨论 静力稳定。静力稳定。 一些问题可以抽象为受压杆都是“理想中心受压一些问题可以抽象为受压杆都是“理想中心受压 直杆”计算模型，这称为直杆”计算模型，这称为完善体系完善体系。如果结构杆件。如果结构杆件 不满足上述“理想中心受压直杆”假定不满足上述“理想中心受压直杆”假定(不直或
3、有偏不直或有偏 心心)，此系统称，此系统称非完善体系非完善体系。 完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将 变化，也即随荷载变大有分叉点，称变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定分支点稳定。 3.1 结构稳定性分析基本概念结构稳定性分析基本概念 非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。 但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷 载反而减少），这类稳定现象称载反而减少），这类稳定现象称极值点稳定极值点稳定。 一些扁平拱式结构还可能产生从受压跳转到受拉一些扁平
4、拱式结构还可能产生从受压跳转到受拉 的的“急跳”“急跳”现象，当然实际结构不允许出现这情况。现象，当然实际结构不允许出现这情况。 本章以讨论分支点稳定问题临界荷载为主，也介本章以讨论分支点稳定问题临界荷载为主，也介 绍一点其他内容。绍一点其他内容。 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比 十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变 形影响。因此线弹性材料力形影响。因此线弹性材料力-位移成正比，叠加原理位移成正比，叠加原理 适用。适用。 在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠在作稳定分析时，必须考虑变
5、形的影响，这时叠 加原理不再适用。加原理不再适用。 SMCAI 3.1 结构稳定性分析基本概念结构稳定性分析基本概念 3.1.2 稳定问题分析基本方法一：静力法稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定 问题的特征，确定临界荷载的方法问题的特征，确定临界荷载的方法静力法。静力法。 1) 分支点稳定问题分支点稳定问题 1-1) 分析步骤分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡） 建立特征方
6、程建立特征方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 1-2) 按大、小挠度分析及结论按大、小挠度分析及结论 待切换到待切换到SMCAI 。 SMCAI 3.1 结构稳定性分析基本概念结构稳定性分析基本概念 3.1.3 稳定问题分析基本方法二：能量法稳定问题分析基本方法二：能量法 通过考虑失稳状态下的应变能、外力时能，利用通过考虑失稳状态下的应变能、外力时能，利用 稳定问题的能量特征（总势能取驻值），确定临界稳定问题的能量特征（总势能取驻值），确定临界 荷载的方法荷载的方法能量法（只讨论分支点问题）。能量法（只讨论分支点问题）。 1) 分析步骤分析步骤
7、设定约束所允许的可能失稳状态设定约束所允许的可能失稳状态 通过求应变能、外力时能确定总势能通过求应变能、外力时能确定总势能 用分支点稳定的能量准则（总势能取驻值）建立用分支点稳定的能量准则（总势能取驻值）建立 特征方程特征方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 2) 举例举例 待切换到待切换到SMCAI 。 SMCAI 结构力学教程结构力学教程和和 SMCAI 上还有许多内容上还有许多内容 限于授课学时希望学有限于授课学时希望学有 余力的同学能自学。余力的同学能自学。 3.2 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 用有限单元法可以解决两类稳定问题，还可以
8、考用有限单元法可以解决两类稳定问题，还可以考 虑弹性后的屈曲问题。但这些有待大家今后继续学虑弹性后的屈曲问题。但这些有待大家今后继续学 习，本节只介绍弹性分支点稳定问题。这等于假定习，本节只介绍弹性分支点稳定问题。这等于假定 结构直到临界状态结构直到临界状态材料是处于弹性阶段，荷载达临材料是处于弹性阶段，荷载达临 界值以前结构处于无弯矩状态、可忽略轴向变形影界值以前结构处于无弯矩状态、可忽略轴向变形影 响响。 3.2.1 基本原理基本原理 1) 刚度方程的建立刚度方程的建立 在第二章建立单元刚度方程时，不计杆内压力对在第二章建立单元刚度方程时，不计杆内压力对 弯曲变形的影响，如前所述这里要考虑
9、这一影响。弯曲变形的影响，如前所述这里要考虑这一影响。 1-1) 单元位移场单元位移场 仍然取仍然取2.2.3不计轴向变形平面弯曲杆单元形函数不计轴向变形平面弯曲杆单元形函数 因此单元挠曲线仍可表为：因此单元挠曲线仍可表为： v=Nde 3.2 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 形函数为形函数为 1-2）单元应变能为）单元应变能为 则则 132 23 1 N; l x BN v EIU l 02 2 2 2 2 dx d dx;) dx d ( 2 1 若记若记 1-3）单元外力势能）单元外力势能 外力势能包括两部分：一、杆端力的外力势能；外力势能包括两部分：一、杆端力的外力势能； 二、轴向压
10、力的外力势能。二、轴向压力的外力势能。 2 2 )1( lN )-(1 2 4 lN )23( 2 3 N eeee l e dkddBEIBdU T 0 T T 2 1 dx 2 1 由图可见由图可见 3.2 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 杆端力外力势为杆端力外力势为 eef dFP T 1 22 ddxdxdxdxdve egNee l e N f dkFddNNd F P T 0 TT 2 2 1 dx 2 dx dx dv dx 为了说明轴向压力的外力势，首先看为了说明轴向压力的外力势，首先看 示意图。示意图。 因此因此 e e dNNd v e TT 2 2 1 dx d 2 1
11、 d 由此可得轴向压力的外力势为由此可得轴向压力的外力势为 式中式中 dx d N N 由此可得外力总势能为由此可得外力总势能为 egNeee fff dkFddF PPP TT 21 2 1 几何刚度矩阵几何刚度矩阵 3.2 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 1-4) 单元列式单元列式 有了上述结果，利用势能原理可得单元刚度方程，有了上述结果，利用势能原理可得单元刚度方程， 经坐标转换后为经坐标转换后为 (ke-kg)de =Fe 1-5) 整体分析整体分析 根据有关编码信息，由单元对号入座后可得根据有关编码信息，由单元对号入座后可得 (K -Kg) =0 请大家考虑为什麽式中右端项为零？请
12、大家考虑为什麽式中右端项为零？ 由上述结果可见，根据平衡的两重性，为使位移由上述结果可见，根据平衡的两重性，为使位移 不等于零（能在弯曲状态平衡），必须不等于零（能在弯曲状态平衡），必须K -Kg对应对应 的行列式等于零。这就是分支点稳定的特征方程。的行列式等于零。这就是分支点稳定的特征方程。 3.2 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 3.2.2 迭代法求临界荷载迭代法求临界荷载 1) 基本假定：除不计轴向变形，失稳前结构处于无基本假定：除不计轴向变形，失稳前结构处于无 弯矩状态外，还假定所有荷载变化时彼此保持固定弯矩状态外，还假定所有荷载变化时彼此保持固定 的比例的比例称作比例加载。称作比例
13、加载。 因此因此 Kg= Kg =K-1Kg =H 经改造后得经改造后得 上式可用迭代法进行求解上式可用迭代法进行求解,迭代公式为迭代公式为 整体刚度方程为整体刚度方程为 (K- Kg) =0 n+1 n+1=H n 具体计算时，可任意假定一个非零的位移具体计算时，可任意假定一个非零的位移 n，然后，然后 进行反复迭代，直到两次迭代结果的误差达到精度进行反复迭代，直到两次迭代结果的误差达到精度 要求为止。要求为止。 3.2 分支稳定分析程序分支稳定分析程序 3.2.3 分支点稳定计算程序的使用说明分支点稳定计算程序的使用说明 SMCAI 3.3 结构极限分析基本概念结构极限分析基本概念 3.4 增量变刚度极限分析程序增量变刚度极限分析程序 这两部分内容请自学这两部分内容请自学SMCAI SMCAI
