1、学 海 无 涯 北师大版七年北师大版七年级级数学上册知识点数学上册知识点 前言前言：七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点在六年级涉及过，现在是对六年级的加深与拓展。重点难点章节有三个：第二章 有理数及其运算、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。第一第一章章 丰富的图形世丰富的图形世界界 备注备注：本单元本单元两两个个易错点易错点：1 1、图形的展开图形的展开与与折折叠叠 2 2、“三三 视图视图”判断图判断图形形个个数数 1 1、几何图、几何图形形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体 图形。平面图形：
2、有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2 2、生活中、生活中的的立立体体图图形形 圆柱 柱 生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、(按名称分)锥 圆锥 棱锥 3 3、点、线、点、线、面面、体体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。1参考学习学 海 无 涯 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。4 4、常见的、常见的几几何何体体及其特及其特点点 长方体：有 8 个顶点，12 条棱，6 个面，且各面都是长方形。（正方
3、形是特殊的长方形），正方体是特殊的长方体。棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是 四棱柱。棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。圆柱：有上下两个底面和一个侧面（曲面），两个底面是半径相等 的圆。圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。圆锥：有一个底面和一个侧面（曲面）。侧面展开图是扇形，底面 是圆。球：由一个面（曲面）围成的几何体。5 5、棱柱及、棱柱及其其有有关关概念概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。6
4、6、正方体、正方体的的平平面面展开图：展开图：1111 种种 33 型 2参考学习学 海 无 涯 参考学习3 总结规律总结规律：截出的面可能是三角一线不过四，一线不过四，田田凹应弃之；凹应弃之；相间、相间、Z Z 端是端是对对面，间二、拐面，间二、拐角角邻面知。邻面知。7 7、截截一一个个正正方方体体：用一个平面去截一个正方体，形，四边形，五边形，六边形。可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边 形或更多边形 其他几何体的截面形状：正方体：三角形、正方
5、形、长方形、梯形、五边形、六边形 圆柱：圆、长方形、（正方形）、圆锥：圆、三角形、球：圆 8 8、三视、三视图图 222型学 海 无 涯 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。第二第二章章 有理有理数数及其运及其运算算 备注：备注：1 1*、数、数轴轴是新知识很多是新知识很多地地方用到方用到 2 2*、去去绝绝对值对值与与绝对值的几何绝对值的几何意意义很重要义很重要，有有些些学生在去学生在去绝绝 对值对值和利用绝和利用绝对对值几何意义做值几何意义做题题时比较容易出时比较容易出错错（去绝对
6、值的（去绝对值的主主要数学思想要数学思想是是“分情况讨论分情况讨论”这这也是贯穿初高也是贯穿初高中中的一个重要数的一个重要数学学 思想）思想）3 3*、有理数混、有理数混合合运算中去去括运算中去去括号号变号很多同学变号很多同学容容易在这块丢分易在这块丢分。1 1、有理数、有理数的的分分类类 整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为 分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。正有理数 整数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 或 有 理数 负有理数 分数 2 2、相相反反数数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两
7、侧，且与原点 的距离相等.4参考学习5参考学习学 海 无 涯 相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说 是相反数。3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数 轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用 数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。4 4、倒数：、倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于 本身的数是 1 和-1。零没有倒数。5 5、绝对值：、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该 数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则
8、a0；若|a|=-a，则 a0。绝对值的有关性质 对任意有理数 a，都有|a|0；若|a|=0，则 a=0；若|a|=|b|，则 a=b 或 a=b；若|a|=b（b0），则 a=b；若|a|b|=0，则 a=0 且 b=0；对任意有理数 a，都有|a|=|a|.6 6、有理数比较、有理数比较大大小小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负 数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。7 7、有理数、有理数的的运运算算 ：（1 1）五种五种运运算算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个
9、时，积的符号为正。只要有一个数为学 海 无 涯 零，积就为零。有理数加法法有理数加法法则则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为 0。有理数减法法有理数减法法则则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！有理数有理数乘法法乘法法则则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。有理数除法法有理数除法法则则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得
10、 0。注意：0 不能作除数。有理数的乘方有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方。a2 是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0则 a=0,b=0；据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移 动二位.注意：一个数可以看作是本身的一次方，如 5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指 数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；6参考学习7参考学习学 海 无 涯 任何数的偶数次幂都是非负数；（除 0 以外任何数的 0 次方都得 1）1 的任何次幂都得 1，0 的任 何次幂（除 0 次）都得 0；-1 的
11、偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。2 2有理有理数数的的运运算顺算顺序序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。3 3运算运算律律 加 法 交 换 律 a b b a 加 法 结 合 律(a b)c a (b c)乘 法 交 换 律 ab ba 乘 法 结 合 律(ab)c a(bc)乘法对加法的分配律 a(b c)ab ac 变形公式 ab ac a(b c)8 8、科、科学记学记数法数法 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 的形式，其中，n 是正整 数，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1）第三章
12、第三章 整式及整式及其其加加减减 备注备注：这章算这章算是是这册比较难的这册比较难的一一个知识点个知识点。一一是是对单项式对单项式、多多项项式式的的 理解，其次是理解，其次是对对同类项的理解同类项的理解和和计算计算。容易出错的地容易出错的地方方大多在化简计大多在化简计算算，有几点，有几点：1 1、是化简、是化简计计算算过过程中去括号变程中去括号变号号。2 2、化简求、化简求值值中中“整体思想整体思想”的的运运用用。3 3、化简计、化简计算算中中一一个个字母表示另字母表示另个个字母代入换算。字母代入换算。2学 海 无 涯 知识点知识点 一、字母表示一、字母表示数数 1、字母可以表示任何数，用字母
13、表示数的运算律和公式法则；1 加法交换律 abba 加法结合律 abca（bc）2 乘法交换律 ab ba 乘法结合律（ab）c a（bc）乘法分配律 a（bc）abac 用字母表示计算公式：1 长方形的周长 2（ab）,面积 ab（a、b 分别为长、宽）2 正方形的周长 4a，面积 a2（a 表示边长）3 长方体的体积 abc，表面积 2ab2bc2ac（a、b、c 分别为长、宽、高）4 正方体的体积 a3,表面积 6a2（a 表示棱长）5 圆的周长 2r,面积 r2（r 为半径）6 三角形的面积1 ah（a 表示底边长，h 表示底边上的高）2、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的
14、数量要用不 同的字母表示。3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题 有意义，并且符合实际。4、注意书写格式的规范：(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2)数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；(4)除法运算写成分数形式，分数线具“”号和“括号”的双 重作用。8参考学习学 海 无 涯(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。典型例题典型例题：例例题题 1 1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的
15、总质量为 m 千克，再从中截取 5 米长的钢筋，称出它的质 量为 n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米 mmn5m5mn55n A、B、C、D、(5)D2例例题题 2 2.用代数式表示“2a 与 3 的差”为（）A2a3 B32a C2（a3）（3a）例例题题 3 3.如图 131，轴上点 A 所表示的是实数 a，则到原点的距 离是（）A、a Ba Ca D|a|111例例题题 4 4.已知 a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式 a+b+c222202020abbcac 的值为（）A、4 B、3 C、2 D、1 练习练习：1、温度由 t下降 3后是.2、飞机每小时飞行 a 千
16、米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是 火车速度的 倍.3、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（）a 1119参考学习2a 1A.、B.1C.1 a 1D.a2 4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a，排数比每排同学数10参考学习学 海 无 涯 的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（）A.a 3a 2B.a(3a 2)C.a 3a 2D.3a(a 2)5、轮船在 A、B 两地间航行，水流速度为m 千米时，船在静水中 的速度为n 千米时，则轮船逆流航行的速度为 千米时 6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 x 元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%
17、，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（）（A）甲（B）乙（C）丙（D）乙 或 丙 7、下列说法中：a 一定是负数；|a|一定是正数；若abc 0，则a、b、c 三个有理数中负因数的个数是 0 或 2，其中正确的序号是 8、设三个连续整数的中间一个数是n,则它们三个数的和是 9、设三个连续奇数的中间一个数是x,则它们三个数的和是 10、设n 为自然数，则奇数表示为；偶数表示为；能被 5整除的数为；被 4 除余 3 的数为 二、代数二、代数式式 1、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把 数或表示数的字母连接而成的式子叫代数
18、式。如：n-2、0.8a、2n+500、abc、2ab+2bc+2ac（单独一个数或一个字母也是代数式）注注意：意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括 号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不 是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问学 海 无 涯 题的要符合实际问题的意义。代数式的书代数式的书写写格式格式：代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如2 1 a 应写作7 a；33数字与数字相乘，一般仍用“”号，
19、即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4（a-4）应写作4a 4；注意：分数线具有“”号和括号的双重作用。在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括 起来，再将单位名称写在式子的后面，如(a2 b2)平方米。例：下列不是代数式的是（）A.0 B.s C.x 1 D.x 0.1y2 t2、单项式：表示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式 的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是 0；3.书写时，当单项式的系数为
20、1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab的系数是-1，ab 的系数是 1。4.是数字，不是字母。2例：ab2 的系数是；如x2 的系数是；如 1 x2 的系 数 是；3、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中，每个单项式叫 做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。11参考学习学 海 无 涯 例：代数式5x y x2 x 1 有 项，第二项的系数是，第三项的 系数是，第四项的系数是 4、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分，在代数式中 可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。练习：练习：1、某商品售价为a 元，打八折后又降价 20 元，则现价为 元
21、2、橘子每千克a 元，买 10 kg 以上可享受九折优惠，则买 20 千克应 付 元钱.3、如图，图1 需4 根火柴，图2 需 根火柴，图3 需 根火柴，图n 需 根火柴。（图 1）（图 2）（图 n）4、温度由 t下降 3后是.5、飞机每小时飞行 a 千米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是 火车速度的 倍.6、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（）A.11a 1a22a 1 B.1C.1 a 1D.7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a，排数比每排同学数 的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（）A.a 3a 2B.a(3a 2)C.a 3a 2D.3a(a 2)328、填
22、空 x y 的系数为，次数为：3a 2b2 的次数为2；ab2 的系数是；x2 的系数是；1 x2 的系数12参考学习学 海 无 涯 是；代数式5x y x2 x 1 有 项，第二项的系数是，第三项的系数是，第四项的系数是 9、下列不是代数式的是（）A.0 B.s C.x 1 D.x 0.1y2 13参考学习t三、合并同类三、合并同类项项 1 1、同类项、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同 类项。注意注意：同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也 相同。同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。如：100a 和 200a，240b 和
23、60b，-2ab 和 10ba 2 2、合合并并同类项同类项法法则则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。合并同类项法则：1写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；2合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字 母的指数不变.3不同种的同类项间，用“+”号连接 4没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄 如：合并同类项 3x2y 和 5x2y，字母 x、y 及 x、y 的指数都不变，只要将它们的系数 3 和 5 相加，即 3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y 3合合并并同类同类项项的的步骤步骤：（1）准确的找出同类项（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后
24、结合在一起（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果 4.注意注意:（1）不是同类项不能合并（2）求代数式的值时,如学 海 无 涯 37果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.例 1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：（1）2 a2b 和-5 a2 b（2）2m2 np 和-pm2n(3)0 和-1 例 2.下列各组中：5 x 2 y与1 xy；5 x 2 y与1 yx 2；55 5ax 2 与1 yx 2；83 与x 3；x2 与1 x2；3x2 与x 3x252与 2，同 类 项 有（填 序 号）133例 3.如果xky 与 1 x2
25、y 是同类项，则 k=，1 xky+（-1 x2y）33=例 4直接写出下列各式的结果：22（1）-1 xy+1 xy=；（2）7a2b+2a2b=；（3）23-x-3x+2x=；（4）x2y-1 x2y-1 x2y=；（5）3xy2-7xy2=例 5合并下列多项式中的同类项（1）4x2y-8xy2+7-4x2y+10 xy2-4；（2）a2-2ab+b2+a2+2ab+b2 （3）3x2 5x 6x2 1（4）6xy2 2x2 4x2 y 5yx2 x2 2例 6.若x 0,y 0，1 xy2 axy2 0，则a 555练习练习：1、单项式2axb2 与 a3by 是同类项，则x ，y 2、
26、下列各组中：5 x 2 y与1 xy；5 x 2 y与1 yx 2；5ax 2 与1 yx 2；214参考学习 83 与x 3；x2 与 1 x2；3x2 与 x 3x2 与 2，同 类 项 有 （填序号）学 海 无 涯 3、合并同类项：3x2 5x 6x2 1 6xy2 2x2 4x2 y 5yx2 x2 4、若x 0,y 0，1 xy2 axy2 0，则a 2四、去括号法四、去括号法则则 1、根据去括号法根据去括号法则则去括号去括号：1括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各 项的符号都不改变。2括号前是“”号，把括号和前面的“”号去掉，括号里的 各项都要改变符号。2、根据
27、去括号法根据去括号法则则中乘法分配律中乘法分配律的的应应用用去括号去括号：若括号前有因 式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。3、多重括号的化多重括号的化简简原原则则：1由里向外逐层去掉括号 2由外向里逐层去掉括号 注意：注意：1 1、添括号、添括号法则法则 添“”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“”号和 括号，添到括号里的各项符号都要改变。2 2、整式的、整式的运运算算：整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。例 1、一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这 个两位数是 例 2、去括号，合并同类项 215参考学习（1）3（2s5）+
28、6s(2)3x5x（1 x4）2学 海 无 涯（3）6a2 4ab 4(2a2+1 ab)（4）22 3(2x2 xy)4(x2 xy 6)（5）(x y)(x y)（6）2(m n)3(m x)2x （7）2x2 3x 1 (5 3x x2)（8）(2a 2 1 3a)4(a a 2 1)326（9）a (5a 3b)2(a 2b)（10）1 m2 n nm2 1 mn 2 1 n2 m 练习：练习：1、化 简：(x y)(x y)2(m n)3(m x)2x 2、一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个 两位数是 3、化简：(1)2x2 3x 1 (5 3x x2)
29、(2)(2a 2 1 3a)4(a a 2 1)a (5a 3b)2(a 2b)(3)22 (4)32616参考学习1 m2 n nm2 1 mn 2 1 n2 m 五、代数式求五、代数式求值值先化简，先化简，再再求求值值 代数式求值代数式求值：1、用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。2、求代数式的求代数式的值值时应注意以下时应注意以下问问题题:（1）严格按求值的步骤和格式去做 学 海 无 涯（2）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若 有多个字母，代入时要注意对应关系，千万不能混淆 3在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算
30、符号 不变 4字母取负数代入时要添括号 5有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号 例 1 当 x=1，y=-3 时，求下列代数式的值:（1）3x2-2y2+1；（2）3(x y)2 xy 1例 2 当x 2时，求代数式5x(4x 1)的值 例 3 已知a，b 互为倒数，m，n 互为相反数，求代数式(2m 2n 3ab)2 的值 例 4 化简，求值：9ab 6b2 3(ab 2 b2)1，其中a 1，b 1 32 2323317参考学习 1 x 2(x 1 y 2)(3 x 1 y 2),其中x 2,y 2 经典例经典例题题 例例题题 1 1.若 abx 与 ayb2 是同类项，下列结
31、论正确的是（）AX2，y=1 BX=0，y=0 CX2，y=0 D、X=1，y=1 例例题题 2 2.2xx 等于（）Ax Bx C3x D3x 学 海 无 涯 例例题题 3 3.x（2xy）的运算结果是（）Ax+y Bxy Cxy D3xy 练习练习：1、当x 2时，求代数式5x(4x 1)的值 2、已知a，b 互为倒数，m，n 互为相反数，求代数式(2m 2n 3ab)2 的值 33、已知m n 2,求7 3m 3n 的值。4、化简，求值：9ab 6b2 3(ab 2 b2)1，其中a 1，b 1 32 1 x 2(x 1 y 2)(3 x 1 y 2),其中x 2,y 2 23233 2
32、5、已知 A x2 y 2xy2 1，B 2x2 y xy2 1,x 2,y 1，求2A B 六、探索规律六、探索规律列列代数代数式式 例例题题 1 1.观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应 为，第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为_（用含有 n的代数式表示，n 为正整数）18参考学习学 海 无 涯 例例题题 2.2.观察下列各等式：（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个 实数的；如果等号左边的第一个实数用 x 表示，第二个实数 用 y 表示，那么这些等式的共同特征可用含 x，y 的等式表示为.（2）将以上等式变形，用含 y 的
33、代数式表示 x 为；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：例例题题 3.3.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部 分如图 133 所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有 颗 第四第四章章 平面图形及其平面图形及其位位置关置关系系 备注：这一章备注：这一章重重要是为后面几要是为后面几何何打基础：打基础：1 1、重点在、重点在平平行行的的性质与性质与证明。证明。2 2、同旁内角、内错角、同位角的定义（这个有些学生在开始的时候、同旁内角、内错角、同位角的定义（这个有些学生在开始的时候会出现小失误会出现小失误后后面没什么问题）面没什么问题）3 3、垂线的、垂线的性性质
34、质与与判判定定 19参考学习学 海 无 涯 线段、射线、线段、射线、直直线线 1 1、线线段：段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有 两个端点。2 2、射射线：线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。3 3、直直线线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。4 4、点、直、点、直线线、射射线和线段的表示线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。一条线段可以用一个小写字母表示
35、或用它的端点的两个大写字母来 表示。称 图形 表示方法 端点 长度 线 lABA直线B(或 BA)直线 l 无 端点 无法 度量 线 OM射线 OM 1个 无法 度量 段 lAA线段BB(或 BA)2个 可度 量长度 20参考学习21参考学习线段 l 学 海 无 涯 5 5、点和直、点和直线线的的位位置关系有两种：置关系有两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。6 6、直线的、直线的性质性质 1直线公理：经过两个点有且只有一条直线。2过一点的直线有无数条。3直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较 大小。4直线上有无穷多个点。5两条不同的直线至
36、多有一个公共点。7 7、线段的、线段的性质性质 6线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。7两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距 离。（点到直线的垂线段的长叫做点到直线的距离；平行线间垂线段 的长叫做平行线间的距离。）3线段的中点到两端点的距离相等。4线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。8 8、线段的、线段的中中点点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点。AM=BM=1/2AB（或 AB=2AM=2BM）。9 9、角、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫
37、做这个角的边。或：角也可以看成22参考学习学 海 无 涯 是一条射线绕着它的端点旋转而成的。1010、平角和周、平角和周角角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所 形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成 的角叫做周角。1111、角的表、角的表示示 角的表示方法有以下四种：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的 角，如B，C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE 等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母
38、写在两侧。1212、角的度、角的度量量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度 的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1”，n 度记作“n”。把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1”。把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1”。1=60，1=60”1313、角的性、角的性质质 1角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小 有关。2角的大小可以度量，可以比较 23参考学习学 海 无 涯 3角可以参与运算。时针问题时针问题：（小学奥数）时针每小时 30，每分钟 0.5；分针每分钟 6；时针与分针每分 钟差 5.
39、5.时针与分针夹角=分5.5时30（分针靠近 12 点）时针与分针夹角=时30分5.5（时针靠近 12 点）若结果大于 180，另一角度用 360减这个角度。经过多少时间重合、垂直、在一条线上，用求出的重合、垂直、在一条线上的时间减去现在的时间。追及问题还可用追及度数/5.5。1414、角的平分、角的平分线线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的平分线。1515、多边形、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个 n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个 n 边
40、形分割成（n-2）个三角形。n 边形内角和等于（n-2）180。正多边形（每条边都相等，每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）180/n。过 n 边形一个顶点有（n-3）条对角线，n 边形共（n-3）n/2 条 对角线 1616、圆、圆：(1)平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点 O 称为圆心，线段 OA 的 长称为半径的长（通常简称为半径）。24参考学习学 海 无 涯(2)圆上任意两点 A、B 间的部分叫做圆弧圆弧，简称弧弧，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”；(3)由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB 所组成的图形叫做扇形
41、扇形。(4)顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角。1515、平行线、平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“ABCD”，读作“AB 平行于 CD”。注意：注意：1平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。2当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。1616、平行线公平行线公理理及其推及其推论论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行。补充平行线的判定方法：1平行于同一条直线的两直线平行。2在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。3平行线的定义。1717、垂直、垂直
42、：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫 做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”（或“CDAB”)，读作“AB 垂直于 CD”（或“CD 垂直于 A B”）。1818、垂线的性、垂线的性质质：25参考学习学 海 无 涯 性质 1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。1919、点到直线、点到直线的的距离距离：过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B 点，线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离。2020、同一平面、同一平面内内，两条直线的
43、，两条直线的位位置关置关系系：相交或平行。第五章第五章 一元一元一一次方次方程程 备注：解方程备注：解方程在在小学已经学了小学已经学了很很多了，现在算多了，现在算是是加深与拓展。加深与拓展。比比 如增加了一元如增加了一元一一次方程方程的次方程方程的概概念、含绝对值念、含绝对值方方程程。主要在两个方主要在两个方面面：1 1、解方程，主要是化简出现问题（去分母、去括号、移项变号等）、解方程，主要是化简出现问题（去分母、去括号、移项变号等）主要是粗心，主要是粗心，知知道怎么做不过道怎么做不过老老是会是会忘忘 2 2、方程运、方程运用用题题，重要是找等量重要是找等量关关系列方程问系列方程问题题 1 1
44、、方、方程程 含有未知数的等式叫做方程。2 2、方程的、方程的解解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3 3、等式的、等式的性性质质 1等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。2等式的两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。26参考学习学 海 无 涯 4 4、一元一、一元一次次方方程程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元 一次方程。5 5、移项移项：把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.6 6、解一元、解一元一一次次方方程的一般步骤：程的一般步骤：1去分母 2去括号 3
45、移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到 另一边，这种变形叫移项。）4合并同类项 5将未知数的系数化为 1 6 6、列一元、列一元一一次次方方程解应用题步程解应用题步骤骤：找等量关系，设未知数，列方程，解方程，检验解的正确性，作 出回答。7 7、找等量、找等量的的方方法法：1读题分析法:：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-”，利用这些关键字 列等量关系式。2画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读 题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的
46、含义，通过图形找等量关系是解决问题的关键。3常用公式也可作为等量关系 学 海 无 涯 8、列方程解应用题的常用公式：1行程问题：距离=速度时间；2工程问题：工作量=工效工时；3比率问题：部分=全体比率；4顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；5商品价格问题：售价=定价折，售价=进价（1+提高率），利润=售价-成本，利润=利润率成本；6本息和=本金+利息；利息=本金利率期数（7）原量（1+增长率）=现量；原量（1-下降率）=现量（只 有 1 次增减）（8）周长、面积、体积问题：C 圆=2R；S 圆=R2；C 长方形=2(a+b)；S 长方形=ab；C 正方形=4
47、a；S 正方形=a2；S 环形=(R2-r2)；V 长方体=abc；V 正方体=a3；V 圆柱=R2h；V 圆锥=1 R2h。3 第六章第六章 数据数据的的收集与整收集与整理理 1 1、普查和、普查和抽抽样样调调查查 （1）从事一个统计活动大致要经历确定任务，收集数据，整理数 据等过程。27参考学习28参考学习学 海 无 涯 我们经常通过调查、试验等方式获得数据信息。项目很大时，还可以通过查阅报纸、相关文献或上网的方式。2为某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普普 查查。所要考察的对象的全体称为总体。组成总体的每一个考察对象称为个体。3总体的个数数目较多，普查的工作量较大；有时受客观
48、条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性，不允许普查。人们往往从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调抽样调 查查。抽样调查时，从总体总体中抽取的一部分个体叫做总总体的一个样体的一个样本本。样本容量样本容量：样本含有个体的数目。4 4随机调随机调查查，就是按机会均等的原则进行调查，即总体中 每个个体被选中的可能性都相等。随机调查不是调查方法。5抽样调查的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力。缺点是调查结果往往不如普查得到的结果准确。抽样时要注 意样本的代表性和广泛性（随机性，真实性）。2 2、扇形统、扇形统计计图图及及其画法其画法：（1）扇形统计图：利用圆与扇形来
49、表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反 映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。（2 2）画法画法：计算不同部分占总体的百分比：各项数量/总数 100%。（在 扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度29参考学习学 海 无 涯 数与 360 的比圆心角度数/3600 100%）。计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。圆心角度数=3600百分比 在圆中画出各个扇形，并标上百分比。3 3、频数分、频数分布布直直方方图图 （1）频数分布直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对 象的数据进行了分组，
50、画在横轴上，纵轴表示各组的频数。如果样本中数据较多，数据的差也比较大时，频数分布 直方图能更清晰、更直观地反映数据的整体状况。（2）频数分布直方图的制作步骤：找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差（极差）。决定组距和组数（组数：把全体样本分成的组的个数称为 组数，当数据在 50100 之间时，分组的数量在 512 之间较为适 宜；组距：把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点的距 离注意分点归属问题。）确定分点 列出频数分布表 画频数分布直方图（3）条形图和直方图的区别 条形图是用条形的高度表示频数的大小，而直方图实际上是用长方形的面积表示频数，当长方形的宽相等的时候，把组距 看成“
