1、2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题（倍长中线法）1（1）阅读理解：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_，中线的取值范围是_；（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，交于点，交于点求证：；（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系2（1）如图1，在ABC中，AB4，AC6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DEAD，连接CE，把AB，AC，2
2、AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DEDF，求证：BECFEF；（3）如图3，在四边形ABCD中，A为钝角，C为锐角，BADC180，DADC，点E，F分别在BC，AB上，且EDFADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明3（1）阅读理解：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_；（2）问题解决：如图，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；（
3、3）问题拓展：如图，在四边形中，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由4如图，在锐角中，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F(1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60得到线段，连接，点N是的中点，连接在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想5某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入【探究与发现】如图1，延长ABC的边BC到D，使DCBC，过D作DEAB交AC延长线于点E，求证：ABCEDC【理解与应用】如图2，已知在ABC中，点E在边BC上
4、且CAEB，点E是CD的中点，若AD平分BAE（1）求证：ACBD；（2）若BD3，AD5，AEx，求x的取值范围6如图1，在ABC中，若AB10，BC8，求AC边上的中线BD的取值范围（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DEBD，连接CE，可证得CEDABD请证明CEDABD；中线BD的取值范围是 （2）问题拓展：如图2，在ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，ABBM，BCBN，ABMNBC90，连接MN请写出BD与MN的数量关系，并说明理由7已知中，（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数
5、量关系是_（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：（3）如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：8在ABM中，AMBM，垂足为M，AMBM，点D是线段AM上一动点（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MDMC，连接AC，若BD17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是ABM外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF（3）如图3，当E在BD的延长上，且AEBE，AEEG时，请你直接写出1、2、3之间的数量关系（不用证明）9已知：等腰和等腰中，（1）如
6、图1，延长交于点，若，则的度数为；（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，直接写出的面积10（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，BC8求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DEBD，连接CE利用全等将边AB转化到CE，在BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 （2）问题拓展：如图2，在ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中ABMN
7、BC90，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由11（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），延长AD到M，使得DMAD；连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在ABM中；利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为ABBMAMAB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明（3）深入思考：如图3，AD是A
8、BC的中线，ABAE，ACAF，BAECAF90，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明12如图，点P是MON内部一点，过点P分别作PAON交OM于点A，PBOM交ON于点B（PAPB），在线段OB上取一点C，连接AC，将AOC沿直线AC翻折，得到ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DFPF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，ACE的平分线CH交AE于点H，设OAa，BEb，若CAOCEB，求CDH的面积（用
9、含a，b的代数式表示）13（1）基础应用：如图1，在ABC中，AB5，AC7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DEAD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DEDF，求证：BE+CFEF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180且EAFBAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明14（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB5，AC8，求BC边上的中线AD的取值范
10、围小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE AD，连接BE利用全等将边AC转化到BE，在BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_，中线AD的取值范围是_；（2）问题解决：如图2，在ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DMDN 求证：BMCNMN；（3）问题拓展：如图3，在ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向ABC外作RtABM和RtACN，其中BAMNAC 90，ABAM，ACAN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由15如图，在等边ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且A
11、ECD，BD交CE于点P（1）如图1，求证：BPC120；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PFPC，连接CF，如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是如图3，若点A，P，M三点不共线，问中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由16（1）方法呈现：如图：在中，若，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图，在中，点D是BC的中点，于
12、点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明17阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形（1）现给出
13、如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明如图1，延长DE到点F，使EFDE，连接BF；如图2，分别过点B、C作BFDE，CGDE，垂足分别为点F，G（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明18【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到的理由是_（2）求得的取值范围是_【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中【问题解决】（3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：9
