1、反比例函数的图象反比例函数的图象与性质与性质本课内容本节内容1.2说一说说一说 建立平面直角坐标系，以自变建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，相应的量取的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出对应的点，函数值为纵坐标，描出对应的点，由所有这些点组成的图形称为这个由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象函数的图象.1.什么是函数的图象？什么是函数的图象？2.一次函数一次函数 y=kx+b(k0)的图象是什的图象是什么样子？么样子？一次函数的图象是一条直线一次函数的图象是一条直线.探究探究 反比例函数反比例函数 (k为常数，为常数，k0)的图的图象是什么样子呢？象是什么样子呢？
2、=kyx我们来画反比例函数我们来画反比例函数 的图象的图象.2=yx列表列表：由于自变量：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，的取值范围是所有非零实数，因此，让因此，让x取一些负数和一些正数值，取一些负数和一些正数值，并且计算出相应的函数值，列成下表：并且计算出相应的函数值，列成下表：x-6-4-2-11246-0.5-1-2-4-664210.513-12-1213-132=yx13描点描点：在平面直角坐标系内，以：在平面直角坐标系内，以x取的值为横取的值为横 坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相 应的点应的点.如图如图1-1.246-2-4-6-2-4-6
3、246Oxy观察和分析观察和分析：y轴右边的点，当横坐标轴右边的点，当横坐标x逐渐增大时，逐渐增大时，纵坐标纵坐标y反而减小；反而减小；246-2-4-6-2-4-6246Oxyy轴左边的点也有这一性质，这一性质就像轴左边的点也有这一性质，这一性质就像1.1节的节的例子所表明的反比例关系的特点例子所表明的反比例关系的特点.当当x0时，函数值随自变量取值的增大而减小；时，函数值随自变量取值的增大而减小；事实上，不难证明：事实上，不难证明：对于反比例函数对于反比例函数 2=yx当当x0时，也有这一性质时，也有这一性质.连线连线：根据以上分析，我们可以把：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和轴右边
4、各点和 左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接 起来起来.由于从由于从 看出，看出，x取任意非零实数，都有取任意非零实数，都有y0，因此这两支曲线与，因此这两支曲线与x轴都不相交轴都不相交.2=yx由于由于x不能取不能取0，因此这两支曲线与，因此这两支曲线与y轴也都不轴也都不相交相交.这样我们画出了这样我们画出了 的图象，如图的图象，如图1-1.2=yx246-2-4-6-2-4-6246Oxy 我们以后在画反比例函数我们以后在画反比例函数 (k0)的的图象时，就只要图象时，就只要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步三个步骤就可以了骤就可以了.不用每次都
5、写不用每次都写“观察和分析观察和分析”.=kyx 当当k0时，反比例函数时，反比例函数 的图象也有的图象也有上述性质上述性质.=kyx1.画下列反比例函数的图象：画下列反比例函数的图象：练习练习 41 1=2=.2yyxx（），（）4 1=（）yx 1 2=.2（）yx2.指出下列函数中哪一个是反比例函数，指出下列函数中哪一个是反比例函数，并指出其并指出其k值值.+25A=B=23C=D=21.xyyxyxyx ，-答：选答：选B.探究探究 如何画反比例函数如何画反比例函数 的图象？的图象？2=yx-的图象与的图象与 的图象有什么关系？的图象有什么关系？2=yx-2=yx 当当x=4时，时，的
6、函数值为的函数值为 ，而，而 的函数值为的函数值为 .2=yx-12-2=yx12 在直角坐标系内描出点在直角坐标系内描出点 ，如图，如图1-2，点，点A与点与点B有什么关系？有什么关系？1 4 2A(,)(,)-1 4 2B(,)(,)图图1-2 由于由于x轴是线段轴是线段AB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A与点与点B关于关于x轴对称轴对称.于是只要把于是只要把 的图象沿着的图象沿着x轴翻折并将轴翻折并将图象图象“复印复印”下来，就得到下来，就得到 的图象的图象.如图如图1-3.2=yx2=yx-类似地，当类似地，当x取任一非零实数取任一非零实数a时，都有时，都有点点 与点与点 关
7、于关于x轴对称，因此轴对称，因此 的图象与的图象与 的图象关于的图象关于x轴对轴对称称.2=yx-2 P a a(,)(,)-2=yx2 Q a a(,)(,)图图1-3 从图从图1-3看出：看出：的图象由两支曲的图象由两支曲线组成，它们与线组成，它们与x轴、轴、y轴都不相交轴都不相交.2=yx-当当x0时时，函数值随自变量取值的增大，函数值随自变量取值的增大而增大；而增大；当当x0时，也有这一性质时，也有这一性质.图图1-3 当当k0时，反比例函数时，反比例函数 具有与具有与 一样的性质一样的性质.=kyx2=yx-于是今后画反比例函数于是今后画反比例函数 (k0)的图象时的图象时，不用先画
8、，不用先画 的图象，然后沿的图象，然后沿x轴翻折，而只轴翻折，而只要要“列表、描点、连线列表、描点、连线”三个步骤就可以了三个步骤就可以了.=kyx=kyx-举举例例例例 画反比例函数画反比例函数 的图象的图象.4=yx-解解 列表：列表：x-6-5-4-3-2-11234560.81248-8-4-2-1-0.84=yx-234312-1243-23-描点描点：在平面直角坐标系内，以：在平面直角坐标系内，以x取的值为横取的值为横 坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相 应的点应的点.连线连线：把：把y轴左边各点和右边各点分别用一条光轴左边各点和右边各点分别用一条
9、光 滑曲线顺次连接起来，就得函数滑曲线顺次连接起来，就得函数 的图象的图象.如图如图1-4.4=yx-练习练习用两种方法画反比例函数用两种方法画反比例函数 的图象的图象.3=yx-做一做做一做 在同一个直角坐标系内，用不同颜色在同一个直角坐标系内，用不同颜色的笔分别画出反比例函数的笔分别画出反比例函数 和和 的的图象图象.图图1-5提供了一个直角坐标系提供了一个直角坐标系.1=yx-1=yx图图1-5 在平面直角坐标系中，两在平面直角坐标系中，两条条坐标轴把平面坐标轴把平面分成四部分，如图分成四部分，如图1-5，图图1-5 其中右上角部分称为其中右上角部分称为第第一象限一象限，左上角部分称为左
10、上角部分称为第二象限第二象限，左下角部分左下角部分称为称为第三象限，第三象限，右下角部分称为右下角部分称为第四象限第四象限，坐坐标轴不属于任何一个象限标轴不属于任何一个象限第一象限第一象限第第二二象限象限第第三三象限象限第第四四象限象限 观察观察图图1-1，1-3，1-4，以及练习和，以及练习和“做一做做一做”中中画的反比例函数的图象，你对于反比例函数图象的两画的反比例函数的图象，你对于反比例函数图象的两支曲线分别位于哪个象限，发现了什么规律呢？支曲线分别位于哪个象限，发现了什么规律呢？观察观察图图1-1图图1-3图图1-4 反比例函数反比例函数 的图象中两的图象中两支曲线，当支曲线，当k0时
11、，位于第一和时，位于第一和第三象限；当第三象限；当k0时，位于第二时，位于第二和第四象限和第四象限.=kyx图图1-1图图1-3图图1-4 反比例函数反比例函数 的图象是由两支曲线组成的，的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为这两支曲线称为双曲线双曲线.=kyx2=yx2=-yx 通过通过“探究探究”栏目中对反比例函数栏目中对反比例函数 和和 的图象的研究，我们可以知道的图象的研究，我们可以知道.结论结论 反比例函数反比例函数 的图象中两支曲线都与的图象中两支曲线都与x轴轴、y轴不相交；并且当轴不相交；并且当k0时，在第一、第三时，在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小；象限内，
12、函数值随自变量取值的增大而减小；当当k0时，在第二、第四象限内，函数值随自时，在第二、第四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大变量取值的增大而增大.=kyx练习练习1.在图在图1-6的四支曲线中，用红笔描出反比的四支曲线中，用红笔描出反比 例函数例函数 的图象，剩下的曲线是哪个的图象，剩下的曲线是哪个 函数的图象？函数的图象？6=yx答：剩下的曲线是函答：剩下的曲线是函 数数 的图象的图象.6=yx-2.在下列反比例函数中，哪些函数的图象在哪些在下列反比例函数中，哪些函数的图象在哪些 象限内，函数值随自变量取值的增大而减小？象限内，函数值随自变量取值的增大而减小？哪些函数的图象在哪些象限内，
13、函数值随自变哪些函数的图象在哪些象限内，函数值随自变 量取值的增大而增大？量取值的增大而增大？33 1=2=11 3=4=33yyxxyyxx（），（），（），（）.-答：函数答：函数 和和 的图象在第一、三象限内，的图象在第一、三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小；函数值随自变量取值的增大而减小；函数函数 和和 的图象在第二、四象限内，的图象在第二、四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大函数值随自变量取值的增大而增大.3=yx 1=3yx3=yx-1=3yx-中考中考 试题试题例例1 已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点(2，-1)，下列说法正确的是，下列说法正确的是 （）A.点点(-4，2)在它的图象上在它的图象上B.它的图象分布在一、三象限它的图象分布在一、三象限C.当当x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大D.当当x0时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，故选故选C.C中考中考 试题试题例例2二、四二、四 反比例函数反比例函数 的图象在第的图象在第 象限象限.1=yx-解析解析反比例函数反比例函数 中中k=-1，图象在第二、四象限图象在第二、四象限.1=yx-
