1、5.3.1函数的单调性激趣诱思知识点拨如图是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,图是高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.激趣诱思知识点拨运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?问题1:运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h(t)的正负性是怎样的?问题2:从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h(t)的正
2、负性是怎样的?问题3:通过上述实际例子的分析,联想其他函数的单调性与其导数正负性的关系.你能得到什么结论?激趣诱思知识点拨一、函数的单调性与其导数的关系在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f(x)0(f(x)0.激趣诱思知识点拨微练习若定义域为R的函数f(x)的导数f(x)=2x(x-1),则f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.解析:由f(x)0得x1,由f(x)0得x0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?(2)若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f(x)满足
3、什么条件?提示:(1)不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f(x)0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.(2)f(x)0(或f(x)0).激趣诱思知识点拨微练习函数f(x)=x-sin x在(-,+)上是()A.增函数 B.减函数C.先增后减D.不确定解析:f(x)=x-sin x,f(x)=1-cos x0在(-,+)上恒成立,且使f(x)=0的点是一列孤立的点,f(x)在(-,+)上是增函数.答案:A激趣诱思知识点拨四、解析式中含参数的函数单调区间的求法函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的
4、不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.激趣诱思知识点拨微练习求函数f(x)=-ax3+x2+1(a0)的单调区间.解:当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测函数与导函数图象间的关系函数与导函数图象间的关系例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能为()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)(2020天水第一中学高二期末)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的
5、图象可能是()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:(1)由函数的图象可知:当x0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D.(2)原函数先减再增,再减再增,且增区间与减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.答案:(1)D(2)D 反思感悟研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.探究一探究二探究三探究四素养形成
6、当堂检测变式训练1(2020甘肃高二期末)已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:当x-1时,xf(x)0.故f(x)在(-,-1)上为增函数;当-1x0,f(x)0,故f(x)在(-1,0)上为减函数;当0 x1时,xf(x)0,f(x)1时,xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数.故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用导数判断或证明函数的单调性利用导数判断或证明函数的单调性例2在下列函数中,在(0,+)内为增函数的是()
7、A.y=cos xB.y=xexC.y=x3-xD.y=ln x-x解析:A中,y=-sin x,当x0时,y的符号不确定;B中,y=ex+xex=(x+1)ex,当x0时,y0,故在(0,+)内为增函数;C中,y=3x2-1,当x0时,y-1;D中,y=-1,当x0时,y-1,CD均不符合题意,故选B.答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟运用导数研究函数单调性的方法利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用导
8、数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间角度1不含参数的函数求单调区间例3求下列函数的单调区间:分析:根据利用导数求函数单调区间的步骤将问题转化为解不等式问题进行求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟导数法求单调区间及注意事项1.利用导数求函数单调区间的步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f(x).(3)在定义域内,解不等式f(x)0得到函数的单调递增区间,解不等式f(x)0,即4-x20,解得-2x2;令f(x)0,即4-x20,解得x2.故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是
9、(-,-2)和(2,+).(2)函数定义域为R,f(x)=ex-1.令f(x)0,即ex-10,解得x0;令f(x)0,即ex-10,解得x0,得x1,由f(x)0,得0 x0时,由f(x)0,得x1,由f(x)0,得0 x0,所以f(x)在(-,+)上单调递增.若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.综上所述,当a0时,函数f(x)在(-,+)上单调递增;当a0时,f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知函数的单调性求参数的值或范围已知函数的单
10、调性求参数的值或范围例5已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,求实数a的取值范围.分析:f(x)单调递增f(x)0恒成立分离参数求a的取值范围 解:由已知得f(x)=3x2-a,因为f(x)在(-,+)内是单调增函数,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)内恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0.又因为a=0时,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a满足a0.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区
11、间(a,b)是相应单调区间的子集;(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f(x)0(f(x)0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调减区间为(-1,1),求a的取值范围.解:由f(x)=3x2-a,当a0时,f(x)0,f(x)在(-,+)上为增函数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上
12、不单调,求a的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用导数证明利用导数证明不等式不等式 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟利用导数证明不等式的常见形式与证明步骤1.常见形式:已知x(a,b),求证:u(x)v(x).2.证明步骤:(1)将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)0.(2)在x(a,b)上,判断f(x)的符号.(3)若f(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)0即可;若f(x)0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将
13、所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)0即可.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f(x)的图象可能为()探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:f(x)在(-,1),(4,+)上是减函数,在(1,4)上为增函数,当x4时,f(x)0;当1x0.故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是()A.y=2-3x2 B.y=ln x答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.若函数f(x)=-x2+aln x在区间(1,+)上是减函数,则实数a的取值范围为()A.1,+)B.(1,+)C.(-,1)D.(-,1区间(1,+)上恒成立.ax2在区间(1,+)上恒成立.x21,a1.经检验,等号可取.故选D.答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.函数y=2x+sin x的单调递增区间为.解析:函数定义域为R,且y=2+cos x0对于任何实数都成立,函数的递增区间是(-,+).答案:(-,+)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测若x(0,+),则f(x)0,所以f(x)在(0,+)内是减函数.综上可知,
