1、等差数列激趣诱思知识点拨哈雷彗星是第一颗经推算预言必将重新出现而得到证实的著名大彗星.当它在1682 年出现后,英国天文学家哈雷注意到它的轨道与1607年和1531年出现的彗星轨道相似,认为是同一颗彗星的三次出现,并预言它将在1758年底或1759年初再度出现.虽然哈雷死于1742年,没能看到它的重新出现,但在1759年它果然又回来,这是天文学史上的一项惊人成就.试分析这个彗星回归的时间有什么特征.激趣诱思知识点拨一、等差数列的定义1.等差数列的概念一般地,如果数列an从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即an+1-an=d恒成立,则称an为等差数列,其中d称为等差数列的公差
2、.激趣诱思知识点拨名师点析 关于等差数列定义的几点说明(1)强调定义中“从第2项起”这一前提条件,而不是从第3项或第4项起作差,否则遗漏前面若干项,致使整个数列不是等差数列.(2)强调定义中“每一项与它的前一项的差”,注意作差的顺序(后一项减去前一项),而且这两项必须相邻.(3)强调定义中“同一常数”,要求每一项与它的前一项的差是常数且是同一常数,否则这个数列不能称为等差数列.激趣诱思知识点拨2.等差数列的通项公式一般地,若等差数列an的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d.名师点析 等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三个量,
3、就可由通项公式求出第四个量.激趣诱思知识点拨微拓展1等差数列通项公式的其他形式(1)an=am+(n-m)d;(2)an=kn+b(k,b是常数).微拓展2若数列an是公差为d的等差数列,(1)当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列.激趣诱思知识点拨微练习已知数列an是等差数列,且a5=11,a8=5,求an.an=-2n+21(nN+).(方法二)设数列an的首项为a1,公差为d,则a8=a5+3d,即5=11+3d,d=-2.a5=a1+(5-1)d,a1=19.an=19+(n-1)(-2),即an=-2n+21(nN+).激趣诱思知识点拨激趣诱思知
4、识点拨二、等差数列的性质如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的等差中项,此时,激趣诱思知识点拨微拓展若数列an是公差为d的等差数列,(1)若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则am+an=ap+aq.(2)若 =k,则am+an=2ak(m,n,kN+).(3)若数列an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ai+1+an-i=.(4)数列an+b(,b是常数)是公差为d的等差数列.(5)下标成等差数列,且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成公差为md的等差数列.(6)若数列bn也为等差数列,则an
5、bn也成等差数列.反思感悟 等差数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则am+an=ap+aq.证明:an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=210=20.所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=221-7=35.例2在等差数列an中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通项公式.(方法二)设数列an的首项为a1,公差为d,所以an=-10n+110.反思感悟 等差数列的判定方法例3
6、(1)在等差数列an中,已知a1,a2 020为方程x2-10 x+21=0的两根,则a2+a2 019等于()解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d;数列an是首项为a1=10+lg 2,公差为lg 2的等差数列.若数列an是公差为d的等差数列,所以an=100-10(n-1)=-10n+110.探究一探究二探究三探究四素养形成等差数列的判定或证明例1已知等差数列an的首项为a1,公差为d,在数列bn中,bn=3an+4,试判断bn是不是等差数列.思路分析可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+1-bn是不是常数.当堂检测探究一探究二探究三
7、探究四素养形成解:(方法一)由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),则bn=3an+4=3a1+(n-1)d+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是关于n的一次函数(或常数函数,当d=0时),故bn是等差数列.(方法二)根据题意,知bn+1=3an+1+4,则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).由等差数列的定义知,数列bn是等差数列.当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成反思感悟 等差数列的判定方法 方法内容定义法an-an-1=d(n2)或an+1-an=d(d为常数)an是等差数列通项公式法 an
8、=kn+b(k,b为常数)an是等差数列等差中项法2an=an-1+an+1(n2)或2an+1=an+an+2an是等差数列当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成变式训练1若数列an的通项公式为an=10+lg 2n,试证明数列an为等差数列.证明:an=10+lg 2n=10+nlg 2,an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2)=lg 2(nN+),数列an是首项为a1=10+lg 2,公差为lg 2的等差数列.当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成等差数列的通项公式及应用例2在等差数列an中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通
9、项公式.解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,解得a1=100,d=-10,所以an=100-10(n-1)=-10n+110.当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成反思感悟 1.等差数列通项公式的求法(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.(2)等差数列通项公式的另两种形式:an=am+(n-m)d;an=kn+b(k,b是常数).2.方程思想的应用等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.当堂检测探究一探究二
10、探究三探究四素养形成延伸探究1.若本例中条件不变,an中有多少项属于区间-18,18?解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,解得a1=100,d=-10,所以an=-10n+110.令-18-10n+11018.解得9.2n12.8.又因为nN+,所以n=10,11,12,即属于区间-18,18的项有3项,它们是a10,a11,a12.当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成2.若将本例中“a21=-100”改为“a19=100”,其他条件不变,结果如何?解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,所以an=64+2(n-1)=2n+62.当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成等差数列性质
11、的应用例3(1)在等差数列an中,已知a1,a2 020为方程x2-10 x+21=0的两根,则a2+a2 019等于()A.10B.15C.20 D.40(2)在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.解析:(1)根据根与系数的关系及等差数列的性质可得a2+a2 019=a1+a2 020=10.(2)因为数列an是等差数列,所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=210=20.答案:(1)A(2)20当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成反思感悟 等差数列的常用性质
12、等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若an为等差数列,则(1)当m+n=p+q(m,n,p,qN+)时,总有am+an=ap+aq.(2)当m+n=2k(m,n,kN+)时,总有am+an=2ak.当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成变式训练2设数列an,bn都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.解析:因为an,bn均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=221-7=35.答案:35当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测构造
13、等差数列求通项公式 思路分析利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 构造法求数列通项的求解策略给出数列的递推公式求通项公式时,根据递推公式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方法”“取倒数法”等,往往会构造出一个新数列满足等差数列的条件.从而利用新数列的通项公式,间接求出所求数列的通项公式.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知数列an满足a1=1,an+1=2an+2n+1(n2,nN+),则数列an的通项公式为.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测活用等
14、差数列的性质巧设项典例已知5个数成等差数列,它们的和为25,它们的平方和为165,求这5个数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛 涉及多个数成等差数列时,应注意利用对称性的设法设出这多个数.一般地:(1)若所给等差数列为2n(nN+)项,则这个数列可设为a-(2n-1)d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,此数列的公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n-1(nN+),则这个数列可设为a-(n-1)d,a-d,a,a+d,a+(n-1)d,这个数列的公差为d.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,
15、则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9解析:由题意,得 解得m+n=6.故m和n的等差中项是3.答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.(2020黑龙江大庆中学高一月考)在等差数列an(nN+)中,若a4+a5+a6=27,则a1+a9等于()A.9B.27C.18 D.54解析:a4+a5+a6=3a5=27,解得a5=9,则a1+a9=2a5=18,故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6=.解析:在等差数列an中,a3=7,a5-a2=6,3d=6.a6=a3+3d=7+6=13.答案:13探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.(2020湖北武汉高三月考)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为.这三个数为-1,3,7或7,3,-1.它们的积为-21.答案:-21 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测证明:a2,b2,c2成等差数列,2b2=a2+c2.
