1、华罗庚先生曾说华罗庚先生曾说“宇宙之大，粒宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁地球之变，生物之谜，日用之繁无一不可用数学来表达。无一不可用数学来表达。”化工数学 任课教师：阮文红 二零一二年九月于康乐园第一章 概述一、学习化工数学的目的一、学习化工数学的目的二、化工数学涉及的内容二、化工数学涉及的内容三、通过实例说明化工数学的用途三、通过实例说明化工数学的用途四、教材及参考文献四、教材及参考文献一、学习化工数学的目的1、能够科学的设计试验：减少试验次数，获能够科学的设计试验：减少试验次数，获得更可靠的结果；得更可靠的结果；2 2、学习
2、用数学语言描述问题；、学习用数学语言描述问题；3 3、能选择适当的数学运算获得结果；、能选择适当的数学运算获得结果；4 4、能够对所得结果进行合理的分析和解释。、能够对所得结果进行合理的分析和解释。化学与化工研究过程 找到隐藏在化工现象背后的规律，找到隐藏在化工现象背后的规律，从而建立一个能够正确地反映所研究从而建立一个能够正确地反映所研究对象或过程的数学模型。对象或过程的数学模型。数学模型化过程过程模型化的方法主要分为两类：（1 1）分析法分析法：这种方法在运用有关专业理论知识对：这种方法在运用有关专业理论知识对所研究的对象或过程进行机理分析的基础上，通所研究的对象或过程进行机理分析的基础上
3、，通过合理的简化，结合具体问题及其条件，推导出过合理的简化，结合具体问题及其条件，推导出描述过程特性的数学模型。然后通过实验，确定描述过程特性的数学模型。然后通过实验，确定模型中的未知参量，再回到实验中进行反复的检模型中的未知参量，再回到实验中进行反复的检验和修正，从而获得既能在一定程度上反映过程验和修正，从而获得既能在一定程度上反映过程机理，又在实验范围内与实验结果相吻合的过程机理，又在实验范围内与实验结果相吻合的过程模型。模型。（2 2）经验法经验法：它放弃了对所研究对象或过程的机理：它放弃了对所研究对象或过程的机理分析，即视过程为一分析，即视过程为一“黑箱黑箱”，仅考察这一，仅考察这一“
4、黑黑箱箱”的输入和输出特性，从而运用统计回归分析的输入和输出特性，从而运用统计回归分析的方法获取刻画过程特性的数学模型。的方法获取刻画过程特性的数学模型。应该指出：经验法所确定的过程模型中参数应该指出：经验法所确定的过程模型中参数的物理意义是不明确的，它们仅用以在实验范围的物理意义是不明确的，它们仅用以在实验范围内拟合实验数据；而分析法中所确定的未知参量内拟合实验数据；而分析法中所确定的未知参量是反映过程机理的参数。是反映过程机理的参数。二、化工数学涉及的内容微分微分（高等数学已学）（高等数学已学）积分积分（高等数学已学）（高等数学已学）试验设计及数据处理试验设计及数据处理（6学时）学时）线性
5、代数线性代数（24学时学时）概率论概率论（16学时）学时）数理统计数理统计（8学时）学时）数值分析数值分析（研究生阶段）试验设计线性代数数据处理概率论数理统计想让你成为数学家吗？No初步建立用数学语言表达初步建立用数学语言表达这类问题的基本思想和方这类问题的基本思想和方法。法。只是针对化学与化工中经只是针对化学与化工中经常出现或典型的问题，讨常出现或典型的问题，讨论数学方法的选择、运用论数学方法的选择、运用和技巧，把数学作为一种和技巧，把数学作为一种研究现象和过程的手段。研究现象和过程的手段。数学研究已出现一种过分专门化和数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的过于强调
6、抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。数学工作应用以及与其他领域的联系。数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练虽竟演变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能然可以提高形式推导的能力，但却不能导致对数学的真正理解，也无助于提高导致对数学的真正理解，也无助于提高独立思考的能力。独立思考的能力。什么是数学什么是数学柯朗柯朗 （19411941出版）出版）三、化学与化工中的数学方法举例化工中的一般问题化工中的一般问题 含有多个组分的两相或多相物质在某含有多个组分的两相或多相物质在某个给定的工程体
7、系之中相互接触，在一定个给定的工程体系之中相互接触，在一定条件下，每种组分可能发生相转变，并伴条件下，每种组分可能发生相转变，并伴随着热效应；也可能发生放热或吸热的化随着热效应；也可能发生放热或吸热的化学反应。给定初始条件，要求确定系统在学反应。给定初始条件，要求确定系统在规定点的状态（在一定的接触时间以后），规定点的状态（在一定的接触时间以后），或者达到一定状态装置的尺寸大小。或者达到一定状态装置的尺寸大小。(一）为了描述这种一般系统，通常要用到下述四种类型的关系（1）物料平衡物料平衡：对每种组分有着不同的物料平衡关：对每种组分有着不同的物料平衡关系；如果存在化学反应，还要使用相应的化学计系
8、；如果存在化学反应，还要使用相应的化学计量关系式。它所依据的是质量守恒定律。量关系式。它所依据的是质量守恒定律。（2）能量平衡能量平衡：热力学第一定律表明系统内能的变：热力学第一定律表明系统内能的变化，等于加进系统内的热量与系统对外界所做功化，等于加进系统内的热量与系统对外界所做功之差，即之差，即U=Q-W。如果没有热量加进系统，。如果没有热量加进系统，系统对外也没有做功，则热力学第一定律可简化系统对外也没有做功，则热力学第一定律可简化为焓平衡。为焓平衡。（3）速率方程速率方程：当考虑时间因素时，就要应：当考虑时间因素时，就要应用速率方程，它包括传递速率和反应速率，用速率方程，它包括传递速率和
9、反应速率，例如各种相界面间的质量传递，发生在不同例如各种相界面间的质量传递，发生在不同相中的单个的化学反应等。相中的单个的化学反应等。（4）平衡关系平衡关系：平衡状态是指系统的压力、：平衡状态是指系统的压力、温度和浓度等不随时间而变化的状态。在多温度和浓度等不随时间而变化的状态。在多相系统中要考虑到从一相到另一相的传递净相系统中要考虑到从一相到另一相的传递净速率问题，平衡一般发生在相间的边界界面速率问题，平衡一般发生在相间的边界界面上。上。二、大多数化学与化工问题可以用微分方程进行数学描述，一般步骤是：（1 1）画出示意图，列出所给数据；）画出示意图，列出所给数据；（2 2）确定自变量和因变量
10、：通常可独立选择用来描述系统变化）确定自变量和因变量：通常可独立选择用来描述系统变化的量称为的量称为自变量自变量，而当自变量变化时，反映体系某些性质的随，而当自变量变化时，反映体系某些性质的随之变化的量称为之变化的量称为因变量因变量。自变量和因变量是由不同的问题所决。自变量和因变量是由不同的问题所决定的。对于非稳态问题，时间一般选做自变量；定的。对于非稳态问题，时间一般选做自变量；（3 3）写出系统规定的自变量及其对应的因变量的数值，这就是）写出系统规定的自变量及其对应的因变量的数值，这就是所谓的所谓的边界条件边界条件或或初始条件初始条件；（4 4）选用前述的四种关系式，列出问题的数学模型或方
11、程式，）选用前述的四种关系式，列出问题的数学模型或方程式，其中要注意简化问题时所采取的假设和近似的合理性；其中要注意简化问题时所采取的假设和近似的合理性；（5 5）求解数学模型，获得合乎逻辑的解。）求解数学模型，获得合乎逻辑的解。关于边界条件，以传热过程为例一般有：（1 1）指定的温度。表面的温度或边界的温度）指定的温度。表面的温度或边界的温度是已知常数，或是位置或时间的函数；是已知常数，或是位置或时间的函数；（2 2）指定的热流量。穿过边界的热流量是已）指定的热流量。穿过边界的热流量是已知常数，或是位置或时间的函数，例如：知常数，或是位置或时间的函数，例如：x LTqx（3 3）无热流的情况
12、或绝热系统，边界条件为：）无热流的情况或绝热系统，边界条件为：（4 4）由对流作用热量传到系统外部，边界条）由对流作用热量传到系统外部，边界条件为：件为：其中其中是导热系数，是导热系数，h h为传热系数，为传热系数，T T0 0为为环境温度，环境温度，q q为常数，为常数，L L为边界。为边界。0 x LTx0()x LTh TTx四、教材及参考书目教材工程数学工程数学线性代数，高等教育出版社，同济大学应用数学系编，线性代数，高等教育出版社，同济大学应用数学系编，ISBN 7-04-011941-2概率论与数理统计，西南财经大学出版社，李捷等编，概率论与数理统计，西南财经大学出版社，李捷等编，
13、ISBN 7-81088-240-6参考书目参考书目化学与化工中的数学方法，北京理工大学出版社，潘亚明等编化学与化工中的数学方法，北京理工大学出版社，潘亚明等编化工数学，化学工业出版社，化工数学，化学工业出版社，日日河村佑治河村佑治化工应用数学，上海交通大学出版社，胡乾定等编化工应用数学，上海交通大学出版社，胡乾定等编化工数学，复汉出版社，化工数学，复汉出版社，P.G.Francis，马俊雄编译，马俊雄编译化学中的数学，上海教育出版社，化学中的数学，上海教育出版社，日日铎木启三铎木启三化学用数理统计手册，化学工业出版社，化学用数理统计手册，化学工业出版社，美美 E.L.Bauer 如果要解决化
14、学与化工中的数学问题，化如果要解决化学与化工中的数学问题，化学工作者当然要求助于数学家，希望数学家能学工作者当然要求助于数学家，希望数学家能把问题变成用已知方法可以解决的数学命题，把问题变成用已知方法可以解决的数学命题，然而这条路是行不通的，因为数学家要把问题然而这条路是行不通的，因为数学家要把问题变成简单的数学假说，却没有必要的化工基础变成简单的数学假说，却没有必要的化工基础知识，而化学家又没有必要的数学基础，因而知识，而化学家又没有必要的数学基础，因而无法帮助数学家对问题进行解析无法帮助数学家对问题进行解析。W.R.Marshall and R.L.PigfordW.R.Marshall
15、and R.L.Pigford试验为什么要设计？化工过程模型化需要使用大量的实验数据，如化工过程模型化需要使用大量的实验数据，如何取得典型信息以使建立起来的过程模型具有准确何取得典型信息以使建立起来的过程模型具有准确性和通用性，如何用较少的实验数据反映现象及过性和通用性，如何用较少的实验数据反映现象及过程的规律，这在实际的化学与化工实验中有着特别程的规律，这在实际的化学与化工实验中有着特别重要的意义。因此有必要研究获取高质量实验数据，重要的意义。因此有必要研究获取高质量实验数据，减少盲目增加实验次数带来损失的方法，这就是试减少盲目增加实验次数带来损失的方法，这就是试验设计的内容。验设计的内容。
16、第二章 试验设计和数据处理 试验设计（包括数据处理）是数理统试验设计（包括数据处理）是数理统计的一门重要分枝，它的主要内容是讨论计的一门重要分枝，它的主要内容是讨论如何合理的安排试验以及试验后的数据如如何合理的安排试验以及试验后的数据如何分析等。何分析等。本课程仅仅介绍在实际中应用最广的本课程仅仅介绍在实际中应用最广的正交设计法正交设计法。试验设计和数据处理第二章 试验设计和数据处理一、试验设计一、试验设计1 1、简单试验设计、简单试验设计2 2、正交试验设计、正交试验设计2.1 2.1 因子间无交互作用的正交试验设计因子间无交互作用的正交试验设计选取正交表，直观分析法选取正交表，直观分析法2
17、.2 2.2 因子间有交互作用的正交试验设计因子间有交互作用的正交试验设计正交表和交互作用列表正交表和交互作用列表2.3 2.3 因子水平数不同的正交试验设计因子水平数不同的正交试验设计混合水平正交表混合水平正交表拟水平法拟水平法2.4 2.4 多指标的分析方法多指标的分析方法综合平衡法综合平衡法综合评分法综合评分法第二章 试验设计和数据处理一、试验设计一、试验设计3 3、回归正交设计、回归正交设计二、二、数据的表达与处理数据的表达与处理1 1、数据的图示方法、数据的图示方法2 2、经验方程、经验方程3 3、方差与随机误差分布、方差与随机误差分布三、最小二乘法和线性回归三、最小二乘法和线性回归
18、例2-1：某地想移植外地的优良小麦品种，某地想移植外地的优良小麦品种，选了选了A、B、C三种品种进行试验，三种品种进行试验，看那一种品种在本地更合适一些？看那一种品种在本地更合适一些？（1）一种试验的方法是把三种品种种在图所示的）一种试验的方法是把三种品种种在图所示的三块田里。如果试验的结果是品种三块田里。如果试验的结果是品种A产量最高，产量最高，B其次，其次，C最少，我们能否下结论说品种最少，我们能否下结论说品种A在本地最合适呢？在本地最合适呢？仔细观察一下就会发现，三种品仔细观察一下就会发现，三种品 种尽管种在相邻的三块地上，但种尽管种在相邻的三块地上，但 三块地的土质不会完全一样，如三块
19、地的土质不会完全一样，如 果正好种果正好种A的这块田土质等条件的这块田土质等条件 最好，种最好，种B的那块田稍次，的那块田稍次，种种C的那块田最差，那么的那块田最差，那么A的产量高并不一定说明的产量高并不一定说明A最适合最适合本地生产。本地生产。这是品种的好坏与土壤的情况混杂在一起，给如这是品种的好坏与土壤的情况混杂在一起，给如何下结论带来了困难。因此，图何下结论带来了困难。因此，图 的这种设计显然是的这种设计显然是不好的。不好的。ABC （2）另一种试验的方法是一种随机化的方法。）另一种试验的方法是一种随机化的方法。把原来的三大块田每块各分成三小块，在每大块上把原来的三大块田每块各分成三小块
20、，在每大块上三种品种都种，三种三种品种都种，三种品种分别种在哪一地，由抽签品种分别种在哪一地，由抽签的方法决定，如图所示。的方法决定，如图所示。这种方法比要好，它使土质这种方法比要好，它使土质 等因素对试验的影响大大减弱等因素对试验的影响大大减弱 了，得到的结论就比较可靠。了，得到的结论就比较可靠。但是这种方法还有不足之处，但是这种方法还有不足之处，即土地从纵的方向来看是安排即土地从纵的方向来看是安排得比较好的，但如果从横的方向把土地分成三大块得比较好的，但如果从横的方向把土地分成三大块 安排得就不那么好了。如果土壤按横的三大块划分安排得就不那么好了。如果土壤按横的三大块划分土质相差较大，则给
21、结果又带来了干扰。土质相差较大，则给结果又带来了干扰。ACACBBBAC （3）还有一种拉丁方的方法，种植的情况如图）还有一种拉丁方的方法，种植的情况如图 我们无论从纵的方向还是从横的方向来看，每大我们无论从纵的方向还是从横的方向来看，每大块三块三 种品种都有，这样，品种的情况就不会和土壤种品种都有，这样，品种的情况就不会和土壤等因素的作用混起来。等因素的作用混起来。（3）ABCBCACAB试验设计一般分三个阶段：（1）试验）试验：首先要明确试验的目的和要求；其次是合理选择试验考察的指标和影响因素（即因子）；最后确定试验中影响因素的具体条件（即因子的水平）。在这一阶段中，没有影响或影响很小的因
22、子应该除去；而影响不明或有争议的因子应该尽量考虑；要注意因子各水平之间有无对指标有影响的交互作用；因子水平的选择是确定的还是随机的等等。（2）设计：）设计：根据因子及因子的水平，确定试验方案；决定试验的顺序，试验的方法，测量的点数以及重复的次数等。（3）分析：）分析：对试验所得到的数据进行整理，制成易于计算的表格，建立假设，计算分析用的各种统计量；确定显著性水平进行检验，得出结论。常用术语指标指标：试验需要考察的结果称为指标。因素（因子）因素（因子）：对指标可能有影响，且在试验中提出 明确条件加以对比的因素，也称为因子。水平水平：每个因素在试验中要对比的各个具体条件称为 因素的水平。例例2-2
23、2-2 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素分三个等级进行试验，因对工艺中三个主要因素分三个等级进行试验，因素和水平表如下：素和水平表如下：因素因素水平水平A：温度：温度B:压力压力C:加碱量加碱量1805MPa2.0kg21006MPa2.5kg31207MPa3.0kg1、简单试验设计（1）全面试验法：是指对影响指标的各个因子的不）全面试验法：是指对影响指标的各个因子的不同水平进行全面搭配的方法。这种方法只在因子不同水平进行全面搭配的方法。这种方法只在因子不多，水平数较少的情况下才可行。例如一个三因子多，水平数较少的情况下才可行。
24、例如一个三因子的试验，每个因子要对比三个水平，则全面试验法的试验，每个因子要对比三个水平，则全面试验法至少需作至少需作333=27次试验。而六因子五水平的全次试验。而六因子五水平的全面试验数目为面试验数目为56=15625次，一般是不可能做到的。次，一般是不可能做到的。1、简单试验设计 （2）孤立因子法试验次数较少：孤立因子法的做法是首先人为地固定）孤立因子法试验次数较少：孤立因子法的做法是首先人为地固定A和和B的量，变化的量，变化C：C1 A1B1 C2 C3 试验结果发现试验结果发现C2最好，然后固定最好，然后固定A为为A1，C为为C2，变化，变化B：B1 A1C2 B2 B3 试验结果发
25、现试验结果发现B3最好，然后固定最好，然后固定B为为B3，C为为C2，变化，变化A：A1 B3C2 A2 A3 结果是结果是A2最好。于是简单对比法得出结论：最好。于是简单对比法得出结论：最适宜的分析条件是最适宜的分析条件是A2 B3 C21、简单试验设计（3 3）完全随机化法：将试验的不同处理完全随机地）完全随机化法：将试验的不同处理完全随机地分配至试验单位，其中试验处理指因子或水平，试分配至试验单位，其中试验处理指因子或水平，试验单位指一次试验处理的对象。验单位指一次试验处理的对象。（4 4）随机区组法：是当试验单位不均匀一致时，可）随机区组法：是当试验单位不均匀一致时，可把相对均匀的放在
26、一组，再将不同的处理随机分配把相对均匀的放在一组，再将不同的处理随机分配到各试验单位，且使处理的个数与试验单位的个数到各试验单位，且使处理的个数与试验单位的个数相同。相同。简单试验设计的缺点：（1 1）当因子间交互作用影响较大时，不一定给出的）当因子间交互作用影响较大时，不一定给出的 是各因子水平的最好组合；是各因子水平的最好组合；（2 2）这种方法安排试验，同样的试验次数，提供的）这种方法安排试验，同样的试验次数，提供的信息量不丰富；信息量不丰富；（3 3）若不做重复试验，给不出误差的估计。）若不做重复试验，给不出误差的估计。因此，在试验设计时，既要考虑试验次数少，因此，在试验设计时，既要考
27、虑试验次数少，又要得出全面的结论（尽量提高试验的精度，排除又要得出全面的结论（尽量提高试验的精度，排除误差的干扰误差的干扰)，这就需要用科学的方法进行合理的，这就需要用科学的方法进行合理的安排。安排。2、正交试验设计 所谓正交试验设计，是利用数理统计学与正交所谓正交试验设计，是利用数理统计学与正交性原理，从大量试验点中选取适量的具有代表性的性原理，从大量试验点中选取适量的具有代表性的试验点，应用试验点，应用正交表正交表合理安排试验的科学方法。合理安排试验的科学方法。正交试验设计的内容包括正交设计，正交试验正交试验设计的内容包括正交设计，正交试验的直观分析，多指标试验设计的分析方法，水平数的直观
28、分析，多指标试验设计的分析方法，水平数不同的正交设计，有交互作用的正交设计，正交试不同的正交设计，有交互作用的正交设计，正交试验设计的方差分析等。验设计的方差分析等。1、正交拉丁方例例2-3 生产某染料，用四种主要原料生产某染料，用四种主要原料A硫硫磺，磺，B硫化碱，硫化碱，C烧碱，烧碱，D二硝基，每二硝基，每种原料均取三个水平，需要找一个较好的配种原料均取三个水平，需要找一个较好的配方，使质量又好，成本又低。方，使质量又好，成本又低。2.1 因子间无交互作用的正交试验设计 （1）如果每个因素各个水平的所有组合都做试验，）如果每个因素各个水平的所有组合都做试验，要做要做3481次。试验次数太多
29、，能否只做一部分试次。试验次数太多，能否只做一部分试验，又能得出较好的结果呢？验，又能得出较好的结果呢？（2)我们先考虑我们先考虑A,B两个因素，全部试验要作两个因素，全部试验要作9次，安次，安排如下：排如下：我们看到只考虑两个因素时，二因素的三个水我们看到只考虑两个因素时，二因素的三个水平相互各碰一次，这样反映的情况比较全面。平相互各碰一次，这样反映的情况比较全面。BAB1B2B3A1A1 B1A1 B2A1 B3A2A2 B1A2 B2A2 B3A3A3 B1A3 B2A3 B3 （3 3）如果同时还要考虑因素如果同时还要考虑因素C，而试验次数不增加，而试验次数不增加，怎么安排呢？怎么安排
30、呢？当三个因素时，要反映的情况比较全面，必须当三个因素时，要反映的情况比较全面，必须任两个因素间的不同水平各碰一次。可采用如下的任两个因素间的不同水平各碰一次。可采用如下的安排：安排：C B AB1B2B3A1A1 B1C1A1 B2C2A1 B3C3A2A2 B1C2A2 B2C3A2 B3C1A3A3 B1C3A3 B2C1A3 B3C2 这样的安排很均衡，这样的安排很均衡，A A的每个水平和的每个水平和B B的三个水的三个水平各碰一次，和平各碰一次，和C C的三个水平也各碰一次；同样的三个水平也各碰一次；同样B B的的每个水平和每个水平和A A、C C的三个水平也是正好各碰一次；对的三个
31、水平也是正好各碰一次；对C C也有同样的性质。可以设想，虽然只做了也有同样的性质。可以设想，虽然只做了9 9次试验次试验（全部要做（全部要做3327次），还是可以反映比较全面的还是可以反映比较全面的情况的。为了书写的简便，上面的试验设计表可以情况的。为了书写的简便，上面的试验设计表可以简化为：好各出现一次，具有这种性质的方块叫拉简化为：好各出现一次，具有这种性质的方块叫拉丁方丁方 C B A123112322313312 我们发现，在每一行、每一列中，我们发现，在每一行、每一列中，1 1，2 2，3 3正好正好各出现一次。具有这种性质的方块叫各出现一次。具有这种性质的方块叫拉丁方拉丁方。（4
32、4）若还要考虑因素若还要考虑因素D，能否还保持上述的要求，而，能否还保持上述的要求，而试验次数不增加呢？试验次数不增加呢？根据方才的经验，根据方才的经验，D的三个水平必须构成拉丁的三个水平必须构成拉丁方，这样和方，这样和A，B才能均衡。我们用才能均衡。我们用1，2，3表示表示D的三个水平，试验安排如下：的三个水平，试验安排如下：C D B A123111223322233113331122 可以看到，可以看到，A，B和和C之间很均衡，之间很均衡，A，B和和D之间之间也很均衡，但也很均衡，但C和和D之间就不均衡了。之间就不均衡了。C的的1水平只和水平只和D的的1相碰，和相碰，和2，3一次也没碰上
33、，一次也没碰上，C的其它水平也有类的其它水平也有类似的情形。这样的安排是不好的，需要改进设计。似的情形。这样的安排是不好的，需要改进设计。D的三个水平要排成拉丁方这一点是不能变的，的三个水平要排成拉丁方这一点是不能变的，问题是问题是D的拉丁方和的拉丁方和C的拉丁方不能一样，两个拉的拉丁方不能一样，两个拉丁方之间要搭配均匀。按此原则改成如下的设计：丁方之间要搭配均匀。按此原则改成如下的设计：C D B A123111223322331123321321 这样，在满足和这样，在满足和A，B之间搭配均衡的前提下，之间搭配均衡的前提下，D和和C之间也很均衡，之间也很均衡，D的每个水平和的每个水平和C的
34、的1，2，3各碰一各碰一次，达到设计的要求。次，达到设计的要求。123231312 发现发现1，2，3与与1，2，3各碰一次，既无重复又无各碰一次，既无重复又无遗漏。具有这种性质的两个拉丁方叫遗漏。具有这种性质的两个拉丁方叫正交拉丁方正交拉丁方。正交拉丁方设计由于互相搭配均匀，在分析数据时正交拉丁方设计由于互相搭配均匀，在分析数据时可以把每个因素的作用分得清清楚楚，不会混杂，并可以把每个因素的作用分得清清楚楚，不会混杂，并且可以方便地找到最优的工艺条件。正交拉丁设计可且可以方便地找到最优的工艺条件。正交拉丁设计可以大大减少试验次数，因此当因素较多时，用正交拉以大大减少试验次数，因此当因素较多时
35、，用正交拉丁方来安排试验就更好了，它既能减少试验次数，又丁方来安排试验就更好了，它既能减少试验次数，又能达到因素间的均衡，同时提供分析试验的信息比较能达到因素间的均衡，同时提供分析试验的信息比较丰富，还能给出试验误差的估计。丰富，还能给出试验误差的估计。123312231 我们将我们将C和和D的两个拉丁方叠在一起：的两个拉丁方叠在一起：1122332331123213212、正交表：是正交拉丁方的自然推广正交表是正交试验设计的工具，它是对大量的实践经验进行总结，并根据数学理论整理而得到的成果。表表1-1所示为所示为L9（34）正交表，记号的一般）正交表，记号的一般形式为形式为LN（mk），其中
36、，其中L表示正交表，表示正交表，N表示试验次数，表示试验次数，k表示可能安排的因子的表示可能安排的因子的最大数目，最大数目，m表示因子的水平数。表示因子的水平数。表表2-1 L9（34）正交表正交表正交表的正交性：正交表的正交性：（1）每个纵列中不同数字（例如表）每个纵列中不同数字（例如表1中中的的“1”、“2”和和“3”）出现的次）出现的次数相同，这意味着每个因子的不同数相同，这意味着每个因子的不同水平在全部试验中出现的次数相同。水平在全部试验中出现的次数相同。（2）任意两列之间，不同水平之间正）任意两列之间，不同水平之间正好各碰相同的次数。这意味着任意好各碰相同的次数。这意味着任意两个因子
37、之间不同的搭配在全部试两个因子之间不同的搭配在全部试验中出现的次数相同。验中出现的次数相同。正交试验设计对全体因子而言是部正交试验设计对全体因子而言是部分试验，但对其中任意两个因子而分试验，但对其中任意两个因子而言是具有相同重复次数的全面试验，言是具有相同重复次数的全面试验，所以用正交表安排的试验是均衡搭所以用正交表安排的试验是均衡搭配的，且整齐可比，代表性高，效配的，且整齐可比，代表性高，效率高。率高。因素因素试验号试验号ABCD111112122231333421235223162312731328321393321如何使用正交表？（1）根据试验的目的，确定试验要考察的因素。如果对事物）根
38、据试验的目的，确定试验要考察的因素。如果对事物的变化规律了解不多，因素可以多取一些，如果对其规律已的变化规律了解不多，因素可以多取一些，如果对其规律已有相当了解，可以准确的判断主要因素，这时因素可取少一有相当了解，可以准确的判断主要因素，这时因素可取少一些。些。（2）确定每个因素变化的水平。每个因素的水平数可以相等，）确定每个因素变化的水平。每个因素的水平数可以相等，也可以不等。重要的因素，或者特别希望详细了解的因素水也可以不等。重要的因素，或者特别希望详细了解的因素水平可多一些，其余可少一些。平可多一些，其余可少一些。（3）估计试验条件的情况，看看一次能作多少试验，一次作）估计试验条件的情况
39、，看看一次能作多少试验，一次作不完，需要分成几次。不完，需要分成几次。（4）综合上述三点选取）综合上述三点选取L表。表。正交试验设计的应用 例例2-4 某聚合反应条件的试验问题某聚合反应条件的试验问题 为提高某聚合反应生成物产量，对反应条件做进一步研为提高某聚合反应生成物产量，对反应条件做进一步研究，考察三个因子，即溶剂用量究，考察三个因子，即溶剂用量A，配比，配比B和催化剂用量和催化剂用量C，每个因子取三个水平，如表每个因子取三个水平，如表2-2所示所示。表表2-2 因子因子水平表水平表 水平水平因子因子溶剂用量溶剂用量Aml配比配比B催化剂用催化剂用量量Cg1840104028501560
40、38602080解法一、若采用全面试验法这类问题在化学与化工中经常出现，称其为多因子这类问题在化学与化工中经常出现，称其为多因子对比试验问题。对于对比试验问题。对于k个因子，若每个因子取个因子，若每个因子取m个水个水平，则记为平，则记为mk型试验。型试验。若采用全面试验法，因子与水平间不同的搭配共有若采用全面试验法，因子与水平间不同的搭配共有33=27种。为从这种。为从这27种不同的搭配方案中选出对提高种不同的搭配方案中选出对提高产量最有利的条件，没有必要将它们全都试验一遍，产量最有利的条件，没有必要将它们全都试验一遍，并且在因子数目和水平数目较多的情况下也不可能。并且在因子数目和水平数目较多
41、的情况下也不可能。解法二：因子间无交互作用的正交设计 先考虑一种简单情况，假设三个因子，即溶剂用量先考虑一种简单情况，假设三个因子，即溶剂用量A，配比配比B和催化剂用量和催化剂用量C之间没有交互作用（或交互作用可以之间没有交互作用（或交互作用可以忽略）。忽略）。试验设计步骤：试验设计步骤：（1）根据试验的目的和要求，确定指标、因子及其水平后，）根据试验的目的和要求，确定指标、因子及其水平后，选取合适的正交表。选取合适的正交表。（2）表头设计：往正交表表头的列号中填因子以制定试验方）表头设计：往正交表表头的列号中填因子以制定试验方案的过程，称为表头设计。案的过程，称为表头设计。（3）按正交表规定
42、的试验条件进行具体的科学实验。）按正交表规定的试验条件进行具体的科学实验。（4）实验完毕后，把测得的生成物产量（指标）填入正交表）实验完毕后，把测得的生成物产量（指标）填入正交表右侧的栏中。右侧的栏中。（5）对实验结果进行直观分析）对实验结果进行直观分析2.1.1 选取正交表 选取如表选取如表2-1所示的所示的L9（34）正交）正交表，该表可以安排不超过四个因子表，该表可以安排不超过四个因子的三水平试验，将因子的三水平试验，将因子A、B和和C任任意填入不同的列中，得到表意填入不同的列中，得到表2-3。表表2-3 L9（34）正交表）正交表表中填了因子的各列数字表中填了因子的各列数字“1”、“2
43、”和和“3”分别是所填因子的分别是所填因子的水平，于是表水平，于是表2-2所确定的九个试所确定的九个试验条件分别是：验条件分别是：（1）A1B1C1；（；（2）A1B2C2；（3）A1B3C3；（；（4）A2B2C3；（5）A2B3C1；（；（6）A2B1C2；（7）A3B3C2；（；（8）A3B1C3；（9）A3B2C1其中试验条件（其中试验条件（1）A1B1C1详细详细写出是：溶剂用量为写出是：溶剂用量为840ml，配，配比为比为10，催化剂用量为，催化剂用量为40g，其，其余的试验条件类似。余的试验条件类似。试验号试验号ABC1111121222313334212352231623127
44、31328321393321选取正交表 安排正交表时，还有两点可以考虑：安排正交表时，还有两点可以考虑：分区组分区组 对于一批试验，如果要在几台不同的机器（或用几对于一批试验，如果要在几台不同的机器（或用几种原料）上进行，为了防止由于机器（或原料）的不种原料）上进行，为了防止由于机器（或原料）的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，那么在安排试同而带来误差，从而干扰试验的分析，那么在安排试验时，可以用验时，可以用L表中未排因素的一列来安排机器（或原表中未排因素的一列来安排机器（或原料）。与此类似，如果指标检验需要几个人（或几台料）。与此类似，如果指标检验需要几个人（或几台仪器）检验，为了消除不同
45、人（仪器）检验的水平不仪器）检验，为了消除不同人（仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在同给试验分析带来干扰，也可采用在L表中用一列来安表中用一列来安排的方法。排的方法。这样一种方法叫做分区组的方法。这样一种方法叫做分区组的方法。选取正交表 随机化随机化 在正交表表头设计时，每个因素的水平总是由小到在正交表表头设计时，每个因素的水平总是由小到大（或由大到小）按顺序排列，这样按正交表安排试大（或由大到小）按顺序排列，这样按正交表安排试验时，所有的验时，所有的1水平要碰在一起，而这种极端的情况有水平要碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时没有实际意义。所以当希望时是不希望出
46、现的，有时没有实际意义。所以当希望出现某一个特定的水平组合时，最好不要完全按由小出现某一个特定的水平组合时，最好不要完全按由小到大排列因素水平。常用的一种方法叫随机化。一是到大排列因素水平。常用的一种方法叫随机化。一是对部分因素的水平随机化，可以采用抽签的方式；另对部分因素的水平随机化，可以采用抽签的方式；另一是对试验号码随机化，试验进行的次序不是按正交一是对试验号码随机化，试验进行的次序不是按正交表的试验号码排列，而是采用抽签等方法而决定的。表的试验号码排列，而是采用抽签等方法而决定的。两种随机化可以兼而用之，也可只采用一个，这要看两种随机化可以兼而用之，也可只采用一个，这要看具体情况来决定
47、。具体情况来决定。2.1.2 实验结果列入表中 实验完毕后，把测得的生成物产量（实验完毕后，把测得的生成物产量（指标指标）填入表）填入表2-3右侧的栏中（如右侧的栏中（如y1，y2 ，y9）。）。表表2-4 L9（34）正交表的结果分析）正交表的结果分析试验号试验号ABC生成物产量生成物产量g11111y1=19021222y2=20031333y3=17542123y4=16552231y5=18362312y6=21273132y7=19683213y8=17893321y9=187K1565580560T=1686K2560552608 =187.3K3561554518yTN正交表的直
48、观分析 表表2-4 L9（34）正交表的结果分析）正交表的结果分析试验号试验号ABC生成物产量生成物产量gK1565580560K2560552608K3561554518188.3193.3186.7186.7184202.7187184.7172.71k2k3k正交表的直观分析 在计算基础上，作因素和指标的关系图，在计算基础上，作因素和指标的关系图，即把每个因素的即把每个因素的 、对相应的水平作图。对相应的水平作图。一个因素对指标影响大，是主要的，那么这个一个因素对指标影响大，是主要的，那么这个因素不同的水平，相应的指标平均值之间的差因素不同的水平，相应的指标平均值之间的差异较大，一个因素
49、影响不大，是次要的，相应异较大，一个因素影响不大，是次要的，相应的指标平均值差异较小。反应在图中上，可以的指标平均值差异较小。反应在图中上，可以直观的看出，数据波动大的为主要影响因素，直观的看出，数据波动大的为主要影响因素，数据波动小的为次要因素。数据波动小的为次要因素。1k2k3k实验结果的直观分析（1）直接看，可靠又方便直接看，可靠又方便。希望试验条件使生成物产量越高。希望试验条件使生成物产量越高越好，直接比较这越好，直接比较这9次试验的结果。第次试验的结果。第6号试验（号试验（A2B1C2）的生成物产量的生成物产量y6=212g最大，所以可以认为较好的试验条件最大，所以可以认为较好的试验
50、条件是是A2B1C2，即，即溶剂用量为溶剂用量为850ml，配比为，配比为10，催化剂用量，催化剂用量为为60g。（2）算一算，重要又简单算一算，重要又简单。表。表2-4中计算出每个因子的每个水中计算出每个因子的每个水平下的指标加和平下的指标加和Ki，例如因子，例如因子B的水平的水平2下的指标加和：下的指标加和：K2=y2+y4+y9=200+165+187=552g，其它类似。还可计算出，其它类似。还可计算出每个因子的每个因子的Ki中最大值与最小值的差，即中最大值与最小值的差，即级差级差。级差大的因。级差大的因子是重要因子，级差小的因子是次要因子。例如因子子是重要因子，级差小的因子是次要因子
