1、 初中数学（人教版）初中数学（人教版）八年级 下册第十七章勾股定理第十七章勾股定理第十七章勾股定理知识点一知识点一 勾股定理勾股定理勾股定理内容图例内容如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.符号语言在RtABC中,若a,b为直角边长,c为斜边长,则a2+b2=c2第十七章勾股定理例例1下列说法正确的是()A.若a、b、c分别是ABC中A,B,C所对的边,则a2+b2=c2B.若a、b、c分别是RtABC中A,B,C所对的边,则a2+b2=c2C.若a、b、c分别是RtABC中A,B,C所对的边,A=90,则a2+b2=c2D.若a、b、c分别是RtABC中
2、A,B,C所对的边,C=90,则a2+b2=c2 解析解析勾股定理中“a2+b2=c2”表达的含义是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,这个结论成立的前提条件有两个:一是这个三角形是直角三角形;二是a、b是直角边,c是斜边,这两个条件缺一不可.答案答案 D知识点二知识点二 勾股定理的验证勾股定理的验证项目内容勾股定理验证的思路用拼图法验证勾股定理的思路:(1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么面积不会改变;(2)根据同一图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理勾股定理验证的实质勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过面积之间的相
3、等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题拓展延伸拼图法步骤拼出图形;写出图形面积表达式;找出等量关系;恒等变形;推导出勾股定理原则图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙例例2如图17-1-1-1所示,设长方形ABCD的两邻边长分别为a,b,对角线长为c,推倒后的长方形为ABCD,试用该图形验证勾股定理.图17-1-1-1分析分析 连接CC.易证RtADC与RtCBA全等,所以AC=AC,DAC=ACB,从而得到ACC为等腰直角三角形,运用不同的方法表示出ACC的面积即可.解析解析连接CC.易证RtADC RtCBA,所以AC=AC,DAC=BCA,又BCA+CAB=90,所以DAC+DAC=90,
4、所以ACC为等腰直角三角形,所以ACC的面积为cc=c2.另一方面,ACC的面积等于直角梯形BCCD的面积减去两个完全一样的直角三角形(ABC和ADC)的面积之和,即SACC=(a+b)(a+b)-2ab,从而得c2=(a+b)(a+b)-2ab,化简得c2=a2+b2.12121212121212题型一题型一 利用勾股定理求直角三角形的第三边利用勾股定理求直角三角形的第三边例例1在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别是a,b,c.(1)已知a=b=6,求c;(2)已知c=3,b=2,求a;(3)已知a b=2 1,c=5,求b.解析解析 (1)C=90,a=b=6,由勾股定理,得c=
5、6.(2)C=90,c=3,b=2,由勾股定理,得a=.(3)a b=2 1,a=2b.又C=90,c=5,由勾股定理,得(2b)2+b2=52,b=.22ab2266222-c b223-255题型二题型二 利用勾股定理求面积利用勾股定理求面积例例2如图17-1-1-2,以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若AB=3,则图中阴影部分的面积为 .图17-1-1-2解析解析因为ACH为等腰直角三角形,所以AH=HC,AH2+HC2=AC2,所以AH2=AC2,所以SACH=AHHC=AH2=AC2.同理,SBCF=BC2,SABE=AB2.在RtABC中,AC2+BC2=AB2,A
6、B=3,故阴影部分的面积为SACH+SBCF+SABE=AC2+BC2+AB2=(AC2+BC2+AB2)=2AB2=9=.12121214141414141414141292答案答案 92易错点一易错点一 用勾股定理时未对边的类型分类讨论导致漏解用勾股定理时未对边的类型分类讨论导致漏解例例1已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边的长.正解正解当第三边是直角边时,第三边的长为=;当第三边是斜边时,第三边的长为=13,所以第三边的长为13或.2212-511922512169119错解错解由勾股定理得,第三边的长为=13.错解警示错解警示误认为本题中12,5是直角边长而致错.当题目中没有
7、明确说明哪条边是斜边时,要分类讨论.22512易错点二易错点二 忽视勾股定理应用的前提条件致错忽视勾股定理应用的前提条件致错例例2已知ABC的三边长为整数,且较短两边的长分别为3和4,则最长边的长为 .正解正解设最长边的长为x,则解得4x0),a2+b2=c2,(3x)2+322=(5x)2,x=8.a=24,c=40.22-c b9-45知识点二知识点二 勾股定理的验证勾股定理的验证5.(2019湖南长沙雅礼中学期末)如图17-1-1-1是美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的面积分别是5、7、3、5,则正方形E的面积是()图17-1-
8、1-1A.108 B.50C.20 D.12答案答案 C如图,由勾股定理可知,正方形G的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=12,正方形H的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=8,正方形E的面积=正方形G的面积+正方形H的面积=20,故选C.6.(2019北京延庆期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,图17-1-1-2所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 .图17-1-1-2答案答案3解析解析由题意可知中间小正方
9、形的边长为a-b,每一个直角三角形的面积为ab=8=4,4ab+(a-b)2=25,(a-b)2=25-16=9,a-b=3,故答案是3.1212121.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知号正方形的面积是1,那么号正方形的面积是()A.4 B.8 C.16 D.32答案答案 C如图,根据勾股定理知号正方形的边长为=,则号正方形的边长为=2,号正方形的边长为=2,号正方形的边长为=4,所以号正方形的面积为44=16.故选C.2211222(2)(2)2222222(2 2)(2 2)2.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b,斜边长为c)和一个正方形
10、(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的图形的示意图;(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.解析解析(1)(答案不唯一)如图.(2)证明:大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4ab,(a+b)2=c2+4ab,即a2+b2+2ab=c2+2ab,a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.12121.(2017广西防城港期中)如图17-1-1-3,在RtABC中,ACB=90,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()图17-1-1-3A.225 B.200 C.250 D.150答案答案 A正方形ADEC的面
11、积=AC2,正方形BCFG的面积=BC2.在RtABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A.2.(2017山东德州夏津期中)已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的周长为()A.12 B.7+C.12或7+D.以上都不对77答案答案 C设第三边的长为x(x0).当4为直角三角形的直角边长时,x为斜边长,由勾股定理得,x=5,此时这个三角形的周长为3+4+5=12;当4为直角三角形的斜边长时,x为直角边长,由勾股定理得,x=,此时这个三角形的周长为3+4+=7+,故选C.2234224-37773.(2019江苏泰州泰兴期末)如图17-1-1-4,AB
12、C中,AB=AC,AB=5,BC=8,AD平分BAC,则AD的长为()图17-1-1-4A.5 B.4 C.3 D.2答案答案 CAB=AC,AD平分BAC,BD=BC=4,ADBC,由勾股定理得,AD=3,故选C.1222-AB BD4.(2017四川遂宁期中)如图17-1-1-5,在RtABC中,C=90,AD平分BAC,若AC=6,BC=8,则CD的长为()图17-1-1-5A.2 B.3 C.4 D.5答案答案 B过点D作DEAB于点E,AD平分BAC,CD=DE,在RtABC中,由勾股定理得,AB=10.设CD=x(x0),SACD+SABD=SABC,ACCD+ABDE=ACBC,
13、即6x+10 x=68,解得x=3,即CD=3.22ACBC1212121212125.(独家原创试题)嘉琪同学在课上学习了勾股定理,放学回到家中,制作了四个全等的直角三角形和一个边长等于直角三角形斜边长的正方形,准备复习功课用,六岁的弟弟看到图形以为是做拼图游戏,结果拼出了图17-1-1-6.嘉琪是个爱动脑筋的好学生,她继而思考能否借助这个图形设计一道能用所学知识来解决的问题,于是她设计如下题目:图17-1-1-6是由四个全等的直角三角形拼成的图形,设CE=a,HG=b,则BD的长是()图17-1-1-6A.a+b B.a-bC.D.222ab22-2a b答案答案 C设CD=x,则DE=a
14、-x,HG=b,AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x,x=,BC=DE=a-=,BD2=BC2+CD2=+=,BD=,故选C.-2a b-2a b2ab22ab2-2a b222ab222ab6.如图17-1-1-7,大正方形是由4个全等的小正方形组成的,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个顶点,得到ABC,则ABC中,AC边上的高为 .图17-1-1-7答案答案 3 55解析解析 SABC=22-21-11-21=.由勾股定理得AC=,ABC中,AC边上的高为=.121212322221532253 557.(独家原创试题)为了激发学生学习数学的兴趣,使学生感悟数学之美、数学
15、之乐,也为了给学生提供展示才华的舞台,某校在3月14日所在的这一周举行了2019年数学文化节系列活动.图17-1-1-8是小凯同学在数学文化节上设计的徽章图案.在ABC中,ACB=90,分别以ABC的各边为边作三个正方形,点G落在HI上,若AC+BC=6,空白部分的面积为10.5,则阴影部分的面积为 .图17-1-1-8答案答案17解析解析ACB=90,四边形ABGF是正方形,FAB=AFG=ACB=90,FAC+BAC=BAC+ABC=90,FAC=ABC,在FAM与ABN中,FAM ABN(ASA),SFAM=SABN,SABC=S四边形FNCM,AB2-2SABC=AB2-ACCB=10
16、.5,在ABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2,AC+BC=6,(AC+BC)2=AC2+BC2+2ACBC=36,AB2+2ACBC=36,由可得3AB2=57,S正方形ACED+S正方形BCHI+S正方形ABGF=AC2+BC2+AB2=2AB2=38,阴影部分的面积为38-10.52=17,故答案为17.90,FNABAFABFAMABN 1.(2019广东深圳福田期末)如图,在RtABC中,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm,点D从点A出发以每秒1 cm的速度向点C运动,当点D运动到线段AB的中垂线与线段AC的交点(即D)处时,运动时间是()A.秒 B.秒C.秒 D.秒2
17、5225413272答案答案 B如图所示,ED是线段AB的中垂线,与AC交于点D,在RtABC中,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm,ED是AB的中垂线,BE=5 cm,连接BD,则BD=AD,BD2=CD2+BC2,AD2=62+(8-AD)2,解得AD=cm,当D点运动到线段AB的中垂线与线段AC的交点(即D)处时,运动时间为秒,故选B.22ACBC2542542.(2018陕西宝鸡岐山二模)如图,在ABC中,AB=5,AC=4,A=60,若边AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则BDC的周长为()A.8 B.9 C.5+D.5+2117答案答案 C如图,过
18、点C作CMAB,垂足为M.在RtAMC中,A=60,AC=4,AM=2,MC=2,BM=AB-AM=3.在RtBMC中,BC=.DE是线段AC的垂直平分线,AD=DC,又A=60,ADC是等边三角形,CD=AD=AC=4,BDC的周长为DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+.故选C.322BMCM223(2 3)2121一、选择题一、选择题1.(2019山西阳泉平定期末,6,)如图17-1-1-9,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标为()图17-1-1-9A.B.2-C.-D.-213131313答
19、案答案 C由勾股定理得,OP=,OA=OP=,点A的横坐标为-,故选C.22231313132.(2019浙江温州瑞安西部学校期末,10,)如图17-1-1-10,阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,已知S1+S2=7,且AC+BC=8,则AB的长为()图17-1-1-10A.6 B.2 C.5 D.23278答案答案 A在RtABC中,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2,S1+S2=7,+ACBC-=7,ACBC=14,AB=6,故选A.1222AC1222BC121222AB22ACBC2()-2ACBCAC BC3.(2019河南漯河临颍期末,5,)图17-
20、1-1-11是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形,其中AE=5,BE=12,连接EF,则EF的长是()图17-1-1-11A.7 B.8 C.7 D.7 23答案答案 C由题意知,AEB BHC,BH=AE=5,EH=BE-BH=7,同理,HF=7,BHC=90,FHE=90,EF=7,故选C.22EHFH2二、填空题二、填空题4.(2019上海浦东新区第四教育署期末,17,)将一副三角尺按图17-1-1-12所示的方式叠放在一起,如果AB=10 cm,那么AF=cm.图17-1-1-12答案答案5 2解析解析在ACB中,ACB=90,B=30,AC=AB=5 cm,FCDE,AFC=D=4
21、5,FC=AC=5 cm,在RtACF中,由勾股定理,得AF=5(cm),故答案为5.1222ACCF225.(2019江苏扬州高邮期末,17,)如图17-1-1-13,在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,若AC=2,AE=1,则BC=.图17-1-1-13答案答案1.5解析解析ACB=90,CDAB,ACD+BCD=90,ACD+A=90,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE,设BC=BE=x,则AB=1+x,AC2+BC2=AB2,22+x2=(1+x)2,解得x=1.5,即B
22、C=1.5.6.(2017江苏南京师大附中第一阶段测试,15,)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图17-1-1-14.图17-1-1-14由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=9,则S2的值是 .图17-1-1-14答案答案3解析解析设四边形MTKN的面积为x,八个全等的三角形面积都为y,正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=9,S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,S1
23、+S2+S3=3x+12y=9,x+4y=3,S2=x+4y=3,故答案为3.1.(2018浙江温州龙湾一模,10,)如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,OA25这些线段中,长度为正整数的有()A.3条 B.4条 C.5条 D.6条答案答案 C易知OAn=,所以线段OA1,OA2,OA3,OA25的长分别为,=1,=2,=3,=4,=5,故线段长度为正整数的线段有5条.故选C.n1232514916252.(2019江
24、苏南通通州期末,10,)锐角ABC中,AB=a-1,AC=a,BC=a+1(a4),BDAC于点D,则CD-DA的值为()A.B.2 C.D.4-22a-12a答案答案 D设CD=x,则AD=a-x,在RtABD中,BD2=AB2-AD2,在RtCBD中,BD2=BC2-CD2,AB2-AD2=BC2-CD2,即(a-1)2-(a-x)2=(a+1)2-x2,整理,得a2-2a+1-a2+2ax-x2=a2+2a+1-x2,则2x-a=4,CD-DA=2x-a=4,故选D.3.(2019四川达州开江一模,16,)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上,点A1在第一
25、象限,且OA=1,以点A1为直角顶点,OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2,再以点A2为直角顶点,OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,依此规律,则点A2 019的坐标是 .答案答案(-21 009,21 009)解析解析由等腰直角三角形的性质,可知A1(1,1),A2(0,2),A3(-2,2),A4(-4,0),A5(-4,-4),A6(0,-8),A7(8,-8),A8(16,0),A9(16,16),A10(0,32),A11(-32,32),点A8n+3的坐标为(-24n+1,24n+1)(n为自然数).2 019=2528+3,点A2 019的坐标为(-24252+1,2
26、4252+1),即(-21 009,21 009).4.(2017河北秦皇岛卢龙宏远中学期中,26,)如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,设BC=a,AC=b,AB=c,证明:S1=S2+S3;(2)如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想
27、S1、S2、S3之间的关系.(不必证明)解析解析(1)证明:S3=AC2,S2=BC2,S1=AB2,AC2+BC2=AB2,即b2+a2=c2,在RtABC中,a2+b2=c2,S2+S3=S1.(2)S1=S2+S3.理由:由题意可得出:S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,即S1=c2,S2=a2,S3=b2,S2+S3=(a2+b2)=c2=S1,即S1=S2+S3.(3)由(1)(2)可得出S1=S2+S3.8888888883434343434343434一、选择题一、选择题1.(2019河南中考,9,)如图17-1-1-15,在四边形ABCD中,ADBC,D=90,AD=4,
28、BC=3.分别以点A、C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为()图17-1-1-1512A.2 B.4 C.3 D.210答案答案 A如图,连接FC,则AF=FC.ADBC,FAO=BCO.易证FOA BOC(AAS),AF=BC=3,FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.在FDC中,D=90,CD2+DF2=FC2,CD2+12=32,CD=2.故选A.22.(2019浙江宁波中考,12,)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图17-1-1-16,以直角三角形的各边为边分别
29、向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图17-1-1-16所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图17-1-1-16A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.两个较小正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和答案答案 C设直角三角形的斜边长为c,较长直角边的长为b,较短直角边的长为a,则c2=a2+b2,阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),易知两个较小正方形重叠部分的宽=a-(c-b),长=a,则两个较小正方形重叠部分的面积=a(a+b-c),所以若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出两个较小正方形重叠
30、部分的面积,故选C.二、填空题二、填空题3.(2018湖北襄阳中考,15,)已知CD是ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 .3答案答案2或2 37解析解析 分两种情况:(1)当ABC是锐角三角形时,如图,CDAB,CDA=90,CD=,AD=1,AC=2,AB=2AC,AB=4,BD=4-1=3,BC=2;(2)当ABC是钝角三角形时,如图,同理得AC=2,AB=4,则BD=5,BC=2.综上所述,BC的长为2或2.322CDBD22(3)3322CDBD22(3)5737图图4.(2019内蒙古通辽中考,15,)腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为 .答案
31、答案6或2或4 55解析解析如图1,当AB=AC=5,AD=4时,BD=CD=3,底边长为6;如图2,当AB=AC=5,CD=4时,AD=3,BD=2,BC=2,底边长为2;如图3,当AB=AC=5,CD=4时,AD=3,BD=8,BC=4,底边长为4.综上,三角形的底边长为6或2或4.22245522-ACCD55551.(2019湖北咸宁中考,2,)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()答案答案 B“赵爽
32、弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图B所示,故选B.2.(2017浙江温州中考,9,)四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为RtABM的较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为()A.12S B.10S C.9S D.8S2答案答案 C如图,由题意知AN=NM,四个白色的四边形为全等的矩形,则AK+KN=EF+FQ,KN=FQ,AK=EF,BM=EF,AM=2EF,AB2=BM2+AM2,AB2=9EF2,S正方形ABCD=AB2=9EF2=9S.故选C.23.(2
33、019湖北荆州中考,12,)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4 cm,E,F,G分别是AB,AA1,AD的中点,截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体(如图),则图中阴影部分的面积为 cm2.答案答案2 3解析解析正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4 cm,E,F,G分别是AB,AA1,AD的中点,GF=GE=EF=2 cm,过G作GHEF于H,GH=GF=cm,图中阴影部分的面积=2=2 cm2.故答案为2.222223261226334.(2018黑龙江伊春中考,5,)RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,过点B的直线把ABC分割成两个三角形
34、,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积为 .答案答案3.6或4.32或4.8解析解析 在RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,SABC=ABBC=6.过点B的直线把ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:(1)当AB=AP=3时,如图所示,S等腰ABP=SABC=6=3.6;(2)当AB=BP=3,且P在AC上时,如图所示,作ABC的AC边上的高BD,则BD=2.4,AD=DP=1.8,AP=2AD=3.6,S等腰ABP=SABC=6=4.32;22ABBC12APAC35AB BCAC3 45223-2.4APAC3.65(3)当CB
35、=CP=4时,如图所示,S等腰BCP=SABC=6=4.8.综上所述:等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.CPAC455.(2018浙江湖州中考,16,)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在如图所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的面积为5.当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是 .(不包括5)6565答案答案9,13和49解
36、析解析 设图中直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b,则a2+b2=65,小正方形的面积为(a-b)2,所以只要能把长为a和b的线段在网格中画出来,并且让这两条线段的端点都在格点上即可.因为65可以写成64+1或49+16,所以a,b的值分别为8,1或7,4.此时小正方形的面积为49或9.另外,因为长为和的线段也符合题意,所以65还可以写成52+13或45+20,此时a,b的值分别为2,和3,2.此时小正方形的面积为13和5.故小正方形的面积的所有可能值为9,13和49.1351313551.2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”(如图17-1-1-17),它是由4个全等的直
37、角三角形拼接而成的.如图17-1-1-17,在线段AE和CG上分别取点P和点Q,使AP=CQ,连接DP,BP,DQ,BQ,则构成了一个“压扁”的弦图.问题:线段AE,CG中,是否存在不同于端点的点P,Q,使得“压扁”的弦图(四边形PBQD)中,4个直角三角形的面积依然满足S1=S2=S3=S4?()图17-1-1-17A.存在且唯一 B.存在多个C.不存在 D.无法确定答案答案 C因为BCG CDH DAE ABF,所以CG=DH=AE=BF.又因为AP=CQ,所以QH=PF,则易证BPF DQH,则S2=S4,易证BQGDPE,则S1=S3,设AP=x,AE=a,DE=b.则S1=b(a-x
38、),S2=a(b-x),若S1=S2,则b(a-x)=a(b-x),整理得ax=bx,因为是压扁后的弦图,所以x0,所以a=b,因此只有当a=b时,S1=S2,此时S1=S2=S3=S4.故选A.因为AEDE，所以不存在满足题意的点，故选121212122.(2017浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换.例如,在44的正方形网格图形中(如图17-1-1-18),从点A经过一次跳马变换可以到达点B,C,D,E等处.现有2020的正方形网格图形(如图17-1-1-18),则从该正方形的顶点M经过跳
39、马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳马变换的次数是()5图17-1-1-18A.13 B.14 C.15 D.16答案答案 B按照题中定义的跳马变换规则知,由顶点M跳到顶点N,若要跳马变换次数最少,则应尽可能减少路线中的曲折,即尽量沿直线进行跳马变换,可以发现如图所示的线路、路程最短(最短路线不止这两条).由勾股定理,易得MB1=MB=8,B1C1=BC=4,C1D1+D1N=CD+DN=+=2,故线路或的总长=8+4+2=14,此时跳马变换所需的次数为14=14,故选B.221685224852221222155555551.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行
40、了两枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图形,它可以验证勾股定理.在图(2)所示的勾股图中,已知ACB=90,BAC=30,AB=4.作PQR使得R=90,点H在边QR上,D,E两点在边PR上,G,F两点在边PQ上,那么PQR的周长等于 .答案答案13+273解析解析如图,延长BA交RQ于点N,延长AB交PQ于点M,过点M作MOPR于点O.ACB=90,BAC=30,AB=4,BC=AB=2,AC=2.AC=CG,BC=CF,ACB=GCF,ABC GFC,GF=AB=4,CGF=CAB=30.1222-AB BC3QGH+CGF=90,QGH=60.
41、同理,QHG=60,QHG是等边三角形,QG=HG=QH,又HG=AC,QG=2.在RtQNM中,Q=60,QMN=30.又CAB=30,FAM是等腰三角形,FM=AF=2+2.BE=AB=4,MO=4.33在RtPMO中,P=30,MO=4,PM=2MO=8,PQ=QG+GF+FM+PM=2+4+2+2+8=4+14,QR=PQ=2+7,PR=6+7,PQR的周长为PQ+QR+PR=13+27.33312322-PQ QR332.(2018河北保定二模)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都
42、可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示方式摆放,其中DAB=90,求证:a2+b2=c2.证明:连接DB,作DFBC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a.S四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab,又S四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a),b2+ab=c2+a(b-a),a2+b2=c2.1212121212121212请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示方式摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2.图1 图2 证明证明 连接BD,作BFDE交DE的延长线于点F,则BF=b-a,S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE=ab+b2+ab,又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a(b-a),ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),a2+b2=c2.121212121212121212121212
