1、第十八章 平行四边形自我评估（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 在ABCD中，若A=38，则C的度数为（）A. 142B. 132C. 38D. 522. 如图1，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，A=20，则BCD的度数是（）A. 40B. 50C. 60 D. 70 图1 图23. 如图2，ABCD的周长为28 cm，AE平分BAD，若CE2 cm，则AB的长为（）A. 10 cmB. 8 cmC. 6 cmD. 4 cm4. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A. 对角线相等 B.对角线互相垂直C. 每条对角线平分一组对角 D. 对角线
2、互相平分5. 如图3，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为（）A. 10B. 5C. 2.5D. 2.25 图3 图46. 如图4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（）A.B.C.D.7如图5，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若BAE56，则CEF的度数为（）A. 30B. 79C. 22D. 81 图5 图6 8. 如图6，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6.将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是（
3、 ）A. 3B.C. 5D. 9. 如图7，在ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DECA，DFBA.下列判断不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果BAC90，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果ADBC且BDCD，那么四边形AEDF是正方形 图7 图810. 如图8，直线mn，直线l与m，n分别相交于点A，C，以AC为对角线作四边形ABCD，使点B，D分别在直线m，n上，则不一定能作出的图形是（ ）A. ABCDB. 矩形ABCDC. 菱形ABCDD. 正方形ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1
4、8分）11. 已知ABCD的周长为10，AB=4，则BC的长为 .12. 如图9，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是 . 图9 图10 图1113. 如图10，四边形ABCD是正方形，点E在正方形外，DCE为等边三角形，连接BE交DC于点G，则CBG的度数为 .14. 如图11，在ABCD中，要在对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形.有下列方案：只需要满足BEDF；只需要满足AECF；只需要满足AECF.其中正确的是 .（填序号）15. 如图12，正方形ABCD的面积为2，菱形AE
5、CF的面积为1，则EF的长为 . 图12 图1316. 如图13，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PEOA于点E，PFOB于点F，若AB=4，BAD=60，则EF的最小值为 .三、解答题（本大题共7小题，共52分）17.（6分）如图14，E，F分别是矩形ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形. 图1418.（6分）（2021年宁夏）如图15，BD是ABCD的对角线，BAD的平分线交BD于点E，BCD的平分线交BD于点F.求证：AECF. 图1519.（7分）已知：如图16-，ABC为锐角三角形，AB=AC.
6、 求作：菱形ABDC.作法：如图16-.以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；以点O为圆心，OA的长为半径画弧，与射线AE交于点D，点D，A分别位于BC的两侧，连接CD，BD，则四边形ABDC就是所求作的菱形.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：由作法可知，AE平分CAB.因为AB=AC，所以CO=_.因为AO=DO，所以四边形ABDC是平行四边形（_）.（推理依据）因为AB=AC，所以ABDC是菱形（_）.（推理依据） 图1
7、620.（7分）如图17，将正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到ABC.当两个三角形重叠部分为菱形时，量得AD=2，求原正方形ABCD的面积. 图1721.（8分）如图18，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AEBC交CB延长线于点E，CFAE交AD延长线于点F（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AE=4，AD=5，求OA的长图1822（8分）如图19，在ABC中，D是BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，CEAE，点F在边AB上，EFBC（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF，AB，AC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结
8、论 图1923.（10分）如图20，在ABC中， O是边AC上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交ACB的平分线于点E，交ABC的外角ACD的平分线于点F（1）探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由.（2）当点O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE （填“可能”或“不可能”）是菱形，请说明理由. 图20附加题（20分，不计入总分）连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线.如图，四边形ABCD中线段AC，BD就是四边形ABCD 的对角线，把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（1）概念理解：如图，在四边
9、形ABCD中，AB=AD，CB=CD，四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由. （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系.猜想结论：（要求用文字语言叙述）_.写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）.（3）问题解决：如图，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长. 题报第期 第十八章 平行四边形自我评估参考答案答案速览一、1. C 2. D 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. C 9. D 10. D二、11. 1
10、12. 对角线相等的平行四边形是矩形13. 15 14. 15. 1 16. 三、解答题见“答案详解”答案详解10. D 解析：取AC的中点O，过点O任意作直线，交直线m，n于点B，D，则四边形ABCD为平行四边形；过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则四边形ABCD为矩形；取AC的中点O，过点O作AC的垂线，交直线m，n于点B，D，则四边形ABCD为菱形；以AC为对角线作四边形ABCD，不一定为正方形.16. 解析：连接OP.因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，CAB=DAB=30.因为PEOA于点E，PFOB于点F，所以EOF=OEP=OFP=90.所以四边形OEP
11、F是矩形.所以EF=OP.当OPAB时，OP最小.因为AB=4，所以OB=AB=2，OA=.因为SABO=OAOB=ABOP，所以OP=.所以EF的最小值为.三、17. 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC，且AD=BC.所以AFEC. 因为BE=DF，所以AD-DF=BC-BE，即AF=EC. 所以四边形AECF是平行四边形.18. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，ADBC，BADBCD所以ADBCBD因为BAD，BCD的平分线分别交对角线BD于点E，F，所以EADBAD，FCBBCD，所以EADFCB在AED和CFB中，ADECBF，AD=CB，EAD=FCB，
12、所以AEDCFB（ASA）.所以AED=CFB.所以AECF.19. 解：（1）补全图形，如图1所示. 图1 （2）BO 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组邻边相等的平行四边形是菱形20. 解：因为四边形ABCD是正方形，所以D=90，DAC=ACD=45.设AB与AC交于点E，AC与DC交于点F.因为四边形AECF是菱形，所以AF=CF，AFEC，所以AFD=ACD=45.DAF=DAC=45.所以DF=AD=2.所以AF=.所以DC=DF+CF=.所以S正方形ABCD=DC2=.21.（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ADBC.因为CFAE，所以四边形AECF是平行四边形.因
13、为AEBC，所以AEC=90.所以AECF是矩形.（2）解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=AD=5，OA=OC.在RtABE中，BE=3.所以CE=BE+BC=3+5=8.所以AC=.所以OA=AC=.22. 解：（1）如图2，延长CE交AB于点G.因为AECE，所以AEGAEC90.在AEG和AEC中，GAECAE，AEAE，AEGAEC，所以AGEACE所以GEEC.又因为BDCD，所以DE是CGB的中位线，所以DEAB因为EFBC，所以四边形BDEF是平行四边形.图2（2）BF（AB-AC）.理由如下：由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形，DE是CGB的中位线，所以BF=
14、DE=BG.因为AGEACE，所以AG=AC.所以BF=（AB-AG）=（AB-AC）23. 解：（1）OEOF.理由如下：因为CE是ACB的平分线，所以ACEBCE.又因为MNBC，所以NECECB，所以NECACE，所以OEOC.同理可得OFOC，所以OEOF.（2）当点O运动到AC的中点，且ABC是以ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.理由如下：当点O运动到AC的中点时，AOCO.因为EOFO，所以四边形AECF是平行四边形.因为FOCO，所以AOCOEOFO，所以AO+COEO+FO，即ACEF.所以AECF是矩形.因为MNBC，当ACB90时，AOFCOECOFAOE
15、90.所以ACEF.所以矩形AECF是正方形.（3）不可能.理由如下：连接BF交CE于点G，因为CE平分ACB，CF平分ACD，所以ECFACB+ACD（ACB+ACD）90.若四边形BCFE是菱形，则BFEC，但在GFC中，不可能存在两个角为90，所以不存在其为菱形. 附加题解：（1）四边形ABCD是垂美四边形.理由如下：连接AC，BD交于点E，如图3-所示.因为AB=AD，所以点A在线段BD的垂直平分线上.因为CB=CD，所以点C在线段BD的垂直平分线上.所以AC是线段BD的垂直平分线.所以ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形. 图3（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等已知：如图3-，
16、在四边形ABCD中，ACBD，垂足为E.求证：AD2+BC2=AB2+CD2.证明：因为ACBD，所以AED=AEB=BEC=CED=90.由勾股定理，得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，所以AD2+BC2=AB2+CD2.（3）连接CG，BE，如图3-所示.因为四边形ACFG，ABDE是正方形，所以CAG=BAE=90，AG=AC，AB=AE.所以CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE.在GAB和CAE中，AG=AC，GAB=CAE，AB=AE，所以GABCAE（SAS）.所以ABG=AEC.又AEC+AME=90，所以ABG+AME=90.因为AME=BMN，所以ABG+BMN=90 ，即CEBG.所以四边形CGEB是垂美四边形.由（2），得CG2+BE2=CB2+GE2.因为AC=4，AB=5，所以BC=3，CG2=32，BE2=50.所以GE2=CG2+BE2CB2=73.所以GE=.
