1、1 1 1 1. .3 3 组组合合 【基础梳理】 【典型例题】 题题型型一一 组组合合数数及及其其运运用用 【例 1】 （1） （2020浙江高三专题练习）已知 2 33 0!4 m AC,则m（） A0B1C2或 3D3 （2） （2019广东高二期末（理） ） 01218 34521 CCCC的值等于（） A7351B7355C7513D7315 （3） （2019上海财经大学附属北郊高级中学高二期末）满足方程 22 1717 xx CC 的解为_ (4)设k，n N，且 2n ，求证： 1 1 kk nn kCnC ； 2 2 (5)求满足 12 12 100 n nnn n CCC
2、nnn 的正整数n的最大值； 【答案】 （1）C（2）D（3）2x 或5x ,(4)略；(5)7 【解析】 （1） 2 33 0!4 m AC 3 6 m A当2m 时成立；当3m 时也成立； 故选：C. （2）原式等于 43334 4452122 7315CCCCC，故选 D. （3）因为 22 1717 xx CC ,所以根据组合数的性质可得22xx或2217xx, 解得2x 或5x ,经检验均符合题意.故答案为:2x 或5x . （4） ! ! !1 ! k n nn kCk nkknkk 1 1 1 ! 11 !1 !1 ! k n nn nCn nkknkk 当2n 时， 1 1 k
3、k nn kCnC （5） 12 12 100 n nnn n CCC nnn ，即： 12 2100 n nnn CCnCn 又 12012211 11111 22 nnnn nnnnnnnn CCnCnCnCnCnCnCn 1 2100 n nn ，即 1 2100 n 又n为正整数7n，即正整数n的最大值为：7 【举一反三】 1 （2019云南省泸西县第一中学高二期中（理） ）若 22 1 3 nn AC ，则n的值为（） A4B5C6D7 【答案】C 【解析】因为 22 1 3 nn AC ，所以 3(1)(2) (1) 2 nn n n ，即6n 故选：C 2 （2019上海高二期末
4、）已知n，*mN，nm，下面哪一个等式是恒成立的（） A ! ! m n n C m B ! ()! Am n n nm C 11 1 mmm nnn CCC D 11 1 mmm nnn CCC 【答案】B 3 3 【解析】由组合数的定义可知 ! ! m n n C m nm ，A 选项错误； 由排列数的定义可知 ! ! m n A n nm ，B 选项正确； 由组合数的性质可知 11 1 rrr nnn CCC ，则 C、D 选项均错误.故选 B. 3 （2019上海市延安中学高二期末）计算： 0122018 1232019 CCCCL_ 【答案】2039190 【解析】 11 1 ,1
5、kkk nnn CCCnNkN kn ， 012201801220181220182018 123201922320193320192020 CCCCCCCCCCCCLL2039190. 故答案为：2039190. 4 （2019林芝市第二高级中学高二期末（理） ）若C? ? ? C? ?，则 x 的值为_ 【答案】3 或 4 【解析】由组合数的公式和性质得x2x3，或x+2x39， 得x3 或x4，经检验x3 或x4 都成立，故答案为：3 或 4. 5 （2017湖北省松滋市第一中学高二课时练习） （1）已知 53 13 3 3 4 3 5 nn n CC C ，求n的值. （2）已知 2
6、11 , 11 , 3 xx nn xx nn CC CC 求 , x n的值. 【答案】 （1）9n （2）5x ，15n 【解析】 （1）原方程化为 5 1 3 3 4 13 5 n n C C ，变形得 53 13 514 nn CC ，展开可得： 12345345 5 4 3 2 13 2 1 nnnnnnnn 解得1256nn即 n 2-3n-54=0， 解 得9n 或6n （舍去）. （2） 0,10,10xxx ， 1x ， 由 2xn xx nnn CCC ， 2nxx，3nx， 由 11 11 3 xx nn CC ， 得31111nxnxxx将3nx代入得5x ，则15n
7、. 4 4 题题型型二二 组组合合概概念念的的判判断断 【例 2】给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选 2 名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选 2 名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (5)某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题
8、？哪些是排列问题？ 【答案】见解析 【解析】(1)2 名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题 (2)2 名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题 (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题 (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题 (5)命中的 4 枪均为 2 枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题 (6)命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，即连中 3 枪和单中 1 枪，有顺序，是排列问题 【举一反三】 1下列问题不是组合问题的是() A10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B平面上有 2015 个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以
9、构成多少条线段？ C集合a1，a2，a3，an的含有三个元素的子集有多少个？ D从高三(19)班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【解析】组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的 2 名学生，如甲、乙，其中“甲参 加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问 题，选 D. 题题型型三三 组组合合的的运运用用- - -有有限限制制条条件件 【例 3】 （2020全国高三专题练习）某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3
10、 种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 5 5 (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 【答案】 （1）561； （2）5984； （3）2100； （4）2555； （5）6090. 【解析】 （1）从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 2 34 34 33 561 2 C (种)， 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种. （2）从余下的 34 种可选商品中，选取 3 种，有 3 34 34 33
11、32 5984 3 2 1 C (种). 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种. （3）从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 12 2015 15 14 202100 2 1 C C (种). 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种. （4）选取 2 种假货有 12 2015 15 14 202100 2 1 C C 种，选取 3 种假货 3 15 15 14 13 455 3 2 1 C 种，共有选 取方式 123 201515 21004552555C CC(种). 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. （5）选取 3 种
12、的总数为 3 35 35 34 33 6545 3 2 1 C ，选取 3 种假货有 3 15 15 14 13 455 3 2 1 C 种，因此共有 选取方式 33 3515 65454556090CC(种). 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种. 【思思路路总总结结】 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所 指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多” “至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不 重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 【举一反三】 1
13、 （2019西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中）男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,选派5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法. （1）任选5人 （2）男运动员3名,女运动员2名 （3）至少有1名女运动员 （4）队长至少有一人参加 6 6 （5）既要有队长,又要有女运动员 【答案】 （1）252（2）120（3）246（4）196（5）191 【解析】 （1）男运动员6名,女运动员4名,共10名 任选5人的选法为: 5 5 10 10 5 5 10 9 8 7 6 252 5 4 3 2 1 A C A 任选5人,共有252种选法. （2）选派男运动员3名,女运动员2名. 首
14、先选3名男运动员,有 3 6 C种选法,再选2名女运动员,有 2 4 C种选法根据分步计数乘法原理 选派男运动员3名,女运动员2名,共有 32 64 120CC种选法. （3）至少1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得有: 14233241 46464646 246CCCCCCCC. 至少有1名女运动员有246种选法. （4）只有男队长的选法为 4 8 C选法,只有女队长的选法为 4 8 C选法 又男、女队长都入选的选法为 3 8 C选法.共有 43 88 2196CC种选法. 队长至少有一人参加有:196种选法. （5）当有女队长,其他
15、人选法任意,共有 4 9 C种选法, 不选女队长时,必选男队长,共有 4 8 C种选法,选男队长且不含女运动员有 4 5 C种选法. 不选女队长时共有 44 85 CC种选法.既有队长又有女运动员共有: 444 985 191CCC种选法. 题型四 分组分配 【例 4-1】 （2019固镇县第一中学高二月考（理） ）按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配 方式? （1）分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; （3）平均分成三份,每份 2 本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本
16、; （5）分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; 7 7 【答案】 （1）60； （2）360； （3）15； （4）90； （5）15； （6）90. 【解析】 （1）先从 6 本书中选 1 本，有 1 6 C种分配方法； 再从剩余 5 本书中选择 2 本，有 2 5 C种分配方法，剩余的就是 2 本书，有 3 3 C种分配方法 所以总共有 123 653 60C C C 种分配方法 （2）由（1）可知分组后共有 60 种方法，分别分给甲乙丙后的方法有 1233 6533 360C C C A 种 （3）从 6 本书
17、中选择 2 本书，有 2 6 C种分配方法； 再从剩余 4 本书中选择 2 本书，有 2 4 C种分配方法；剩余的就是 2 本书，有 2 2 C种分配方法; 所以有 222 642 90C C C 种分配方法 但是， 该过程有重复 假如 6 本书分别为 A、 B、 C、 D、 E、 F， 若三个步骤分别选出的是 ,ABCDEF 则 所有情况为,AB CD EF，,AB EF CD，,CD AB EF，,CD EF AB，,EF AB CD， ,EF CD AB所以分配方式共有 222 642 3 3 15 C C C A 种 （4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
18、222 3 642 3 3 3 90 C C C A A 种 （5）从 6 本书中选 4 本书的方法有 4 6 C种，从剩余 2 本书中选 1 本书有 1 2 C种 因为在最后两本书选择中发生重复了 2 2 A，所以总共有 41 62 2 2 =15 C C A 种 （6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即 41 3 62 3 2 2 A =90 C C A 种 【例 4-2】将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数 (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子 【答案】 （1）10 （2）40 （3）30 8
19、 8 【解析】(1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5 个空隙中任 选 3 个空隙各插一块隔板，有 C 3 510(种) (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 2 个空隙各 插一块隔板，如|0|000|00|，有 C 2 5种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如 |0|000|00|，有 C 1 4种插法，故共有 C 2 5C 1 440(种) (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行 先在首尾两球外侧放置一块隔板， 并在 5 个空隙中任选 1 个空隙各插一块隔板， 有 C 1 5种
20、插法， 如|00|0000|， 然后将剩下的两块隔板插入形成空盒 这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如|00|0000|，有 C 2 3种插法 将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 C 1 3种插法 故共有 C 1 5(C 2 3C 1 3)30(种) 【思思路路总总结结】 一不同元素的分组分配 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，mp，其中k组元素数 目相等，那么分组方法数是Cm 1nCm2nm1Cm3nm1m2Cmpmp A k k 二(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空 隙中插入了若干隔板
21、，相邻两块隔板形成一个“盒” 每一种插入隔板的方法对应着小球放入 盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题 (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)， 有 C m1 n1种方法 可描述为n1 个空中插入 m1 块板 【举一反三】 1（2018青海高二月考（理） ）按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; （3）平均分成三份,每份 2 本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; （5）分成三份,1
22、份 4 本,另外两份每份 1 本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; （7）甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. 【答案】 （1）60； （2）360； （3）15； （4）90； （5）15； （6）90； （7）30 9 9 【解析】 （1） 无序不均匀分组问题.先选1本有 1 6 C种选法;再从余下的5本中选2本有 2 5 C种选法;最后余下的 3本全选有 3 3 C种选法.故共有 123 653 60C C C (种)选法. （2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有 1233 6533 360C C
23、C A . （3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是 222 642 C C C种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为 (AB,CD,EF),则 222 642 C C C种分法中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 3 3 A种 情况,而这 3 3 A种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 222 642 3 3 15 C C C A . （4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给
24、3个人,共有分配方式 222 3 642 3 3 3 90 C C C A A (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 411 621 2 2 15 C C C A (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式 411 3 621 3 2 2 90 C C C A A (种). （7）直接分配问题.甲选1本有 1 6 C种选法,乙从余下5本中选1本有 1 5 C种选法,余下4本留给丙有 4 4 C种选法, 共有 114 654 30C C C (种)选法. 2.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位
25、朋友 1 本，则不同 的赠送方法共有() A4 种B10 种 C18 种D20 种 【答案】B 【解析】由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析又由于排 列、组合针对的是不同的元素，应从 4 位朋友中进行选取 第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把 3 本相同的集邮册和 1 本画册分给 4 位朋友，只有 1 位朋友得 10 10 到画册即把 4 位朋友分成人数为 1,3 的两队，有 1 个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有 C 1 4种 分法 第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把 2 本相同的画册和 2 本相同的集邮册分给 4 位朋友，有 2 位 朋友
26、得到画册，即把 4 位朋友分成人数为 2,2 的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有 C 2 4种分法 因此，满足题意的赠送方法共有 C 1 4C 2 44610(种) 3 （2018黑龙江鹤岗一中高二月考（理） ）按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子； (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4)6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒. 【答案】 （1）4096（2）1560（3）10（4）2160 【解析】(1)4 64 096；
27、(2) 2211 34 6421 64 22 22 C C C C CA A A 1 560； (3) 2 4 C410；或 2 5 C10； (4) 222 32123 642 63154 3 3 C C C C C CCA A 2 160. 【强化训练】 1 （2020云南师大附中高三月考（理） ）在高中阶段，我们学习的数学教材有必修 15，选修 2 系列 3 册， 选修 4 系列 2 册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教 材的概率是（） A 1 3 B 2 9 C 5 9 D 1 5 【答案】B 【解析】“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为
28、 2 5 54 C10 2 ， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为 2 10 109 C45 2 ， 小明今晚复习的两本均是必修教材的概率 102 459 P ，故选：B 2 （2017上海华师大二附中高三期中）若组合数 7 76 5 3 2 1 m C ，则实数m_. 11 11 【答案】3或4 【解析】 34 777 7 6 57 6 5 4 3 2 17! 3 2 13 2 1 4 3 2 14! 3! m CCC ，所以，3m 或4. 故答案为：3或4. 3 （2019江苏启东中学高一期中）计算： 012341617 234561819 CCCCCCC_ 【答案】1140 【
29、解析】 012341617 234561819 CCCCCCC 2222222 234561819 CCCCCCC， 332 1nnn CCC ， 222233333333 2341934354201920 20 19 18 1140 3 2 CCCCCCCCCCCC ， 故答案为 1140 4 （2019上海高二期末）推广组合数公式，定义 11 ! m x x xxm C m L ，其中xR，m N ， 且规定 0 1 x C （1）求 3 15 C的值； （2）设0x ，当x为何值时，函数 3 2 1 x x C fx C 取得最小值？ 【答案】 （1）680； （2）当 2x 时， 3
30、2 1 x x C C 取得最小值. 【解析】 （1）由题中组合数的定义得 3 15 151617 680 3! C ； （2）由题中组合数的定义得 3 22 1 1212 3 66 x x x xxC f xx xx C 因为0x ，由基本不等式得 2 2 2x x ，当且仅当 2x 时，等号成立， 所以当 2x 时， 3 2 1 x x C C 取得最小值 5 （2019辽河油田第二高级中学高二期中（理） ）计算： （1） 2973 100100101 CCA （2） 333 3410 CCC. 12 12 【答案】 （1） 1 6 （2）330 【解析】 （1）原式 23333 1001
31、00101101101 CCACA 3 33 101 1013 3 3 1 1 6 A AA A . （2）原式 43333 4451051 4 0 CCCCCC 433434 6610101011 CCCCCC330 6 （2019湖北高二月考）10 双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取 4 只，求各有多少种情 况出现如下结果 （1）4 只袜子没有成双； （2）4 只袜子恰好成双； （3）4 只袜子 2 只成双，另两只不成双 【答案】 （1）3360； （2）45； （3）1440. 【解析】 （1） 44 102 3360C； （2） 2 10 45C； （3） 122 1092
32、 1440C C 7 （2019周口市中英文学校高二期末（理） ）一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球，从口袋中任取 5 个球 (1)共有多少种不同的取法？ (2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 【答案】 （1）56； （2）35； （3）21 【解析】 （1）从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法的种数是 53 88 8 7 6 56 3 2 1 CC （2）从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成: 第一步,从7个白球中任取4个白球,有 4 7 C种取法; 第二步,把1个红球取出,有 1 1 C种取法.故不同取
33、法的种数是: 4143 7177 35CCCC （3）从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球中任取5个白球即可, 不同取法的种数是 52 77 7 6 21 2 1 CC . 8 （2018海林市朝鲜族中学高二课时练习）将四个编号为 1,2,3,4 的小球放入四个编号为 1,2,3,4 的盒 子中. (1)有多少种放法? (2)若每盒至多一球,则有多少种放法? (3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法? 13 13 (4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法? 【答案】 （1）256； （2）24； （3）144； （4）8 【解析】(1)每个小球
34、都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有 444 4=4 4=256(种)放法. (2)这是全排列问题,共有 A4 4=24(种)放法. (3)先取四个球中的两个 “捆” 在一起,有 C4 2种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三 个盒子, 有 A4 3种投放方法,所以共有 C 4 2A 4 3=144(种)放法. (4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有 C4 1种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其 余三个球的投入方法有 2 种,故共有 C4 12=8(种)放法. 9 （2017天津高二期末（理） ）从 5 名男生和 4 名女生中选出
35、4 人去参加座谈会，问： (1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有多少种选法？ (3)如果 4 人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】 （1）30； （2）91 种； （3）120 种. 【解析】(1) 22 52 60CC； (2)方法 1：(间接法) 在 9 人选 4 人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为： 44 97 91CC(种)； 方法 2：(直接法) 甲在内乙不在内有 3 7 C种，乙在内甲不在内有 3 7 C种，甲、乙都在内有 2 7 C种，所以男生中的甲与女生中的
36、乙 至少有 1 人在内的选法共有： 32 77 291CC(种). (3)方法 1：(间接法) 在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为： 444 954 120CCC(种)；方法 2：(直接法) 分别按含男 1，2，3 人分类，得到符合条件的选法总数为： 132231 545454 120C CC CC C(种). 10 （1）计算： 59998 899100 CCC； 14 14 012345 555555 CCCCCC； 1 1 nn nn CC 的值； （2）某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种小张用 10 元
37、钱买杂志（每种至多买一本， 10 元钱刚好用完） ，则不同买法的种数是（用数字作答） 【答案】 （1）5006，32， 2 nn ； （2）266 【解析】 （1） 5999832 8991008100 8 7 6100 99 15649505006 3 2 12 1 CCCCC ； 01234501212 55555555565 5 4 222632 2 1 CCCCCCCCCCC （或原式 5 232 ） ； 111112 1 1 nnnnn nnnnnnn CCCCCCCnn （或原式 112 1 1 nn CCn nnn ） （2）10 元钱刚好用完有两种情况：5 种 2 元 1 本的
38、；4 种 2 元 1 本的和 2 种 1 元 1 本的 分 2 类完成：第 1 类，买 5 种 2 元 1 本的，有 5 8 C种不同买法； 第 2 类，买 4 种 2 元 1 本的和 2 种 1 元 1 本的，有 42 83 CC种不同买法， 故共有 542 883 266CCC种不同买法 11 （2019江西高安中学高二期中（理） ）如图，一个正方形花圃被分成 5 份. （1）若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿 4 种颜色不同 的花，求有多少种不同的种植方法? （2）若向这 5 个部分放入 7 个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同
39、的放法? 【答案】 （1）96； （2） 16800 【解析】 （1）先对 A 部分种植，有 4 种不同的种植方法；再对 B 部分种植，有 3 种不同的种植方法；对 C 部分种植进行分类： C 若与 B 相同，D 有 2 种不同的种植方法，E 有 2 种不同的种植方法，共有4 3 1 2 248 种； 15 15 C 若与 B 不同，C 有 2 种不同的种植方法，D 有 1 种不同的种植方法，E 有 2 种不同的种植方法，共有 4 3 2 1 248 种.综上，共有 96 种种植方法. （2）将 7 个盆栽分成 5 组，有 2 种分法： 若分成 2-2-1-1-1 的 5 组，有 22 15
40、2 2 C C A 种分法； 若分成 3-1-1-1-1 的 5 组，有 3 7 c种分法；将分好的 5 组全排列，对应 5 个部分， 则一共有 22 35 13 75 2 2 16800 C C CA A 种放法. 12 （2019北京高二期末）把 6 本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种 分法？（用数字作答） ()甲得 2 本； ()每人 2 本； ()有 1 人 4 本，其余两人各 1 本 【答案】 （）240 种（）90 种（）90 种 【解析】 （）根据题意，分 2 步进行分析： ，在 6 本书中任选 2 本，分给甲，有C6 215 种选法， ，将剩下的
41、4 本分给乙、丙，每本书都有 2 种分法，则有 222216 种分法， 则甲得 2 本的分法有 1516240 种； （）根据题意，分 2 步进行分析： ，将 6 本书平均分成 3 组，有 222 642 3 3 C C C A 15 种分组方法， ，将分好的 3 组全排列，分给甲乙丙三人，有A3 36 种情况， 则有 15690 种分法； （）根据题意，分 2 步进行分析： ，在 6 本书中任选 4 本，分给三人中 1 人，有C6 4C 3 145 种分法， ，将剩下的 2 本全排列，安排给剩下的 2 人，有A2 22 种情况， 则有 45290 种分法 16 16 13 （2019江西景德
42、镇一中高二期中（理） ）一次游戏有 10 个人参加，现将这 10 人分为 5 组，每组两人。 （1）若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？ （2）若这 10 人中有 5 名男生和 5 名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少种？ （3）若这 10 人恰为 5 对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？ 【答案】 （1）945； （2）120种； （3）45. 【解析】 （1）将 10 人平均分为 5 组共有 22222 108642 5 5 C C C C C A =945; （2）将 5 名男生视为 5 个不同的小盒，5 名女生视为 5 个
43、不同的小球，问题转化为将 5 个小球装入 5 个不 同的盒子，每盒一个球，共有 5 5 120A 种； （3）先任选一对夫妻有 1 5 C种，再将剩余 4 对夫妻分组，再将 4 个丈夫视为A，B，C，D四个小球，4 个妻 子分别视为 a，b，c，d 四个盒子， 则 4 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒一个球，且与自己的字母不同， 有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA，共有 9 种方法，故不同的分组方法有 1 5 C 945. 14按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 人; (2
44、)平均分成 3 个小组; (3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间. 【答案】 （1）13860； （2）5775； （3）34650. 【解析】(1)先从 12 个人中任选 2 个人作为一组,有 2 12 C种方法,再从余下的 10 人中任选 4 个人作为一组, 有 4 10 C种方法,最后余下的 6 人作为一组,有 6 6 C种方法,由分步乘法计数原理,共有 246 12106 C C C=13 860 种方 法. (2)平均分成 3 个小组,不同的分法有 444 1284 3 3 C C C A =5 775 种. (3)第一步:平均分三组,第二步:让三个小组分别进入三个不同车间
45、,故有 444 3444 1284 31284 3 3 C C C AC C C A =34 650 种不同的分法. 17 17 15 （2020全国高三专题练习）在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不 同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率. 【答案】(1) 1 40 (2) 9 10 (3) 3 4 【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么 3 3 24 54 1 40 A A P E C A ， 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 1 40 ； (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么 4 4 24 54 1 10 A C A P E ，所以甲、乙两人不在同 一岗位服务的概率是P(E)1P(E) 9 10 ； (3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率 23 53 24 54 2 1 4 C A C A P ，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P11 P
