1、1 1 1. .4 4 二二项项式式定定理理 【基础梳理】 【典型例题】 题题型型一一 二二项项式式定定理理公公式式运运用用 【例 1】(1)求 3x 1 x 4的展开式 （2）化简多项式(2x1) 55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1 的结果是( ) A(2x2) 5 B2x 5 C(2x1) 5 D32x 5 【答案】见解析 2 【解析】 （1） 方法一 3x 1 x 4(3 x) 4C1 4(3 x) 3 1 xC 2 4(3 x) 2 1 x 2C3 4(3 x) 1 x 3C4 4 1 x 481x2 108x5412 x 1 x 2. 方法二 3x 1 x
2、 4 3x1 x 41 x 2(13x) 41 x 2 1C 1 4 3xC 2 4(3x) 2C3 4(3x) 3C4 4(3x) 41 x 2(112x54x 2 108x 381x4)1 x 2 12 x 54108x81x 2. （2）原式(2x1)1 5(2x)532x5. 【举一反三】 1.化简：(2x1) 55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1. 【答案】32x 5 【解析】原式C 0 5(2x1) 5C1 5(2x1) 4C2 5(2x1) 3C3 5(2x1) 2C4 5(2x1)C 5 5(2x1) 0(2x1)15 (2x) 532x5. 2 （2
3、020全国高三专题练习）已知 012233 44414729 n nn nnnnn CCCCC ，则 123n nnnn CCCC（ ） A64B32 C63D31 【答案】C 【解析】根据二项式定理展开式的逆运算可知 012233 4441414 nn nn nnnnn CCCCC ，所以 6 147293 n 解得6n 所以 123606 22163 n nnnnn CCCCC 故选:C 312C 1 n4C 2 n8C 3 n(2) nCn n等于( ) A1B1C(1) n D3 n 【答案】C 【解析】逆用二项式定理，将 1 看成公式中的a，2 看成公式中的b，可得原式(12) n(
4、1)n. 题题型型二二 指指定定项项的的（二二项项式式）系系数数 【例 2】 （1） （2019吉林省实验高二期末（理） ）在二项式 5 2 1 x x 的展开式中，含 4 x的项的系数 是。 3 （2） （2020浙江高三专题练习）二项式 83 1 () 2 x x 的展开式的常数项是_ （3） （2019全国高三专题练习（理） ）在二项式 25 2 ()x x 的展开式中，x的系数为。 【答案】 （1）10（2）7 （3）-80 【解析】 （1） 5 2 1 x x 的展开项 5 5 2135 155 C1C kk k kkk k Txxx ， 令354k ，可得3k ， 55 3 3 5
5、5 1C1C10 k k 故选C （2）二项式 83 1 () 2 x x 的展开式的通项公式为 8 4 83 3 188 11 C ()()C 22 r rrrr r r Txx x , 令 84 0 3 r 得 2r = =，故所求的常数项为 2 8 2 1 C=7. 2 （3）由题意，二项式 25 2 ()x x 的展开式的通项为 2510 3 155 2 ()()( 2) rrrrrr r TCxC x x ， 令3r ，可得 33 45 ( 2)80TC xx ，即展开式中x的系数为80. 【举一反三】 1 （2019湖南高三月考（理） ） 6 1 x x 展开式中的常数项为_ 【答
6、案】15 【解析】 6 1 x x 展开式的通项为 6 3 6 6 22 1666 1 11 k k k k kk kkkk k CT x CCxxxx 当4k 时 3 4 6 4 4 2 56 115TCx 即 6 1 x x 展开式中的常数项为15故答案为：15 2 （2019全国高三（理） ） 24 2 ()x x 展开式中含 5 x的项的系数为（ ） A8B8 C4D4 【答案】B 【解析】由 4 2 2 x x 展开式的通项公式 4 2 14 2 k k k k Tx x = 8 3 4 2 k kk x ,0,1,2,3,4k , 4 令8 35k即1k , 4 2 2 x x 展
7、开式中含 5 x的项的系数为 1 1 4 28 .故选:B. 3 （2019上海高三月考）二项式 11 (31)x的二项展开式中第 3 项的二项式系数为_. 【答案】55 【解析】由题意n11，r2， 二项式（3x1） 11的二项展开式第 3 项的二项式系数为2 1111 r CC55，故答案为：55 题题型型三三 多多项项式式的的（二二项项式式）系系数数 【例 3】 （1） （2020重庆南开中学高三月考（理） ） 4 2 21xxx的展开式中x项的系数为（） A9B5 C7D8 （2） （2019重庆八中高三月考（理） ） 5 2xyxy的展开式中 33 x y的系数为（） A10B20C
8、 、30D40 【答案】 （1）A（2）C 【解析】 （1） 4 22444 21(1)(1)2(1)xxxxxx xx 4 (1)x二项展开式的通项公式 (4) 14 ( 1) rrr r TC x ， 24 (1)xx中不含x项,无需求解. 4 (1)x x中含x项,即当4r 时 (4 44 4 4) ( 1)x C xx 4 2(1)x中含x项,即当3r 时 (4 3)3 4 3 28( 1)C xx 4 2 21xxx的展开式中x项9x故选:A. （2） 5 051455 555 22+xyxyxyC xC x yC y， 故它的展开式中含 33 x y的项有的 333 5 C x y
9、和 233 5 2C x y 故 33 x y的系数为 32 55 230CC，故选：C 5 【思思路路总总结结】 对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； 对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题 必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求 解； 对于二项展开式中的整式项， 其通项公式中同一字母的指数应是非负整数， 求解方式与求有 理项一致 【举一反三】 1 （2020湖南高三期末（理） ） 5 1 (3)xx x 展开式中含x的项的系数为（） A-112B112C-513D513 【答案】C 【解
10、析】当项( 1) x x 出x时，5 个括号(3)x均出( 3)； 当项( 1) x x 出 1 x 时，5 个括号(3)x有 2 个出x，3 个出( 3)； 所以展开式中含x的项为： 505323 55 1 ( 3)( 3)513xC xC xx x . 所以含x的项的系数为513.故选：C. 2 （2020浙江高三专题练习） 6 2 1 11x x 展开式中 2 x的系数为（ ） A15B20C30D35 【答案】C 【解析】当 2 1 1 x 选择 1 时， 6 1x展开式选择 2 x的项为 22 6 C x 当（ 2 1 1 x 选择 2 1 x 时， 6 1x展开式选择 2 x的项为
11、 44 6 C x ， 所以（ 6 2 1 11x x 展开式中 2 x的系数为 24 66 30.CC故选 C. 3 （2019安徽省太和中学高二期末（理） ） 4 8 121 4 y x 的展开式中 22 x y的系数是（） 6 A58B62C52D42 【答案】D 【解析】 4 8 121 4 y x 的展开式中 22 x y的系数是 2 222 84 1 242 4 CC .选 D. 4 （2020浙江高三专题练习） 3 2xyxy的展开式中 3 x y的系数为_. 【答案】5 【解析】 由 3 2xyxy的展开式中 3 x y项为： 1203333 33 265xC xyyC xx
12、yx yx y， 所以 3 x y的 系数为5.故答案为：5. 题题型型四四 （二二项项式式）系系数数和和 【例 4-1】 （2019安徽省泗县第一中学高二月考（理） ）若 27 0127 7 ( )(12 )f xxaa xa xa x. 求： （1） 017 aaa； （2） 1357 aaaa； （3） 0127 aaaa. 【答案】 （1）27； （2）14； （3）27. 【解析】 （1）令1x ，可得 3 01235674 ( )3271faaaaaaaa， 40123567 27aaaaaaaa （2）令1x 可得 3 01235674 ( 1)( 1)faaaaaaaa ， 4
13、0123567 1aaaaaaaa 由得 1357 2()28aaaa， 1357 14aaaa （3）由题意得二项式 7 (1 2 ) x展开式的通项为 177 (2 )2 rrrrr r TCxC x ， 每项的系数0(0,1,2,7) i ai， 012350176472 27aaaaaaaaaaaa 【例 4-2】在二项式(2x3y) 9的展开式中，求： 7 (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和 【答案】见解析 【解析】设(2x3y) 9a 0x 9a 1x 8ya 2x 7y2a 9y 9. (1)二项式系数之和为 C 0 9C 1 9C 2 9C
14、9 92 9. (2)各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1，所以a0a1a2a9(23) 91. (3)令x1，y1，可得a0a1a2a95 9， 又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a85 91 2 ， 即所有奇数项系数之和为5 91 2 . 【思思路路总总结结】 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb) n，(ax2bxc)m(a， b，cR R，m，nN N *)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令x1 即可；对(axby) n(a，bR R，nN N*)的式子求其展开式各项系数之 和，只需令xy1 即可 (2)一般地，若f(x)a0a1
15、xa2x 2a nx n，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为a1a3a5f1f1 2 . 【举一反三】 1 （2019山东省日照实验高级中学高二月考）设 201322013 0122013 (1 2 )(R)xaa xa xaxx. （1）求 122013 aaa的值； （2）求 1352013 aaaa的值； （3）求 0122013 aaaa的值 【答案】 （1）-2；(2) 2013 1 3 2 ;(3) 2013 3 【解析】 （1）令0x ，得 0 1a . 8 令1x ，得 2013 0122013 ( 1)
16、+1aaaa . 122013 2aaa （2）令1x ，得 2013 01232013 3aaaaa. 与 式联立， - 得 2013 132013 21 3aaa ，所以 2013 132013 1 3 2 aaa （3） 2013 0120130122013 3aaaaaaa（令1x ） 2设(2 3x) 100a 0a1xa2x 2a 100x 100，求下列各式的值 (1)求a0； (2)a1a2a3a4a100； (3)a1a3a5a99； (4)(a0a2a100) 2(a 1a3a99) 2； (5)|a0|a1|a100|. 【答案】见解析 【解析】(1)令x0，则展开式为a
17、02 100. (2)令x1，可得a0a1a2a100(2 3) 100， 所以a1a2a100(2 3) 1002100. (3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2 3) 100. 与式联立相减得 a1a3a992 3 1002 3100 2 . (4)由可得，(a0a2a100) 2(a 1a3a99) 2(a 0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2 3) 100(2 3)1001. (5)|a0|a1|a100|，即(2 3x) 100的展开式中各项系数的和，在(2 3x)100的展开式中，令 x1， 可得各项系数的和为(2 3) 100. 题题型型五五 最最值值问问题题
18、 【例 5】 （2018上海市七宝中学高二期末）已知二项式 3 3 1 2 n x x 的展开式中，前三项系数的绝对值 成等差数列. （1）求正整数n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项. 9 【答案】 （1）8； （2） 35 8 ； （3） 4 3 7x . 【解析】 （1）二项式 3 3 1 2 n x x 展开式的通项为 2 3 3 3 11 22 r r nr n r rr nn CxCx x ， 由于展开式系数的绝对值成等差数列，则 102 11 2 24 nnn CCC，即 1 1 8 n n n ， 整理得 2 980nn ，2n Q，解得
19、8n ； （2）第1r 项的二项式系数为 8 r C，因此，第5项的二项式系数最大，此时，4r ； （3）由 1 1 88 1 1 88 11 22 11 22 rr rr rr rr CC CC ，得 2 8!8! ! 81 ! 7! 8!2 8! ! 81 ! 9! rrrr rrrr ！ ！ ， 整理得 228 92 rr rr ，解得23r，所以当2r = =或3时，项的系数最大. 因此，展开式中系数最大的项为 2 44 2 33 8 1 7 2 Cxx . 【思思路路总总结结】 (1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab) n中的 n进行讨论
20、当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的， 需要根据各项系数的正、 负变化情 况进行分析如求(abx) n(a，bR R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展 开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第k1 项最大，应用 AkAk1， AkAk1， 解出k，即 得出系数的最大项 【举一反三】 1 （2018上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）在 8 2 2 ()x x 的展开式中， （1）求展开式中所有的有理项； （2）展开式中系数的绝对值最大的项是第
21、几项？并求系数最大的项和系数最小的项 10 【答案】(1) 有理项有： 4 1 Tx, 1 3 112Tx, 6 5 1120Tx, 11 7 1792Tx； (2) 绝对值最大的项是第 6、7 项; 系数最大的项为 11 7 1792Tx,系数最小的项为 17 2 6 1792Tx 【解析】(1)由题 8 2 2 ()x x 展开式中的第r项 5 8 4 2 188 2 2 ( 1)2 r r r rrrr r TCxCx x . 即 5 4 2 18 ( 1)2 r rrr r TCx .故当 5 4 2 r为整数时为有理项.故当0,2,4,6,8r 时成立, 分别为 0044 18 2T
22、Cxx, 224 51 38 2112TCxx , 444 106 58 21120TCxx , 664 1511 78 2=1792TCxx . 即 4 1 Tx, 1 3 112Tx, 6 5 1120Tx, 11 7 1792Tx (2)由 5 4 2 18 ( 1)2 r rrr r TCx 知,当系数的绝对值最大的项即 8 2 rr C 最大. 故 11 88 11 88 12 22 81 56 2122 9 rrrr rrrr CC rr r CC rr . 故绝对值最大的项是第 6、7 项. 其中系数最大的项为 664 1511 78 2=1792TCxx , 系数最小的项为 1
23、717 55 22 68 2= 1792TCxx 2 （2019北京大学附属中学新疆分校高二期中（理） ）已知 1 (2 ) 4 n x的展开式前三项的三项式系数的和 等于 37 ，求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数 （2）展开式中系数最大的项 【答案】(1) 35 8 (2) 87 8 2Tx, 88 9 2Tx. 【解析】 （1）由 1 (2 ) 4 n x的展开式前三项的三项式系数的和等于 37， 即 012 37 nnn CCC，解得8n ，即二项式 8 1 (2 ) 4 x， 所以展开式中第 5 项的二项式系数最大， 11 因此由 4 44444 58 17035 2 41
24、68 TCxxx 可知此项的系数为 35 8 . （2）设二项展开式的第r项的系数最大，则 89 11 88 87 11 88 11 22 44 11 22 44 rr rrrr rr rrrr CC CC ，解得78r， 所以展开式中系数最大的项为第 8 项及第 9 项， 即 1 77787 88 1 22 4 TCxx ， 0 88888 98 1 22 4 TCxx . 题题型型六六 二二项项式式定定理理运运用用 【例 6】 （1） （2019江西高二月考（理） ） 12233 101010 1909090CCC-+-+ 1010 10 90 C+除以 88 的余数是 （ ） A1B1C
25、87D87 （2） （2020浙江高三专题练习） 7 1.95的计算结果精确到个位的近似值为（） A106B107C108D109 【答案】 （1）B （2）B 【解析】 （1） 12233 101010 1909090CCC-+-+ 1010 10 90 C+ 1010 1 901 88 12233 101010 1 888888CCC 1010 10 88 C+ 123 101010 2 1 88(8888CCC 910 10 88)C+, 所以 12233 101010 1909090CCC-+-+ 1010 10 90 C+除以 88 的余数是 1，故选:B. （2） 7 771625
26、2 77 1.9520.05220.0520.05CC107.28， 7 1.95107 .故选：B 【举一反三】 1 （2019云南高三月考（理） ）若 17 17(,04)a aZa能被 3 整除，则a=（） A0B1C2D3 【答案】B 12 【解析】因为 17171711616 1717 17 +(18 1)181818 1aaCCa ，由已知可得：1a . 故选：B 2 （2020浙江高三专题练习） 11 2 除以 9 的余数为_； 【答案】5 【解析】由题意得： 3 11322 2829 12 323 22032122223 3333 9 122929129121CCCC 11 2
27、 除以9的余数为： 23 3 925C本题正确结果：5 题题型型七七 杨杨辉辉三三角角 【例 7】 （2019江西南昌二中高二期末） “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三 角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为 1 的项，依此构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， 则此数列的前 46 项和为_. 【答案】2037 【解析】由题意可知，n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n行 则“杨辉三角”第1n行各项之和为：2n 第1n行去掉所有为1的项的各项之和为：2 2 n 从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4, 则：12345
28、678945 ，即至第11行结束，数列共有45项 第46项为第12行第1个不为1的数，即为： 1 11 11C 前46项的和为： 12310 22222222 112037 本题正确结果：2037 【举一反三】 1（2019河北高三月考（理） ）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法 （1261 年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开 13 式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3， 1，1，4，6，4，1记作数列 n a，若数列 n a的前 n 项和为 n S
29、，则 47 S（） A265B521C1034D2059 【答案】B 【解析】根据题意杨辉三角前 9 行共有12345678945 故前 47 项的和为杨辉三角前 9 行的和再加第 10 行的前两个数 1 和 9， 所以前 47 项的和 47 S 0128 22221 9 9 21 1 9521 故选 B 项. 2如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形” ，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的 数均为1 n(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如： 1 1 1 2 1 2， 1 2 1 3 1 6， 1 3 1 4 1 12，则第 n(n 3)行第 3 个数字是_ 【答案】
30、2 nn1n2(nN *，n3) 【解析】杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三 角形 杨辉三角形中第n(n3)行第 3 个数字是nC 2 n1， 则 “莱布尼茨调和三角形” 第n(n3)行第 3 个数字是 1 nC 2 n1 2 nn1n2. 14 【强化训练】 1 （2019四川高三月考（理） ） 6 2 2 x x 的展开式中，常数项为 A60B15 C15D60 【答案】D 【解析】 6 2 2 x x 的展开式的通项为 66 3 166 2 2 2 r r rrrr r TC xC x x ， 令630r，得到2r = =所以 6 2 2
31、x x 展开式中常数项为 2 2 6 260C，故选 D 项. 2 （2020浙江高三专题练习） （1+2x 2 ） （1+x） 4的展开式中 x 3的系数为 A12B16C20D24 【答案】A 【解析】由题意得x 3的系数为31 44 24812CC，故选 A 3 （2019广西高三月考（理） ） 6 22 2abab的展开式中 44 a b的系数为（ ） A320B300C280D260 【答案】B 【解析】 6 2ab展开式的通项为： 66 166 22 rr rrrrr r TC abC ab ， 则： 4 46 4424 56 2240TC aba b ， 2 26 2242 36
32、 260TC aba b ， 据此可得： 44 a b的系数为24060300 .本题选择 B 选项. 4 （2019全国高三（理） ） 24 2 ()x x 展开式中含 5 x的项的系数为（ ） A8B8 C4D4 【答案】B 【解析】由 4 2 2 x x 展开式的通项公式 4 2 14 2 k k k k Tx x = 8 3 4 2 k kk x ,0,1,2,3,4k , 15 令8 35k即1k , 4 2 2 x x 展开式中含 5 x的项的系数为 1 1 4 28 .故选:B. 5 （2019河北高二期末（理） ） 5 4 2 1 2xx x 的展开式中含 5 x项的系数为（
33、） A160B210C120D252 【答案】D 【解析】 510 42 2 11 2xxx xx ， 10 220 3 11010 1 CC r r rrr r Txx x ，当=5r时， 555 610 C252Txx.故选 D. 6 （2019福建高二期末（理） ） 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为（） A30B15C0D-15 【答案】C 【解析】 6 (1) x的展开式的通项公式为 16 rr r TCx ， 故 6 (1) x中函数含 2 x项的系数是 2 6 C和 4 x项的系数是 4 6 C 所以 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为
34、 2 6 C- 4 6 C=0 7 （2020湖南高三期末（理） ） 6 3 1 2 4 x x 的展开式的中间项为（） A-40B 2 40x C40D 2 40x 【答案】B 【解析】 6 3 1 2 4 x x 的展开式的通项为 6 16 3 1 2 4 k k k k TCx x 则中间项为 3 1 33 332 3 3 46 3 11 (2 )20 240 44 TxxCx x .故选：B. 8 （2020全国高三专题练习）若 10 2 1 xax x 的展开式中 6 x的系数为30，则a等于（ ） A 1 3 B 1 2 C1D2 【答案】D 16 【解析】将题中所给式子可化为 1
35、01010 22 111 xaxxxa x xxx 根据二项式定理展开式通项为 1 Cr n rr rn Tab , 10 1 x x 的通项为 1010 2 11010 1 r rrrr r TCxCx x 令1024r解得3r ，所以 6 x的项为 2346 10 120xCxx 令1026r解得2r = = 所以 6 x 的项为 266 10 45a Cxax ，综上可知, 6 x的系数为1204530a 解得2a 故选:D 9 （2020全国高三专题练习）已知 012233 2222729 nn nnnnn CCCCC ，则 123n nnnn CCCC（ ） A63B64C31D32
36、 【答案】A 【解析】根据二项式定理展开式的逆运算可知 012233 222212 n nn nnnnn CCCCC 所以 6 37293 n 所以6n 则 123606 22163 n nnnnn CCCCC 故选:A 10 （2020全国高三专题练习）设 i 为虚数单位，则(xi) 6的展开式中含 x 4的项为( ) A15x 4 B15x 4 C20ix 4 D20ix 4 【答案】A 【解析】二项式?狘 ?的展开式的通项为? ? ?狘?垰?，令 ? 垰 ? ? ?，则 ? ? ，故展开式中含狘?的项为 ? 狘? ?垰 ?狘?，故选 A. 11 （2020全国高三专题练习）已知 7 1
37、x x 的展开式的第4项等于5，则x等于（） A 1 7 B 1 7 C7D7 【答案】B 【解析】根据二项式定理展开式通项为 1 Cr n rr rn Tab 所以第 4 项为 3 3 4 3 17 1 5TC x x 即 4 3 7 6 51 355 3 2 1 xx x 解得 1 7 x 故选:B 17 12 （2020全国高三专题练习） 5 2345 012345 1 3+=+xaa x a xa xa xa x ，求 012345 +=+aaaaaa（） A1024B243C32D24 【答案】A 【解析】根据二项式定理展开可得 012345 55555 45 5 523 1 3+=
38、CC3+C3C3C3+C3xxxxxx 则 0 1a , 1 15 315aC ,2 2 25 390aC , 3 3 35 3270aC 4 4 45 3405aC , 5 5 55 3243aC 所以 012345 +aaaaaa+270 + 4115905 +02431024 故选:A 13 （2020内蒙古高三期末（理） ）二项式 6 2 1 0mxm x 的展开式中常数项为 60，则m（） A 2 B 3 C2D3 【答案】A 【解析】通项 6 266 3 166 11 rrr rrrrr r TCmxxC mx ,0,1,2,3,4,5,6r , 令630r，得63r，得2r =
39、=， 所以 26 22 6 ( 1)C m 24 6 60C m ，即故 2m ，故选：A. 14 （2020浙江高三专题练习）设，且，若能被 13 整除，则 A0B1 C11D12 【答案】D 【解析】由于 51=52-1，, 又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0a13,所以 a=12 选 D. 15 （2019山西高二期末（理） ） 13 1x的展开式中，系数最小的项为（） A第 6 项B第 7 项C第 8 项D第 9 项 18 【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为 11313 ()( 1) rrrrr r TCxC x ，其系数为 13 ( 1)r r C，当r为
40、奇数 时展开式中项的系数 13 ( 1)r r C最小，则7r ，即第 8 项的系数最小，应选答案 C。 16 （2019辽河油田第二高级中学高二期末）设 525 0125 (2)xaa xa xa x，那么 024 135 aaa aaa 的值 为（） A 244 241 B 122 121 C 61 60 D-1 【答案】B 【解析】由 525 0125 (2)xaa xa xa x， 令1x 得： 5 012534 (21)aaaaaa， 令1x 得： 5 053412 2( 1)aaaaaa， 联立得： 024 1243 122 2 aaa ， 153 1243 121 2 aaa ， 即 024 135 aaa aaa 122 121 ，故选：B. 17 （2019陕西高考模拟（文） ）我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图 所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 1 2n， 若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前 15 项和为（） A110B114C124D
