1、 高三文科数学 第 1 页 共 4 页 唐山市 20192020 学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知集合 A1，0，1，2，Bx| |x22x0，则 AB 中元素的个数
2、是 A1 B2 C3 D4 2设 i 是虚数单位，复数 z2i 3i，则 z 在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的 基本指标2010 年第六次全国人口普查资料表 明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活 水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步 完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民 整体健康水平有较大幅度的提高右图体现了 我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列 结论错误的是 A男性的平均预期寿命逐渐延长 B女性的平均预期寿命逐渐延长 C男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性 D女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
3、 4已知向量 a，b 满足|ab|b|，且|a|2，则 ab A2 B1 C1 D2 5设 sin( 4) 1 3，则 sin2 A 1 9 B 7 9 C 1 9 D 7 9 6 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆窖周五丈四尺，深 一丈八尺，问受粟几何？”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求 此容器能放多少斛米” （古制 1 丈10 尺，1 斛1.62 立方尺，圆周率 3） ，则该圆柱形容器 能放米 A900 斛 B2700 斛 C3600 斛 D10800 斛 7已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a2b2m，a3b3n，若
4、m，n 为正数，且 mn， 则 Aa1b1 Ba1b1 Ca1b1 Da1，b1的大小关系不确定 8抛物线 x22py（p0）上一点 A 到其准线和坐标原点的距离都为 3，则 p A8 B6 C4 D2 9函数 f(x)tanxx2在( 2， 2)上的图象大致为 10 设函数 f(x)sin(x2 3 )，则下列说法错误 的是 Af(x)的图象关于点( 3，0)对称 Bf(x)的图象关于直线 x 6对称 Cf(x)在0， 3上单调递减 Df(x)在 3，0上的最大值为 1 11已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA底面 ABCD，且 ABAD1，BCCD 2，若球 O 的表
5、面积为 36，则 PA A2 B 6 C 31 D 33 12已知 F 是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MFx 轴，过 F 作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点） ， 若 MNON，则双曲线 C 的离心率是 A2 B 3 C 6 2 D2 3 3 O x y A O x y C O x y D B 高三文科数学 第 2 页 共 4 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 x，y 满足约束条件 xy10， xy30， x3y10， 则 z2xy 的最小值为_ 14曲线 f(x
6、)ex2sinx1 在点(0，f(0)处的切线方程为_ 15在数列an中，已知 a11，an1antn（nN*，t 为非零常数） ，且 a1，a2，a3成等比数列， 则 an_ 16已知 f(x)a( 1 x 2x)lnx，f(x)有极大值 f(x1)和极小值 f(x2)，则 a 的取值范围是 _；f(x1)f(x2)_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分 ） 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 某高校艺术学院 2019 级
7、表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人某电视 台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿 者 （1）分别写出各专业选出的志愿者人数； （2）将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所 有可能的结果，并求表演专业的志愿者 A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率 18 （12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2c 3asinCccosA （1）求角 A； （2）设 D 是 BC 边上一点，若ADB2 3 ，且 AD1，a3，求 b，c 19 （12
8、分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1的底面为等边三角形，且 AA1底面 ABC，AB2 2， A1A3，D，E 分别为 AC，A1C1的中点，点 F 在棱 CC1上，且 FC1 （1）证明：平面 BEF平面 BDF； （2）求点 D 到平面 BEF 的距离 20 （12 分） 已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 ） ，点 Q 在圆 O：x2y24 上，且| |PQ| |2， 设线段 PQ 的中点为 M （1）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限， 求直线 OM 的斜率； （2）当点 P 移动时，求点 M 的轨迹方程 21 （12 分） 已知 a0，函数 f(x)2
9、ax33(a21)x26ax2 （1）讨论 f(x)的单调性； （2）若 f(x)在 R 上仅有一个零点，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，圆 C：4sin，直线 l：cos2以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x 轴的正 半轴建立直角坐标系 （1）求圆 C 的参数方程，直线 l 的直角坐标方程； （2）点 A 在圆 C 上，ABl 于 B，记OAB 的面积为 S，求 S 的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f(x)| |
10、xa| |2| |x1|1 （1）当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； （2）是否存在实数 a，使得函数 f(x)的图象与 x 轴有唯一的交点？若存在，求 a 的值；若不存 在，说明理由 y x M Q O P C1 B1 A1 F E D C B A 高三文科数学 第 3 页 共 4 页 唐山市 20192020 学年度高三年级第一次模拟考试 文科数学参考答案 一选择题： BACDD BACAB CD 二填空题： 132 14y3x 15n 2n2 2 16(0， 2 4 )，ln2 三解答题： 17解： （1）表演专业 3 人，播音主持专业 1 人，影视编导专业 2 人 6 分 （
11、2）设表演专业的 3 位志愿者为 A，B，C；播音主持专业的志愿者为 D；影视编导专业的志愿 者为 E，F则符合条件的所有可能结果有以下 6 种： A，D，B，E，C，F； A，D，C，E，B，F； B，D，A，E，C，F； B，D，C，E，A，F； C，D，A，E，B，F； C，D，B，E，A，F 9 分 其中 A 与 D 分在一组的情况恰有 2 种，设所求事件为 M，则 P(M) 2 6 1 3 12 分 18解： （1）由正弦定理，得 asinCcsinA， 所以 2c 3csinAccosA，从而 3sinAcosA2， 即 sin(A 6)1，因为 A(0，)，所以 A 2 3 5
12、分 （2）因为 SABC 1 2bc sinA 1 2aADsin 2 3 ， 所以 bca3 在ABC 中，由余弦定理得 b2c2bca2， 所以(bc)293bc0，所以 bc 故 bc 3 12 分 19解： （1）因为 A1A平面 ABC，所以 A1ABD， 因为ABC 为等边三角形，D 为 AC 的中点，所以 BDAC 又 A1AACA，所以 BD平面 ACC1A1， 所以 BDEF 在DEF 中，DE3，EF 6，DF 3， 满足 DE2DF2EF2，所以 EFDF， 又 BDDFD，所以 EF平面 BDF 又因为 EF平面 BEF，所以平面 BEF平面 BDF6 分 （2）作 D
13、MBF，垂足为 M， 由（1）可知平面 BEF平面 BDF，DM平面 BEF， 平面 BEF平面 BDFBF，所以 DM平面 BEF， 所以 DM 即为点 D 到平面 BEF 的距离 9 分 在BDF 中，BD 6，DF 3，BF3，满足 BF2DF2BD2，所以 BDDF， 故 DMBDDF BF 2， 即点 D 到平面 BEF 的距离为 2 12 分 20解： （1）连接 OQ，当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，则 OQ PQ，又| |OQ| | |PQ| |2， 则| |OP| |2 2，又点 Q 在第一象限， 得 P (2 2，0)，Q( 2， 2) 由 M 为 PQ 的中点，得
14、M (3 2 2 ， 2 2 )， 所以直线 OM 的斜率为 1 3 6 分 （2）设 M(x，y)(x0)，由| |OQ| | |PQ| |2，由 M 为 PQ 的中点， 得 P(4x 3 ，0)，则 Q(2x 3 ，2y)， 把 Q(2x 3 ，2y)代入 x2y24，整理得x 2 9y 21， 所以点 M 的轨迹方程为x 2 9y 21(x0) 12 分 21解： （1）f(x)6ax26(a21)x6a6(xa)(ax1)， f(x)0 时，xa 或 x 1 a 2 分 当 0a1 时， 1 aa， 所以 xa 或 x 1 a时，f(x)0， 从而 f(x)在(，a)，( 1 a，)上
15、单调递增； 当 ax 1 a时，f(x)0， 从而 f(x)在(a， 1 a)上单调递减 当 a1 时， 1 aa1， 所以 f(x)0，从而 f(x)在 R 上单调递增 当 a1 时，a 1 a， 所以 x 1 a或 xa 时，f(x)0， M C1 B1 A1 F E D C B A y x M Q O P 高三文科数学 第 4 页 共 4 页 从而 f(x)在(， 1 a)，(a，)上单调递增； 当 1 axa 时，f(x)0， 从而 f(x)在( 1 a，a)上单调递减 8 分 （2）f(a)a43a22(a21)(2a2)；f( 1 a)1 1 a2 由（1）得， 当 0a1 时，f
16、(a)0，f( 1 a)0， 所以 f(x)仅在( 1 a，)上有一个零点， 因此 0a1 时成立 当 a1 时，f(1)0，所以 f(x)在 R 上仅有一个零点 1 当 a1 时，f( 1 a)0，所以要满足题设须有 f(a)0， 从而 2a20，解得 1a 2 因此 1a 2时成立 综上满足题目条件的 a 的取值范围是（0， 2） 12 分 22解： （1）由题意得 xcos，所以 l：x2， 又 2x2y2，ysin，所以 C：x2(y2)24， 从而 C 的参数方程为 x2cos， y22sin，（ 为参数） 4 分 （2）设 A(2cos，22sin)，02，则 B(2，22sin)
17、 所以 S2(1cos)(1sin) 2sin2cos2cossin2 (sincos)22(sincos)1 (sincos1)2 2sin( 4)1 2 当 4 2，即 3 4 时，S 取得最大值 32 2 10 分 23解： （1）当 a1 时，f(x)0 化为| |x1| |2| |x1| |10 当 x1 时，不等式化为 x40，无解； 当1x1 时，不等式化为 3x20，解得 2 3x1； 当 x1 时，不等式化为x20，解得 1x2 所以 f(x)1 的解集为x| | 2 3x2 4 分 （2）存在 若 a1，则 f(x) xa3， xa， 3xa3，ax1， xa1，x1 此时 f(x)的最大值 f(1)a，所以 a0 时满足题设 若 a1，则 f(x) xa3， x1， 3xa1，1xa， xa1，xa 此时 f(x)的最大值 f(1)a2，所以 a2 时满足题设 若 a1，则 f(x)| |x1| |10，所以 a1 时不满足题设 综上所述，存在实数 a0 或 a2 满足题设 10 分
