1、 中考数学（山东专用）第八章 专题拓展8.3几何变换综合问题1.(2020福建,24,12分)如图,ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到,且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.(1)求BDE的度数;(2)F是EC延长线上的点,且CDF=DAC.判断DF和PF的数量关系,并证明;求证:=.EPPFPCCF解析解析本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想.(1)由旋转的性质可知,AB=AD,BAD=90,ABC ADE,在RtABD中,B=AD
2、B=45,ADE=B=45,BDE=ADB+ADE=90.(2)DF=PF.证明:由旋转的性质可知,AC=AE,CAE=90,在RtACE中,ACE=AEC=45,CDF=CAD,ACE=ADB=45,ADB+CDF=ACE+CAD,即FPD=FDP,DF=PF.证明:过点P作PHED交DF于点H,HPF=DEP,=,DPF=ADE+DEP=45+DEP,DPF=ACE+DAC=45+DAC,DEP=DAC,又CDF=DAC,DEP=CDF,HPF=CDF,又FD=FP,F=F,HPF CDF,HF=CF,DH=PC,EPPFDHHF又=,=.说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.EPPFDH
3、HFEPPFPCCF一题多解一题多解(2)设5=6=,由(1)知A、C、D、E四点共圆,1=2.又AC=AE,CAE=90,3=2=45,1=2=45,PDF=1+5=45+,DPF=3+6=45+,PDF=DPF,PF=DF.证法一:EPD=APC,EDP=45=ACP,DEP=CAP,又FDC=CAD,DEP=FDC,在FDC和FED中,FDC=DEP,CFD=DFE,FDCFED,=,=,又DF=PF,=,=.证法二:A、C、D、E四点共圆,4=6.又5=6,4=5,又F是公共角,DEFCDF,=,FEFDFDFC-FE FDFD-FD FCFCEPFDPCFCEPPFPCCFEFDFD
4、FCF=,=,=.EFPFPFCF-EF PFPF-PF CFCFPEPFPCCF2.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为O的两条直径,连接AB,BC,OEAB于点E,点F是半径OC的中点,连接EF.(1)设O的半径为1,若BAC=30,求线段EF的长;(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P.求证:PE=PF;若DF=EF,求BAC的度数.解析解析(1)因为OEAB,BAC=30,OA=1,所以AOE=60,OE=OA=,AE=.又因为点F是半径OC的中点,所以OF=OC=,所以OE=OF,所以OFE=AOE=30,所以BAC=OFE.所以EF=AE,所以EF=.(2)
5、作FGAB于点G,与BO交于点H,连接EH.证明:因为AC为O的直径,所以ABC=90,所以FGBC,所以OFHOCB,12123212121232所以=,同理=,所以FH=OE.又因为FHOE,所以四边形OEHF是平行四边形,所以PE=PF.因为OEFGBC,FHBCOFOC12OEBC12所以=1,所以EG=GB,所以EF=BF.因为DF=EF,所以DF=BF.因为DO=BO,所以FOBD.所以AOB是等腰直角三角形,所以BAC=45.EGGBOFFC思路分析思路分析(1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求出EF的值.(2)过点F作FGAB于点G,交BD于点H,连接EH.由FGB
6、C,OEBC推得FH=OE,判断出四边形OEHF是平行四边形,又由平行四边形的对角线互相平分,得PE=PF.根据平行线分线段成比例,可知G是EB的中点,即EG=GB.由FGAB,EG=GB可知EF=BF,故DF=BF.因为O是BD的中点,根据等腰三角形的性质可得FO与BD互相垂直,即可求出BAC.3.(2019辽宁铁岭,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且GEF+BAC=180.(1)如图1,当B=45时,线段AG和CF的数量关系是 ;(2)如图2,当B=30时,猜想线段A
7、G和CF的数量关系,并加以证明;(3)若AB=6,DG=1,cos B=,请直接写出CF的长.34解析解析(1)如图1,连接AE,DE垂直平分AB,AE=BE,BAE=B=45,AEBC,AB=AC,BE=EC=AE,BAE=EAC=C=45,GEF+BAC=180,AGE+AFE=360-180=180,AFE+CFE=180,AGE=CFE,GAE=C=45,AEG CEF(AAS),AG=CF.故答案为AG=CF.(2)AG=CF.理由:如图2,连接AE,12AB=AC,B=C=30,BAC=120,DE垂直平分AB,AE=BE,BAE=B=30,CAE=90,BAE=C,GEF+BAC
8、=180,AGE+AFE=180,CFE+AFE=180,AGE=CFE,AGECFE,=,在RtACE中,C=30,=sin C=,=,AG=CF.(3)当G在DA上时,如图3,连接AE,DE垂直平分AB,AGCFAECEAECE12AGCF1212AD=BD=3,AE=BE,cos B=,BE=4,AE=BE=4,BAE=B,AB=AC,B=C,C=BAE,GEF+BAC=180,AGE+AFE=360-180=180,AFE+CFE=180,BDBEcosBDB334CFE=AGE,CFEAGE,=,过A作AHBC于点H,cos B=,BH=AB=6=,AB=AC,BC=2BH=9,BE
9、=4,CE=9-4=5,AG=AD-DG=3-1=2,CFAGCEAEBHAB34343492=,CF=2.5.当点G在BD上时,如图4,同(1)可得,CFEAGE,=,AG=AD+DG=3+1=4,=,CF=5.综上所述,CF的长为2.5或5.2CF54CFAGCEAE4CF544.(2019济宁,22,11分)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE的长;(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且DMN=DAM,设AM=x,DN
10、=y.写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;是否存在这样的点M,使DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.解析解析(1)四边形ABCD是矩形,AD=BC=10,AB=CD=8,B=BCD=90,由翻折可知:AD=AF=10,DE=EF.设EC=a,则DE=EF=8-a.在RtABF中,BF=6,CF=BC-BF=10-6=4.在RtEFC中,(8-a)2=a2+42,a=3,EC=3.(2)ADCG,ADEGCE,22-AF AB=,=,CG=6,BG=BC+CG=16.在RtABG中,AG=8,在RtDCG中,DG=10,AD=DG=10,DAG=AGD,DMG
11、=DMN+NMG=DAM+ADM,DMN=DAM,ADM=NMG,ADMGMN,=,ADCGDECE10CG532281652268ADGMAMGN=,y=x2-x+10.当x=4时,y取最小值,最小值为2.存在.有两种情形:如图,当MN=MD时,MDN=GDM,DMN=DGM,DMNDGM,108 5-x10-xy1104 555=,MN=DM,DG=GM=10,x=AM=8-10.如图,当MN=DN时,作MHDG于H.DMDGMNGM5MN=DN,MDN=DMN,DMN=DGM,MDG=MGD,MD=MG,MHDG,DH=GH=5.易证GHMGBA,可得=,=,MG=,x=AM=8-=.综
12、上所述,满足条件的x的值为8-10或.GHGBMGAG5168 5MG5 5255 5211 52511 525.(2019菏泽,23,10分)如图,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BAC=DAE=90.(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BPCD;(2)如图2,把ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6,AD=3,求PDE的面积.2解析解析(1)证明:ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BAC=DAE=90,AD=AE,AB=AC,BAC-EAF=EAD-EAF,BAE=DAC
13、.在ABE与ACD中,ABE ACD(SAS),ABE=ACD.ABE+AFB=ABE+CFP=90,ACD+CFP=90,CPF=90.BPCD.,ABACBAECADAEAD(2)在ABE与ACD中,ABE ACD(SAS),ABE=ACD,BE=CD.PDB=ADC,BPD=CAB=90,EPD=90,则PDE为直角三角形.BC=6,AD=3,DE=3,AB=6,BD=6-3=3,CD=3.易知BDPCDA,=,90,AEADEABDACABAC 2222ADAC5BDCDPDADPBAC=,PD=,PB=,PE=3-=,PDE的面积=.33 53PD6PB3 556 5556 559 55129 553 552710思路分析思路分析(1)根据等腰直角三角形的性质得到AD=AE,AB=AC,BAC=DAE=90,则BAC-EAF=EAD-EAF,求得BAE=DAC,根据全等三角形的性质得到ABE=ACD,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到ABE=ACD,BE=CD,求得EPD=90,得到DE=3,AB=6,解得BD=6-3=3,CD=3,根据相似三角形的性质得到PD=,PB=,根据直角三角形的面积公式即可得到结论.222ADAC53 556 55
