1、 2.2.整式与因式分解整式与因式分解博学博学 慎思慎思求真求真 至善至善一一.列代数式及求值列代数式及求值：1.代数式的定义代数式的定义:用运算符号用运算符号(加加、减减、乘乘、除除、乘方、乘方、开方开方)把数或表示数的字母连接而成的式子把数或表示数的字母连接而成的式子.单独的一个数或一个字母也是代数式单独的一个数或一个字母也是代数式.列代数式的基本模型列代数式的基本模型：(1)原价原价a的的8.5折折为为_；0.85a或或85100a(2)原量原量a的的n倍多倍多m为为_,原量原量a的的n倍少倍少m为为_,原量原量a增加增加10%为为_,原量原量a减少减少10%为为 _;anmanma(1
2、10%)a(110%)(3)x个单价为个单价为a元的商品与元的商品与y个单价为个单价为b元的商品总价为元的商品总价为_元元;(axby)(4)每天完成的工作量为每天完成的工作量为a,则要完成则要完成m的工作量所需时间为的工作量所需时间为 .a am m 列出的代数式化为最简后列出的代数式化为最简后,若最后一步是加、减时若最后一步是加、减时,有单位有单位必须将代数式必须将代数式用括号用括号括起来再加单位括起来再加单位.一一.列代数式及求值列代数式及求值：2.代数式求值代数式求值:用具体数值代替代数式中的字母用具体数值代替代数式中的字母,计算得出计算得出的结果的结果,叫做代数式的值叫做代数式的值.
3、(1)直接代入法直接代入法：用数值代替代数式中的字母：用数值代替代数式中的字母,并按原来的并按原来的运算顺序计算求值运算顺序计算求值.(2)整体代入法整体代入法:观察已知条件和所求代数式的关系观察已知条件和所求代数式的关系;将所求代数式变形后与已知代数式成将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系倍分关系，一般会，一般会用到提公因式用到提公因式,法、平方差公式法、完全平方公式法法、平方差公式法、完全平方公式法;把已知代数式把已知代数式看成一个整体看成一个整体，代入所求代数式中求值，代入所求代数式中求值.满分技满分技巧巧非负数非负数1.常见的非负数有常见的非负数有 ；a2、|a|(0)a a、2.
4、若几个非负数的和为若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为则每个非负数的值均为0.应用应用1:1.一辆货车送货上山，并按原路下山上山速度一辆货车送货上山，并按原路下山上山速度为为a千米千米/时，下山速度为时，下山速度为b千米千米/时时.则货车上、下山的平均则货车上、下山的平均速度为速度为()千米千米/时时b ba aa ab ba ab bb ba ab ba aa ab bb ba a 2D.2C.B )21A.（D一一.列代数式及求值列代数式及求值：2.某商品打八折后价格为某商品打八折后价格为a元，则原价为元，则原价为_元元.54a3.若实数若实数m,n满足满足,则则2m+n=_.4.若
5、若ab3，则代数式，则代数式a22abb2的值为的值为_5.已知已知x2y3，则代数式，则代数式4x8y5的值是的值是_120,mn 09176.若若a2b=3,则则6b3a=_,92a+4b=_.93二二.整式及其相关概念整式及其相关概念：1.单项式单项式：用数或字母的：用数或字母的表示的式子表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式单独的一个数或一个字母也是单项式.(1)系数：单项式中的系数：单项式中的_;(2)次数：一个单项式中次数：一个单项式中,所有字母的所有字母的_.积积数字因数数字因数指数的指数的和和2.多项式多项式：几个单项式的：几个单项式的_.(1)项项数和常数项数和常数项：
6、有几个单项式项数就是几；有几个单项式项数就是几；多项式中多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫做的每个单项式，其中不含字母的项叫做_.(2)次数：多项式中次数次数：多项式中次数 项的次数项的次数.最高最高和和常数项常数项3.整式：整式：单项式单项式和和多项式多项式的统称的统称.4.升升(降降)幂排列幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从把一个多项式按某一个字母的指数从小小(大大)到到大大(小小)的顺序排列起来的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母叫做把多项式按这个字母升升(降降)幂排列幂排列.二二.整式及其相关概念整式及其相关概念：5.同类项同类项:所含所含字母相同字母相同,并且并且相同字
7、母的指数也相同相同字母的指数也相同的的单项式单项式.常数项都是同类项常数项都是同类项.应用应用2(1)多多 项项 式式 2m4 n3+3m5n4mn2+1 是是 _次次 _项项 式式,它的项分别是它的项分别是_,其常数项是其常数项是_,按字母按字母m降幂排列为降幂排列为_.六六五五2m4,n3,3m5n,4mn2,113m5n+2m44mn2 n3+1(2)单项式单项式 6a3b2的次数是的次数是().A.6 B.2 C.3 D.5(3)下列各式中，与下列各式中，与3x2y3是同类项的是是同类项的是().A.2x5 B.3x3y2C.5x2y3 D.3y5DC(4)若若3a2bm+1与与an2
8、 b3是同类项，则是同类项，则mn=_.2三三.因式分解：因式分解：1.因式分解的对象是因式分解的对象是多项式多项式，目标是把，目标是把一一个多项式表示成个多项式表示成若干个整式的若干个整式的_的形式的形式.积积2.基本方法基本方法：(1)提公因式法：提公因式法：mambmc_;m(abc)(2)公式法公式法:a2b2 _a22abb2 _因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法=(ab)(ab)=(ab)2(3)十字相乘十字相乘法法:x2+(a+b)x+ab=_.(xa)(x+b)因式分解的最后因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积结果必须是几个整式的乘积,必须必须分
9、解到分解到每个因式在规定的范围内不能再分解为止每个因式在规定的范围内不能再分解为止,即分解要彻底即分解要彻底.三三.因式分解：因式分解：3.步骤步骤:一提一提:有公因式有公因式先先提公因式提公因式；二套二套:无公因式，用公式法无公因式，用公式法;当多项式为当多项式为两项两项时时,考虑用考虑用平方差公式平方差公式当多项式为当多项式为三项三项时时,考虑用考虑用完全平方公式完全平方公式三检查三检查:检查因式分解是否彻底，必须检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式分解到每一个因式都不能再分解为止都不能再分解为止，且最后结果是，且最后结果是积的形式积的形式.应用应用3(1)下列由左边到右边的变形下列
10、由左边到右边的变形,属于因式分解的是属于因式分解的是().A.x 2+3x+5=x(x+3)+5 B.(x+2)(x+3)=x 2+5x+6C.x 2y 2=(x+y)(xy)D.m 2n 2+2=(m+n)(mn)+2C(2)因式分解：因式分解：x29_(3)分解因式：分解因式：xy22xyx_(4)因式分解因式分解:x23x18 _(x3)(x3)(2019福建福建中考中考)x(y1)2(x6)(x+3)四四.整式的运算：整式的运算：(一一)加减运算加减运算:实质实质是是合并同类项合并同类项1.合并同类项法则合并同类项法则(2)系数相加减作为新的系数系数相加减作为新的系数.(1)字母字母和
11、字母和字母的指数的指数;不变不变2.去括号法则去括号法则括号前是括号前是“”号，去括号后号，去括号后，括号内括号内各项不变号各项不变号；括号前是括号前是“”号，去括号后括号内号，去括号后括号内每一项都变号每一项都变号.应用应用4(1)mxy2nxy2_.(2)a(bc)_.(3)a(bc)_.abcabc(mn)xy2四四.整式的运算：整式的运算：(二二)幂的运算幂的运算(m、n为整数为整数):同底数幂相乘同底数幂相乘:底数不变底数不变,指数相加指数相加,即即aman；同底数幂相除：同底数幂相除：,即即aman ;幂的乘方幂的乘方:,即即(am)n；积的乘方积的乘方:积中的每一个因式分别乘方积
12、中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘再把所得的幂相乘,即即(ab)n=_.amn底数不变，指数相减底数不变，指数相减amn底数不变，指数相乘底数不变，指数相乘amnanbn(0)nbaannba应用应用5(1)下列运算正确的是下列运算正确的是().Aaa3a3 B(2a)36a3Ca6a3a2 D(a2)3(a3)20(2)化简化简(2x)2的结果是的结果是().A.x4 B.2x2 C.4x2 D.4x(2019福建福建中考中考)(2017福建福建中考中考)DC(三三)乘法运算乘法运算:1.单项式乘单项式单项式乘单项式:系数与系数相乘作为积的系数系数与系数相乘作为积的系数,同底数同底数幂
13、相乘作为积的因式幂相乘作为积的因式,单独含有的字母连同它的指数直接单独含有的字母连同它的指数直接作为积的一个因式作为积的一个因式.2.单项式乘多项式单项式乘多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加再把所得的积相加,即即a(m+n+p)=_.am+an+ap3.多项式乘多项式多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项乘以另一个先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项多项式的每一项,再把所得的积相加，再把所得的积相加，即即(a+b)(m+n)=_.am+an+bm+bn4.乘法公式乘法公式平方差公式平方差公式:_完全平方公式完全平方公式:_(ab)(
14、ab)a2b2(ab)2a22abb2四四.整式的运算：整式的运算：(四四)除法运算除法运算:1.单项式除以单项式单项式除以单项式：将系数、同底数幂分别相除作为商：将系数、同底数幂分别相除作为商的因式的因式,对于只在被除式里含有的字母对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作则连同它的指数作为商的一个因式为商的一个因式.2.多项式除以单项式：多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个把这个多项式的每一项除以这个单项式单项式,再把所得的商相加再把所得的商相加,即即(a+b)m=am+bm.(五五)整式化简及求值的一般步骤整式化简及求值的一般步骤:1.先乘除，再加减先乘除，再加减(有括号的先
15、去括号有括号的先去括号);2.同级运算从左到右进行同级运算从左到右进行;3.约分、约分、合并同类项合并同类项；4.代值计算代值计算.四四.整式的运算：整式的运算：四四.整式的运算：整式的运算：应用应用6(1)有理数有理数a在数轴上的位置如图所示在数轴上的位置如图所示:则化简则化简|1a|的结果是的结果是_(2)化简：化简：a(12a)2(a1)(a1)2)2 a a（1解：原式解：原式a2a22a22a2.(3)先化简先化简,再求值再求值:(ab)2b(2ab),其中其中a ，b1.3解：原式解：原式a22ab+b22ab+b2a22b2.3,1ab当时，22=(3)2 1 原式3+2=5.例
16、例1 分解因式分解因式:(1)2mx2 8my2=_;(2)ax2+2axyay2=_.2m(x+2y)(x2y)a(xy)2 例例2 已知已知(x+y)2=100,(xy)2=16,则则x2+y2=_,xy=_.5821例例3 已知已知a+b=4,ab=1,求求(a+1)2(b1)2的值的值.解解:a+b=4,ab=1,原式原式=(a+1+b1)(a+1b+1)=(a+b)(ab+2)=4(1+2)=12.例例4 若三角形的三边长是若三角形的三边长是a,b,c,且满足且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,试判断三角形的形状试判断三角形的形状.解解:a2+2b2+c22ab2bc=0,
17、(a22ab+b2)+(b22bc+c2)=0,即即(ab)2+(bc)2=0.(ab)20,(bc)20,a=b且且b=c,即即a=b=c.该三角形是等边三角形该三角形是等边三角形.1.已知已知x2 x+n可以分解为可以分解为(x+3)(x4),则则n的值为的值为_.2.已知已知a+b=2,ab=3,求代数式求代数式a3b+2a2b2+ab3的值的值.12解解:a+b=2,ab=3,原式原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=34=12.3.已知已知a,b,c为三角形的三条边为三角形的三条边,且且a2+b2+c2abbcac=0,试判断这个三角形的形状试判断这个三角形的形状.解：
18、解：a2+b2+c2abbcac=0,2a2+2b2+2c22ab2bc2ac=0,即即(ab)2+(bc)2+(ac)2=0,(ab)20,(bc)20,(ac)20,a=b=c,该三角形是等边三角形该三角形是等边三角形.1.已知一列数已知一列数a,b，ab，a2b，2a3b，3a5b，按照这个规律写下去，第按照这个规律写下去，第10个数是个数是_21a34b5a8b,8a13b,13a21b,21a34b2.下面摆放的图案下面摆放的图案,从第从第2个起个起,每一个都是前一个按顺时针每一个都是前一个按顺时针方向旋转方向旋转90得到，第得到，第2021个图案与第个图案与第1个至第个至第4个中的
19、个中的第第_个箭头方向相同个箭头方向相同(填序号填序号)13.如图如图,每一幅图中有若干个大小不同的菱形每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第第1幅图中有幅图中有1个菱形，第个菱形，第2幅图中有幅图中有3个菱形，第个菱形，第3幅图中有幅图中有5个菱形，个菱形，如果第如果第n幅图中有幅图中有2021个菱形，则个菱形，则n_每每个个图图形比前一个图形多形比前一个图形多 个？个？2第第n幅图中有幅图中有 个菱形个菱形？(2n1)1011作业与课外学习任务作业与课外学习任务1.作业：作业：中考总复习中考总复习P1-2 第第3,4课时课时 中考总复习指导中考总复习指导P7-8 基础巩固基础巩固116 能力提升能力提升 1,2,3,42.课外学习任务：课外学习任务：复习复习中考总复习指导中考总复习指导P10 3.分式分式教学反馈：教学反馈：作业存在的主要问题：作业存在的主要问题：
