1、00精讲本2021江西数学矩形的性质与判定矩形的性质与判定 第二节矩形、菱形、正方形第二节矩形、菱形、正方形1 1概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形如图所示概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形如图所示知识点12 2性质性质(1)(1)矩形的对边矩形的对边_；(2)(2)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_；(3)(3)矩形的对角线矩形的对角线_；(4)(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴；条对称轴；(5)(5)面积：面积：S S长长(a)(a)宽宽(b)(b)平行平行且且相等相等直角直角相等相等 2 2 3 3矩形的判定矩形的
2、判定(1)(1)有一个角是有一个角是_的平行四边形是矩形；的平行四边形是矩形；(2)(2)对角线对角线_的平行四边形是矩形；的平行四边形是矩形；(3)(3)有三个角是有三个角是_的四边形是矩形的四边形是矩形直角直角相等相等直角直角1 1菱形：有一组邻边菱形：有一组邻边_的平行四边形叫做菱形如图所示的平行四边形叫做菱形如图所示2 2菱形的性质菱形的性质(1)(1)菱形的四条边都菱形的四条边都_；(2)(2)菱形的对角菱形的对角_；(3)(3)菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相_，并且每一条对角线平分一组对，并且每一条对角线平分一组对角；角；(4)(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，
3、有菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴；条对称轴；(5)(5)面积：面积：S S底底高高mn(mmn(m，n n分别为菱形两条对角线的长分别为菱形两条对角线的长)菱形的性质与判定菱形的性质与判定 知识点2相等相等相等相等相等相等垂直平分垂直平分 2 2 3 3菱形的判定菱形的判定(1)(1)有一组邻边有一组邻边_的平行四边形是菱形；的平行四边形是菱形；(2)(2)四条边都四条边都_的四边形是菱形；的四边形是菱形；(3)(3)对角线互相对角线互相_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形相等相等相等相等垂直垂直1 1正方形：有一组邻边正方形：有一组邻边_，并且有一个角是，并且有一个角是
4、_的平行四边形叫的平行四边形叫做正方形如图所示：做正方形如图所示：2 2正方形的性质正方形的性质(1)(1)正方形的四个角都是正方形的四个角都是_，四条边都，四条边都_；(2)(2)正方形的对角线相等且正方形的对角线相等且_，每条对角线平分一组对角；，每条对角线平分一组对角；(3)(3)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_条对称轴；条对称轴；(4)(4)面积：面积：S Sa a2 l l2(a(a为正方形的边长，为正方形的边长，l l为正方形的对角线的长为正方形的对角线的长)正方形的性质与判定正方形的性质与判定 知识点321相等相等直角直角直角
5、直角相等相等互互相垂直平分相垂直平分 4 4 3 3正方形的判定正方形的判定(1)(1)有一组邻边有一组邻边_的矩形是正方形；的矩形是正方形；(2)(2)对角线互相对角线互相_的矩形是正方形；的矩形是正方形；(3)(3)有一个角是有一个角是_的菱形是正方形；的菱形是正方形；(4)(4)对角线对角线_的菱形是正方形的菱形是正方形相等相等垂直垂直直角直角相等相等平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 知识点4相等相等 直角直角 直角直角 相等相等 与矩形有关的证明及计算与矩形有关的证明及计算 (10(10年年3 3考考)例例1 1(2019(2019江西江
6、西)如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，ADADBCBC，对角线，对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，且，且OAOAOD.OD.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形命题点1【思路分析思路分析】先证明先证明四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，再得出是平行四边形，再得出ACACBDBD，最后根据，最后根据矩形的矩形的判判定即可定即可证明证明【规范解答规范解答】证明证明：ABABCDCD，ADADBCBC，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AOAOCOCO，BOBODO.DO.AOAODODO，ACACBDBD，四
7、边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形练练1 1(2020(2020湖南怀化湖南怀化)在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ACAC，BDBD相交于点相交于点O.O.若若AOBAOB的面积的面积为为2 2，则矩形，则矩形ABCDABCD的面积为的面积为()()A A4 B4 B6 C6 C8 D8 D1010C C练练2 2(2020(2020山东聊城山东聊城)如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，E E为为BCBC的中点，连接的中点，连接AEAE并延长交并延长交DCDC的延长线于点的延长线于点F F，连接，连接BFBF，AC.AC.若若ADADAFAF，求证：四边形，求证：四边形ABFCA
8、BFC是矩形是矩形证明证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABABCDCD，ABABCDCD，ADADBCBC，BAEBAECFECFE，ABEABEFCE.FCE.EE为为BCBC的中点，的中点，EBEBECEC，ABEABE FCEFCE，ABABCF.CF.ABABCFCF，四边形四边形ABFCABFC是平行四边形是平行四边形又又ADADAFAF，BCBCAFAF，四边形四边形ABFCABFC是矩形是矩形练练3 3(2020(2020辽宁沈阳辽宁沈阳)如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC的垂直平分线分别的垂直平分线分别与边与边AB
9、AB和边和边CDCD的延长线交于点的延长线交于点M M，N N，与边，与边ADAD交于点交于点E E，垂足为点，垂足为点O.O.(1)(1)求证：求证：AOMAOMCONCON；(2)(2)若若ABAB3 3，ADAD6 6，请直接写出，请直接写出AEAE的长为的长为 (1)(1)证明证明：MNMN是是ACAC的垂直平分线，的垂直平分线，AOAOCOCO，AOMAOMCONCON9090.四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，ABABCDCD，M MN N，AOMAOM CON.CON.(2).(2).415例例2 2(2020(2020江西样卷四江西样卷四)如图，菱形如图，菱形ABCD
10、ABCD的边长为的边长为6 6，BADBAD3030，点，点E E是边是边ABAB的三等分点的三等分点(AEBE)(AEBE)，点，点F F在菱形的对角线在菱形的对角线ACAC上，点上，点G G在边在边ADAD上，求上，求EFEFFGFG的最小值的最小值【思路分析思路分析】连接连接EGEG，交，交ACAC于点于点F F，利用垂线，利用垂线段段最短求解最短求解与菱形有关的证明及计算与菱形有关的证明及计算 (10(10年年6 6考考)命题点2【规范解答规范解答】解：如图，连接解：如图，连接EGEG，交，交ACAC于点于点F F，当当EGADEGAD时时，EFEFFGFG的的值值最小最小点点E E是
11、边是边ABAB的三等分点，的三等分点，AEAE ABAB4.4.在在RtRtAEGAEG中，中，BADBAD3030，EGEG AEAE2 2，EFEFFGFG的最小的最小值值是是2.2.3221练练4 4(2020(2020湖北荆门湖北荆门)如图，菱形如图，菱形ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ADAD，BDBD的中点若的中点若EFEF5 5，则菱形，则菱形ABCDABCD的周长为的周长为()()A A20 B20 B30 C30 C40 D40 D5050C C练练5 5(2020(2020云南云南)如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形，点是菱形，点H H为对角线
12、为对角线ACAC的中点，点的中点，点E E在在ABAB的延长线上，的延长线上，CEABCEAB，垂足为，垂足为E E，点，点F F在在ADAD的延长线上，的延长线上，CFADCFAD，垂足，垂足为为F.F.(1)(1)若若BADBAD6060，求证：四边形，求证：四边形CEHFCEHF是菱形；是菱形；(2)(2)若若CECE4 4，ACEACE的面积为的面积为1616，求菱形，求菱形ABCDABCD的面积的面积(1)(1)证明证明：四边形四边形ABCDABCD是是菱菱形，形，BADBAD6060，EACEACFACFAC3030.又又CEABCEAB，CFADCFAD，CECECFCF AC.
13、AC.点点H H为对角线为对角线ACAC的中点，的中点，EHEHFHFH ACAC，CECECFCFEHEHFHFH，四边形四边形CEHFCEHF是是菱菱形形2121(2)(2)解：解：CEABCEAB，CECE4 4，ACEACE的面积为的面积为1616，AEAE8 8，ACAC如图，连接如图，连接BDBD，则，则BDACBDAC，点，点H H在在BDBD上，上，AHAHAHBAHBAECAEC9090，BAHBAHEACEAC，ABHABHACEACE，BHBH ，BDBD2BH2BH2 2 ，S S菱菱形形ABCDABCD BDBDACAC 2 2 4 4 20.20.55212155例
14、例3 3(2018(2018江西江西)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，ABAB6 6，连接，连接ACAC，BDBD，P P是正方形边上是正方形边上或对角线上一点，若或对角线上一点，若PDPD2AP2AP，则，则APAP的长为的长为 【思路分析思路分析】根据正方形的性质得出根据正方形的性质得出ACBDACBD，ACACBDBD，OBOBOAOAOCOCODOD，ABABBCBCADADCDCD，ABCABC9090，根据，根据勾股勾股定理求出定理求出ACAC，BDBD，求出，求出OAOA，OBOB，OCOC，ODOD，画出，画出符合符合的的情况情况，根据，根据勾股勾股定理求出即可定理求出
15、即可【规范解答规范解答】PDPD2AP2AP，设设APAPx x，则，则PDPD2x.2x.与正方形有关的证明及计算与正方形有关的证明及计算 (10(10年年1 1考考)命题点3当当P P在在ADAD边上边上时时，如图，如图1.1.ADAD6 6，APAPPDPD6.x6.x2x2x6 6，即，即x x2 2，APAP2.2.当当P P在在DCDC边上边上时时，如图，如图2.2.在在RtRtADPADP中，中，APAPPDPD，PDPD2AP.2AP.当当P P在在BCBC边上边上时时，如图，如图3.3.DPDP最最大大为为6 6 ，APAP最小为最小为6 6，PDPD2AP.2AP.2当当P
16、 P在在ABAB边上边上时时，如图，如图4.4.在在RtRtADPADP中，中，APAP2 2ADAD2 2PDPD2 2，x x2 26 62 2(2x)(2x)2 2，解得解得x x1 12 2 ，x x2 22 (2 (舍舍)，APAP2 .2 .333当当P P在对角线在对角线ACAC上上时时，如图，如图5.5.在在RtRtADCADC中，中，ACACAOAO ACAC3 .3 .在在RtRtPDOPDO中，中，POPO3 3 x x，PDPD2x2x，DODOAOAO3 3 ，PDPD2 2POPO2 2DODO2 2，(2x)(2x)2 2(3 )(3 )2 2(3 (3 x)x)
17、2 2.解得解得x x1 1 x x2 2 (舍舍)，APAP2122222当当P P在对角线在对角线DBDB上上时时，如图，如图6 6所示所示在在RtRtAPOAPO中，中，APAP2 2AOAO2 2POPO2 2，x x2 2整整理得理得x x2 24 x4 x12120 0，16160 0，方方程程无解无解综综上所上所述述APAP2 2或或2 2 或或23练练6 6 (2020 (2020浙江温州浙江温州)如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，以其三边为，以其三边为边向外作正方形，过点边向外作正方形，过点C C作作CRFGCRFG于点于点R R，再过点，再过
18、点C C作作PQCRPQCR分别交边分别交边DEDE，BHBH于点于点P P，Q.Q.若若QHQH2PE2PE，PQPQ1515，则，则CRCR的长为的长为()()A A练练7 7 (2020 (2020贵州铜仁贵州铜仁)如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，点，点E E在边在边ABAB上，上，BEBE1 1，DAMDAM4545，点，点F F在射线在射线AMAM上，且上，且AFAF ，过点，过点F F作作ADAD的平行线交的平行线交BABA的延长线于点的延长线于点H H，CFCF与与ADAD相交于点相交于点G G，连接，连接ECEC，EGEG，EF.EF.下列结论：
19、下列结论：ECFECF的面积为的面积为 ；AEGAEG的周长为的周长为8 8；EGEG2DGDG2BEBE2，其中正确的，其中正确的是是()()A A B BC C D D2217C C练练8 8(2020(2020贵州遵义贵州遵义)如图，在边长为如图，在边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD中，点中，点E E为对角线为对角线ACAC上一动点上一动点(点点E E与点与点A A，C C不重合不重合)，连接，连接DEDE，作，作EFDEEFDE交射线交射线BABA于点于点F F，过点，过点E E作作MNBCMNBC分别交分别交CDCD，ABAB于点于点M M，N N，作射线，作射线DFDF交
20、射线交射线CACA于点于点G.G.(1)(1)求证：求证：EFEFDEDE；(2)(2)当当AFAF2 2时，求时，求GEGE的长的长(1)(1)证明证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACAC是对角线，是对角线，ECMECM4545.MNMNBCBC，BCMBCM9090，NMCNMCBCMBCM180180，MNBMNBB B180180，NMCNMC9090，MNBMNB9090，MECMECMCEMCE4545，DMEDMEENFENF9090，MCMCME.ME.CDCDMNMN，DMDMEN.EN.DEEFDEEF，EDMEDMDEMDEM9090，DEFDEF9
21、090，DEMDEMFENFEN9090，EDMEDMFENFEN，在在DMEDME和和ENFENF中，中，DMEDME ENF(ASA)ENF(ASA)，EFEFDE.DE.(2)(2)解：解：当当点点F F在线在线段段ABAB上上时时，如图如图1 1，由，由(1)(1)知，知，DMEDME ENFENF，MEMENF.NF.四边形四边形MNBCMNBC是矩形，是矩形，MCMCBN.BN.又又MEMEMCMC，ABAB4 4，AFAF2 2，BNBNMCMCNFNF1.1.EMCEMC9090，CECE .AFAFCDCD，DGCDGCFGAFGA，ABABBCBC4 4，B B9090，A
22、CAC4 .4 .ACACAGAGGCGC，GEGEGCGCCECE22当当点点F F在线在线段段BABA的的延延长线上长线上时时，如图，如图2 2，同理可得同理可得FNFNBN.BN.AFAF2 2，ABAB4 4，ANAN1.1.ABABBCBC4 4，B B9090，ACAC4 .4 .AFAFCDCD，GAFGAFGCDGCD，解得解得AGAG4 .4 .ANANNENE1 1，ENAENA9090，AEAE ，GEGEGAGAAEAE5 .5 .综综上所上所述述，当当AFAF2 2时时，GEGE的长的长2222几何图形的拼接操作几何图形的拼接操作 1 1(2019(2019江西江西)
23、如图，由如图，由1010根完全相同的小棒拼接而成，请你再添根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2 2根与根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3 3个菱形的方法共有个菱形的方法共有()()A A3 3种种 B B4 4种种 C C5 5种种 D D6 6种种D D2 2(2020(2020山东威海山东威海)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具用七巧板能拼七巧板是大家熟悉的一种益智玩具用七巧板能拼出许多有趣的图案小李将一块等腰直角三角形硬纸板出许多有趣的图案小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图如图1)1)切割七切割七块，正好制成一副七巧板块，正好制成一副七巧板(如图如图2)2)已知已知ABAB40 cm40 cm，则图中阴影部分的面，则图中阴影部分的面积为积为()()C C3 3(2020(2020山东烟台山东烟台)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔东方魔板板”在一次数学活动课上，小明用边长为在一次数学活动课上，小明用边长为4 cm4 cm的正方形纸片制作了如图的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品所示的七巧板，并设计了下列四幅作品“奔跑者奔跑者”，其中阴影部分的，其中阴影部分的面积为面积为5 cm5 cm2的是的是()()D D
