1、2.1.2 指数函数及其性质 【习题课】 2 611 1 . x 解解不不等等式式 补补充充例例 0 1 6=解解： 6 x Ry 函函数数 在在 上上是是增增函函数数 11x解解得得 11(, )原原不不等等式式的的解解集集是是 原原不不等等式式等等价价于于 2 01 66 x 2 0 1 ,x 化成化成同底同底 指数幂指数幂 利用指数函数利用指数函数 的的单调性单调性化成化成 熟悉的不等式熟悉的不等式 解不等式解不等式 原不等式的解集为原不等式的解集为 解：原不等式可化为解：原不等式可化为 2 82 22 xx |24x xx 或或 22 82280xxxx 原原不不等等式式等等价价于于
2、，即即 212 x yR底底数数， 函函数数在在 上上是是增增函函数数 4xx 解解得得，或或 2 82 1 2 2 ( ) xx 练练习习1: 1: 的的解解集集是是 2 2 8 1 2 1 22 xx 法法 ：化化为为 75 201(,). xx aaaax 练练习习 、若若且且，求求 的的取取值值范范围围 11 ( ) x yaR a 解解： 若若 则则函函数数在在 ， 上上是是增增函函数数， 101 7 (,) 6 + xx aa x xx ，解解得得 指数函数的应用指数函数的应用 例例8 截止到截止到1999年底，我国人口约年底，我国人口约13亿亿，如果今后，如果今后， 能将人口年平
3、均增长率控制在能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过，那么经过20年后我年后我 国人口数最多为多少（精确到亿）？国人口数最多为多少（精确到亿）？ 解：设今后人口年平均增长率为解：设今后人口年平均增长率为1%，经过，经过x年后年后 我国人口数为我国人口数为y亿，则亿，则 答：经过答：经过20年后，我国人口数最多为年后，我国人口数最多为16亿亿. =13(1+1%) x y =13 1.01 () x 亿亿 20 =20=13 (1+1%)16()xy当当时时，亿亿 ( )(0 0,1) . x f xk akRkaa形形如如，且且； 的的指指数数数数称称为为型型函函函函数数 一、图像问题一、图
4、像问题 P80 3.函数函数 yxa x |x| (0a0 时，时，yax(0a1)，故去掉，故去掉 A，B； 当当 x0 时，时，yax，与，与 yax(0a1，x0)的图象关于的图象关于 x 轴对称，轴对称， 故选故选 D P80 7.函数函数 y 1 2 |x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和 的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和 单调区间吗？单调区间吗？ 【解析】【解析】因为因为|x| x，x0， x，x0， 所以当所以当 x0 时，函数为时，函数为 y 1 2 x；当 ；当 x0 时，函数为时，函数为 y 1 2 x 2x， 其图象由其图象由 y 1 2 x(x 0)
5、和和 y2x(x0)的图象合并而成的图象合并而成. 而而 y 1 2 x(x 0)和和 y2x(x0)的图象关于的图象关于 y 轴对称，轴对称， 所以原函数图象关于所以原函数图象关于 y 轴对称轴对称. 由图象可知值域是由图象可知值域是(0,1， 递增区间是递增区间是(，0)，递减区间是，递减区间是0，). P80 9.函数函数 y5 |x|的图象是 的图象是( ) 【解析】【解析】当当 x0 时，时，y5 |x| 5 x 1 5 x， ， 又原函数为偶函数，故选又原函数为偶函数，故选 D 二、图像的应用二、图像的应用 P80 11.方程方程 |2x1| a 有唯一实数解，则有唯一实数解，则
6、a 的取值范围是的取值范围是 _. 【解析】【解析】作出作出 y|2x1|的图象，的图象， 如图，要使直线如图，要使直线 ya 与图象的交点只有一个，与图象的交点只有一个， 则则 a1 或或 a0. 三、定义域、值域问题三、定义域、值域问题 P36 【例例 3】求下列函数的定义域与值域：求下列函数的定义域与值域： (1)y 2 3 |x|； ；(2)y1 1 2 x. 【解析】【解析】(1)定义域为定义域为 xR. |x|0，y 2 3 |x| 3 2 |x| 3 2 0 1. 故故 y 2 3 |x|的值域为 的值域为y|y1. (2)1 1 2 x 0， 1 2 x 1. 由由 y 1 2
7、 x，可知 ，可知 x0， 即定义域为即定义域为0，). 又又0 1 2 x 1， 01 1 2 x1，即 ，即 0y1. y1 1 2 x的值域为 的值域为0,1). P80 12.(2015 年江苏南京高一检测年江苏南京高一检测)设设 0x2，y4x 1 2 32x5， 试求该函数的最值试求该函数的最值. 【解析】【解析】令令 t2x,0x2，1t4. 则则 y22x 1 3 2x51 2t 2 3t51 2(t 3)21 2， ，t1,4. y1 2(t 3)21 2在 在1,3上是减函数，在上是减函数，在3,4上是增函数上是增函数. 当当 t3 时，时，ymin1 2；当 ；当 t1
8、时，时，ymax5 2. 故函数的最大值为故函数的最大值为5 2，最小值为 ，最小值为1 2. P81 11.若函数若函数 f(x) 2 2 21 xax a 的定义域为的定义域为 R，则实数，则实数 a 的取值范的取值范 围是围是_. 【解析】【解析】依题意，依题意， 2 2 21 xax a 0 对对 xR 恒成立，恒成立， 即即 x22axa0 恒成立，恒成立，4a24a0，1a0. 四、复合函数单调性四、复合函数单调性 P37 5.yf(u)，ug(x)，函数，函数 yfg(x)的单调性有如下特点：的单调性有如下特点： ug(x) yf(u) yfg(x) 增增 增增 _ 增增 减减
9、_ 减减 增增 _ 减减 减减 _ 增增 减减 减减 增增 口诀：同增异减口诀：同增异减 6.求复合函数的单调区间，首先求出函数的求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域定义域，然后把函数分解，然后把函数分解 成成 yf(u)， u (x)， 通过考查， 通过考查 f(u)和和 (x)的单调性， 求出的单调性， 求出 yf (x) 的单调性的单调性. P39 【课堂演练】【课堂演练】1.函数函数 y 1 2 1x 的单调递增区间为的单调递增区间为( ) A(，) B(0，) C(1，) D(0,1) 【解析】【解析】定义域为定义域为 R.设设 u1x，y 1 2 u. u1x 在在(，)上为
10、减函数，上为减函数， y 1 2 u 在在(，)为减函数，为减函数， 故故 y 1 2 1x 在在(，)是增函数是增函数.故选故选 A 五、指数函数性质的综合应用五、指数函数性质的综合应用 P38 【例【例 3】已知函数已知函数 f(x)3 x 1 3x1. (1)求证：求证：f(x)为奇函数；为奇函数； (2)判断判断 f(x)的单调性，并用定义加以证明；的单调性，并用定义加以证明； (3)求求 f(x)的值域的值域. 【解析】【解析】(1)证明：由题知证明：由题知 f(x)的定义域为的定义域为 R， f(x)3 x 1 3 x 1 3 x 1 3x 3 x 1 3x 1 3x 13x f(
11、x)， 所以所以 f(x)为奇函数为奇函数. (2)f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数. 证明如下：任取证明如下：任取 x1，x2R，且，且 x1x2， f(x2)f(x1) 2 2 31 31 x x 1 1 31 31 x x 2 2 (1) 31 x 1 2 (1) 31 x 21 12 2(33 ) (31)(31) xx xx . x1x2，3x23x10,3x110,3x210. f(x2)f(x1). f(x)为为 R 上的增函数上的增函数. (3)f(x)3 x 1 3x1 1 2 3x1， ， 3x03x11 0 2 3x1 22 2 3x1 0， 11 2 3x1
12、 1， 即即 f(x)的值域为的值域为(1,1). P38 P38 【变式训练】【变式训练】3.设设 a0，函数，函数 f(x)2 x a a 2x是 是 R 上的偶函数上的偶函数. (1)求实数求实数 a 的值；的值； (2)求证求证：函数：函数 f(x)在区间在区间(0，)上是增函数上是增函数. 【解析】【解析】(1)依题意，对一切依题意，对一切 xR，有，有 f(x)f(x)， 即即2 x a a 2x 1 2xa 2xa， a1 a 2x 1 2x 0 对一切对一切 xR 成立成立. 由此得到由此得到 a1 a 0， 即即 a21.又又 a0，a1. (2)证明：证明：任取任取 12 ,(0,)x x ，且，且 x1x2，由由(1),得得 1 ( )2 2 x x f x 则则 f(x1)f(x2)2x12x2 1 2x1 1 2x2 (2x22x1) 1 2x1 x2 1 . 0x1x2，2x1 x2 1,2x22x1. 12 1 01 2x x 2x22x10， 1 2x1 x210. f(x1)f(x2)0. f(x1)f(x2)，即，即 f(x)在区间在区间(0，)上是增函数上是增函数. 作业 完成练习册 指数与指数函数两个课时的练 习 预习对数
